3.2李群的基本概念.ppt
3.2 李群的基本概念,一、李群的组合函数,1.几个概念李群：是一种连续群，它的每个元素可以用一组独立实参数在欧氏空间的一定区域内连续变化，要求在参数的变化区域内，至少在测度不为零的区域内，群元素与参数值有一一对应的关系阶：独立实参数的数目群空间：参数变化范围；群空间维数就是连续群的阶群元素：群空间的点,欧氏空间：定义实内积的线性空间，即有限维实内积空间（V,V）R(实数)测度不为零区域：可以简单理解为 维数与群空间维数相同的区域；边界是测度为零的区域,用限制群空间范围的方法来实现在测度不为零的区域内 群元素和参数值 一一对应如：三维转动群的群空间 取作：半径为的球体，保证了球体内的群元素R(n,)与参数值a的一一对应关系；在测度为零的球面上，直径两端的点，即两组不同的参数值，对应同一个群元素,2.组合函数：定义：设元素RG，参数为(r1,r2,.,rg)，简写为 R(r1,r2,.,rg)=R(r);对群元素的乘积 R(r)S(s)=T(t)，g个参数tj是2g个参数ri和sk的函数 tj=fj(r1,.,rg;s1,.,sg)=fj(r;s)则g个函数fj(r;s)称为连续群的组合函数，它完全描写了群元素的乘积规则,李群的组合函数：是解析函数 在群空间连续可微（导），微积分的整套工具可以用来深入研究李群，使李群成为至今研究最深入、最成功的无限群,群的组合函数必须满足如下条件（对应群的四个条件）封闭性：组合函数定义域：(群空间)(群空间)，值域仍是群空间，至少在测度不为零的区域，要求fj(r;s)是单值解析函数，【即R(r)S(s)=T(t)一一对应】结合律：fjr;f(s;t)=fjf(r;s);t【即R(r)S(s)T(t)=R(r)S(s)T(t)】恒元参数为ej，它包含在群空间内 fj(e;r)=fj(r;e)=tj 通常为方便 取ej=0，此时R(r)E(e)=T(t)R(r)=T(t)R的逆元参数记作rj fj(r;r)=fj(r;r)=ej【R(r)-1R(r)=E(e)=R(r)R(r)-1】,二、李群的局域(Local)性质,1.邻近元素,在群空间中，邻近的点对应的元素为邻近元素,无穷小元素,因常把恒元的参数选为零，恒元邻近的元素，参数是无穷小量，称为无穷小元素,注意：不要把无穷小元素看成是一个很小的元素 无穷小量是一个极限过程 无穷小元素与群元素的微分运算相联系,李群无穷小元素的性质决定了李群的局域性质,2.局域性质,无穷小元素与任意元素R的乘积，是R的邻近元素 乘积的参数在元素R参数的邻域中,R的邻近元素和R-1相乘，得到无穷小元素,粗略地说，无穷多个无穷小元素相继乘到群元素上，在群空间表现为 由元素R对应点出发的一条连续曲线,因此，若在群空间中，代表R的点与代表恒元E的点，可以通过一条完全在群空间内的连续曲线相连接，则R可表示为无穷多个无穷小元素的乘积,数学上，元素R的性质可通过一个微分方程来描写,3.无穷小元素的乘积规则,两个无穷小元素A()与B()相乘，仍是无穷小元素,两个无穷小元素相乘，参数关系如何？,恒元参数取为零，无穷小元素参数无穷小量j和j,将乘积元素AB的参数按和做泰勒展开，略去二级以上无穷小量,即由 ej=0，AE=A，BE=B 得,可见 无穷小元素相乘，对应参数相加,互逆的无穷小元素的参数互为相反数,即A-1的参数,无穷小元素乘积满足交换律,注意：并不意味 群中所有元素乘积都满足交换律 理论力学指出：无穷小转动乘积次序可以交换 但有限转动乘积次序不能交换 即 三维空间转动群SO(3)不是阿贝尔群,三、生成元和微量算符,无穷小元素在李群中处于特殊重要的地位，现研究无穷小元素在变换算符群PG和线性表示D(G)中的性质,1.