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数值分析Numerical Analysis,计算方法Computational method,应用问题,数学模型,计算方法,建模,计算,算法,软件,科学工程计算过程,1/19,“计算数学”就是研究在计算机上解决数学问题的理论和数值方法。,计算数学的发展与科学工程计算是紧密相联的，计算数学的发展历史也就是与其他学科结合，利用计算机不断形成新的理论及数值方法并不断形成新的学科的历史，例如：“计算物理”、“计算化学”、“计算生物学”等。,计算数学,2/19,分类情况,1980s 中国数学:五个二级学科 基础数学，应用数学，计算数学，概率统计，运筹控制 国外数学:纯粹数学(pure)，应用数学(applied)，统计(statistics),3/19,1956 成立计算技术研究所筹备处，主任华罗庚 组建两个组（计算机与计算数学）,计算数学发展历史,1955 周恩来领导 10 年科技规划，提出发展几 个新技术，包括计算技术（计算机，程序设计，计算数学），半导体技术，自动化技术。,1958 中国科学院计算技术所成立。冯康到计算所工作，与苏联合作在计算所 造出 104 机。,4/19,计算数学院士,中国科学院 Kang Feng（冯康）(1982)Yulin Zhou（周毓麟）(1991)Zhongci Shi（石钟慈）(1991)Qun Lin（林群）(1993)Yaxiang Yuan（袁亚湘）(2012)中国工程院 Junzhi Cui（崔俊芝）(1995),5/19,数值分析,钟尔杰 黄廷祝 主编,高等教育出版社 2004,何国良,数学科学学院,6/19,参考文献,1李庆扬 关治 白峰杉,数值计算原理(清华)2蔡大用 白峰杉,现代科学计算3蔡大用,数值分析与实验学习指导4 李庆扬 等,数值分析5Richard L.Burden、J.Douglas Fairs,Numerical Analysis(Seventh Edition)数值分析（第七版 影印版）6David Kincaid,数值分析(第三版)7 John H.Mathews,数值方法(MATLAB版),7/19,1 苏金明等，MATLAB实用教程，电子工业出版社。2 刘宏友等，MATLAB6.X符号运算及其应用，北京：机械工业出版社，2003年2月。3 张志涌，精通MATLAB 6.5，北京航空航天大学出版社。,MATLAB参考文献,8/19,关于计算误差讨论浮点数与有效数字算术运算的误差估计,科学计算的背景,9/19,模型误差:建立数学模型时所引起的误差；,误差分类：,舍入误差:计算机表示的数的位数有限，通常用四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差.,截断误差:求解数学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差,观测误差:测量工具的限制或在数据的获取时随机因素所引起的物理量的误差；,关于计算误差讨论,10/19,假设某一数据的准确值为 x*,其近似值为 x，则称,而称,为 x 的相对误差,误差的有关概念,e(x)=x-x*为 x 的绝对误差。,11/19,如果存在一个适当小的正数，使得,则称为绝对误差限。,称r为相对误差限。,如果存在一个适当小的正数r，使得,12/19,十进制浮点数表示,一台微机价格:￥3999.00,浮点数表示:0.3999104地球半径:6378137m,(6.378137e+006)浮点数表示:0.6378137107光速:2.99792458e+008 浮点数表示:0.299792458109,尾数部,阶码部,浮点数与有效数字,13/19,有效数字概念:取 的有限位数如下(3.1415926),取 x1=3，误差限不超过0.5;,取 x2=3.14,误差限不超过0.005;,若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个单位，该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位，则称近似值 x 有 n 位有效数字.,取 x3=3.1416,误差限不超过0.00005;,14/19,一个有n 位有效数字的数,绝对误差限满足：,相对误差限满足：,定义,结论,15/19,例1 已知 的十进制浮点数第一位是5，要使近似值的相对误差限小于0.1%，问浮点数的有效数字的位数至少应该为多少？,解:a1=5,利用不等式,所以,浮点数的有效数字位数至少应取3位。,取n3,有|er(x)|10-3,16/19,1.一元函数 y=f(x)误差分析(准确值 y*=f(x*)由Taylor 公式,同理:,所以,反问题:估计,算术运算的误差估计,17/19,2.多元函数 z=f(x1,x2,xn)误差分析,(1),(3),(2),数据误差对算术运算影响,18/19,例2.二次方程 x2 16 x+1=0,取求 使具有4位有效数,解:直接计算 x18 7.937=0.063,修改算法,4位有效数,计算出的x1 具有两位有效数,19/19,