微量微分算符,设PR是元素R对应的标量函数变换算符，作用规则,其中x代表所有自由度（坐标）,若取R为无穷小元素A()，将上式按参数j展开，取到一级无穷小，则,其中a代表坐标序数,引入g个微量微分算符，它们线性无关,这样 李群中无穷多个无穷小元素对标量函数的作用 就可以用g个微量微分算符I(0)j完全描写,如：一个特例：在三维空间，若x代表系统质心坐标，其它内部坐标没有标出，或系统本身就是一个质点，x是质点的坐标,微量微分算符：,无穷小元素：,三维空间转动变换无穷小元素对标量函数的作用微量微分算符对应量子力学中的轨道角动量算符,2.生成元,设m个函数基(x)架设对于PG不变的函数空间，对应群G的表示D(G)，即,对无穷小元素A，把表示矩阵D(A)按无穷小参数展开，略去二阶以上无穷小量，得,则g个Ij称为李群表示D(G)的生成元，它是微量微分算符在表示空间的矩阵形式,说 明,g个生成元Ij完全描写了无穷多个无穷小元素在表示D(G)中的性质,若D(G)是李群G的真实表示，则g个生成元线性无关,由于规定参数取实数，则幺正表示的生成元是厄米矩阵,若变换算符PG是幺正算符 则微量微分算符是厄米算符,通常不区分微量微分算符与生成元，统称为生成元或微量算符,3.伴随表示,设RSR-1=T，T的参数是S和R参数的函数（组合函数）,j(s;r)是2g个变量的实函数,对真实表示D(G)有 D(R)D(S)D(R)-1=D(T),等式两边对参数sj求导数，然后取sj=0，得,是李群一个表示，称为伴随表示(adjoint),说 明,伴随表示的维数等于李群的阶数，它是所有李群都有的一个重要表示（不一定是真实表示）,将上式写成标量函数变换算符PR的形式有,Ij也写成算符形式Ij(0),微量算符这种变换关系类似群元素的共轭变换因此上式称为微量算符共轭变换,可见，伴随表示描写了微量算符在共轭变换中的变换性质,四、李群的整体性质（global）,研究李群的整体性质，就是研究李群群空间的拓扑性质,拓扑学：是数学中的一个重要的基础性分支 它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现已称为研究连续性现象的重要数学分支,拓扑学内容已成为现代数学的常识，它的概念、方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接广泛的应用,1.群空间的连通性,(1)几个概念,李群群元素与群空间内的点相对应，测度不为零区域一一对应,连通性：若群中任意两个元素，它们在群空间内的对应点可以通过一条完全包含在群空间内的连线连结起来，则此空间是连通的,A,B,简单连续群：群空间是连通的连续群 如 SO(3)群，又称简单李群,混合连续群：群空间分称不相连结的若干片 如 O(3)群，又称混合李群,李群的局域性质：粗略地说，把无穷多个无穷小元素相继乘到群元素R上，在群空间表现为由R对应点出发的一条连续曲线 因此，若在群空间中，代表元素R的点与代表恒元E的点可以通过一条完全在群空间内的连续曲线相连结，则R可表示为无穷多个无穷小元素的乘积,R,E,(2)群元素,简单李群：群元素可表示为无穷多个无穷小元素的乘积,混合李群：除无穷小元素外，还需在群空间每一个连续片给出一个特殊元素（包括恒元），它们的乘积才能表示出任意群元素,如：O(3)群，常取空间反演作为非固有转动元素的代表（detR=-1片），则恒元、空间反演与无穷小元素的乘积可以表示出O(3)群的任意群元素,(3)线性表示,简单李群：任意元素R的表示矩阵D(R)可由生成元 计算得出,混合李群：还需知道其它代表元素的表示矩阵,(4)混合李群的群空间中，包含恒元的那个连续片对应元素的集合构成混合李群的不变子群（SO(3)群是O(3)群的不变子群）其它连续片对应元素的集合构成混合李群不变子群的陪集,因此，混合李群的性质完全由其不变子群（简单李群）和每个连续片（陪集）中的一个代表元素性质决定 今后，我们将重点讨论简单李群的性质,2.简单李群群空间的连通度,在简单李群的群空间中，元素R的点可与恒元的对应点通过许多连线相连结,有些连线可以在群空间内互相连续变化，有些则不能,属同一组的连线可以互相在群空间内连续变化，不同组的连续则不能,这些连线分的组数称为群空间的连通度李群的性质与群空间的连通度有密切关系,(1)加法群,实数的集合，定义元素的“乘积规则”为数的加法，元素满足加法结合律，恒元是零，互逆元素是互为相反数，集合对加法封闭构成群,加法群的群元素是实数，参数就是自身，参数（群元素）在实数轴上连续变化，实数轴就是群空间（一维群空间），原点对应恒元（零），在群空间（实数轴）中，代表群元素的点与代表恒元的点间所有连线都可以在群空间连续变化，即只有一组连线,R,0,加法群的群空间是单连通的,加法群是一阶群，且是阿贝尔简单李群（任两元素相加可对易），只有一维表示,有无穷多个一维不等价不可约表示，用复数标记,引入(-i)是为了以后方便,(2)SO(2)群,绕x3轴转动任意角度的变换 集合构成李群，称为二维幺模实正交矩阵群，指数形式,两个变换乘积对应参数相加,转动2角的变换等于恒等变换（恒元）,逆变换逆元，满足结合律构成群,SO(2)群是一阶阿贝尔李群（一个参数转动变换）,SO(3)群：群空间是半径为的球体，直径两端的点对应同一个元素,SO(2)群参数在实数轴上（-，+）之间变化，并且+与-对应同一个元素,群空间对应R的点与对应恒元E的点 可以直接相连，在实数轴上连续变化,SO(2)群群空间连通度：无穷多度连通,群空间对应R的点与对应恒元E的点 也可以通过包含边界上-，+间若干次跳跃的连线相连，因为-，+对应同一个元素,正跳跃：从跳到-的跳跃,负跳跃：从-跳到的跳跃,跳跃次数：一次正跳跃与一次负跳跃可通过连续变化相互抵消，连线所包含正跳跃次数减去负跳跃次数称为该连线的跳跃次数,因此，E到R的连线可以分成无穷多组，每组用跳跃次数标记不同组之间连线不能在群空间连续变化故：SO(2)群群空间是无穷多度连通,(3)覆盖群,将SO(2)群的元素与加法群元素建立如下1:的对应关系,n是任意整数(无穷多个),且这种对应关系对元素的乘积保持不变，则 SO(2)加法群（同态1:）,SO(2)群的不等价不可约表示也可表示为与加法群表示相类似的形式,若m不是整数，表示矩阵与群元素间变成多一对应关系，不符合线性表示定义，有时称为多值表示,数学中已经证明：当简单李群G的群空间是n度连通时，它一定同态于另一个群空间是单连通的简单李群，同态对应关系是1:n，这个单连通的简单李群称李群G的覆盖群；覆盖群的真实表示是群G的多值表示（加法群是SO(2)群的覆盖群）,讨论其群空间的连通度,(4)SO(3)群,群空间：半径为的球体，球面上直径两端的点代表同一个群元素,从群空间内的连线可以包含直径两端 的跳跃，跳跃前后，直径上两点A和B 始终保持在同一直径两端，位置上关联，不能独立变化，只能成对的在球面上移动,因此，一次跳跃只能AB或BA，无法使AA，BB 即此跳跃无法通过连续移动抵消（若要抵消必再反跳跃一次）,若连续包含两次跳跃，ABA，连线就是沿着一个封闭的环形路径转了一圈，连续的环形路径可以在群空间内连续变化收缩到一点，消去,即在直径两端来回跳跃等于不跳，亦即两次跳跃可以通过群空间的连续变化而消去,对SO(3)群：从原点到群空间任一点的连线可以分两组 一组：包含直径两端的偶数次跳跃 二组：奇数次属于同一组的连线可以通过在群空间内的连续变化而重合分属不同两组的连线则不能,SO(3)群空间：双连通,后面:SO(3)群的覆盖群是二维幺模幺正矩阵群SU(2)SU(2)群的真实表示是SO(3)群的双值表示，它是自旋能够存在的数学基础,3.群空间的紧致性,在欧氏空间（有限实内积空间），包含边界的闭区域是紧致的；不包含边界的开区域（包括无穷区域）是非紧致的,紧致李群 群空间是紧致的李群，如SO(3)群,物理中常见的非紧致李群：洛伦兹群，平移群,要将有限群表示理论主要结论推广到连续群，关键是要解决群函数对群元素的无限求和问题 连续群群元素用一组实参数来描写，一个自然的想法是把对群元素的求和对群参数的积分,可证明：对紧致李群，可适当定义对群参数的积分，使积分存在，且满足对左乘或右乘群元素保持不变，从而可把有限群表示理论的主要结论推广到紧致李群。非紧致李群，这样的积分不存在，有限群有些理论不能推广。,
