事件的独立性.ppt
1.5 事件的独立性,一般地,但在有些情况下，,并不影响事件,事件B发生与否,A发生的机会.,当事件B对事件A,没有任何影响时,应有,其中,当事件A对事件B,没有任何影响时,应有,其中,当 时,当 时,一、两个事件的独立性,发生的概率,发生的概率,定义1.4,推论1,则,定义,满足等式,如果两个事件,简称 与 独立.,则称事件 与,是相互独立的,对于两个事件A与B,若,与 独立,则,两个事件 与,如果其中任何一个,事件发生的概率，,都不受另一个事件发生与否,是相互独立的.,与 独立,则称事件 与,的影响,若,例,所以A,B独立.,掷一枚均匀的骰子,(1)A表示“点数小于5”,B表示“点数为奇数”,则,(2)A表示“点数小于4”,B表示“点数为奇数”,则,所以A,B不独立.,例,所以A,B独立.,从一副不含大小王的扑克牌中,随意抽出一张,记A为,“抽到”,为,“抽到的牌是黑色的”,则,二、有限个事件的独立性,定义1.5,如果其中,对n个事件,两任意个都互相独立,有,即对于,则称这 个事件,两两独立.,这里共有,个等式.,当 时,n个事件两两独立,即其中任何一个事件,都不受另一个事件,概率,发生的,是否发生的影响.,都有,相互独立.,如果对其中,个事件,则称这 个事件,定义1.6,对n个事件,任意,时，,时，,时，,时，,这里共有,个等式.,相互独立,两两独立.,都有,相互独立.,如果对其中,个事件,则称这 个事件,定义1.6,对n个事件,任意,可以证明,n个事件相互独立,即其中任何一个,事件是否发生,都不受另外一个,或几个事件,生的影响.,是否发,如,相互独立,两两独立.,例,其中全红、全黑、全白色,各一个,另一个是涂有红、黑、白三色的彩球.,从中任取一个,事件A、B、C,分别表示取到的球上,有红色、黑色、,白色,判别A,B,C的独立性.,的球,解,两两独立.,不相互独立.,此时,即AB同时发生,影响了C发生的机会.,同样,一个袋中装有4个球,思考：,A、B独立,A、B互斥,A,B互斥,A,B不独立,A,B独立,A,B不互斥,两事件相互独立,与它们互斥,这两个概念有何联系?,不影响B发生的,事件B发生与否,也不影响A发生的概率.,当,事件A发生与否,概率;,事件A与B不能同时发生.,时,三、相互独立的性质,性质1,中的任意一部分事件,如果 个事件,相互独立.,则它们,换成各自的对立事件后,所得,也相互独立.,的n个事件,n=2时，,A与B独立,与 独立,与 独立,与 独立,n=3时，,A,B,C相互独立,相互独立,相互独立,相互独立,证,即A与B独立.,反之,则由上面证明,A与 独立,设A与B独立,独立.,与 独立,A与B独立,与 独立,与 独立,与 独立,若,证,相互独立,相互独立.,性质2,如果 个事件,相互独立.,则有,甲、乙、丙译出密码,“译出密码”,例,他们能译出的,概率分别为,问能将密码译出的概率是多少?,解 设,分别表示,相互独立.,表示,则,三人独立地去破译一个密码,设B表示,要求,例,同时分别破译一个密码,假设每人能译出的概率都是,若要以,的把握,能够译出,问n至少为几?,解,“第 人译出密码”,表示,互相独立,则,从而,也互相独立.,“密码被破译”,设,n至少为12，,才能保证译出的概率超过,由n个人组成的小组,设,四、贝努利概型,定义,只有两种对立结果,如果一个随机试验,这样的试验称为,贝努利试验.,例如,从中随机抽取一个,进行检验,抽取的结果只有两个:,一批产品的次品率为,正品或次品,抽到次品,抽到正品,抛掷一枚硬币一次,出正面,又如,结果只有两个:,或出反面.,出正面,出反面,又如,一射手的命中率为,他射击一次,结果只有两个:,击中或没击中.,击中,没击中,相应的概率模型称为,贝努利概型.,从而可以把试验归结为,虽然不只两种，,有些随机试验的结果,但如果我们,仅关心事件A是否发生，,则可以把A作为一个结果，,把 作为对立的结果.,贝努利试验.,设事件A发生的概率为,定义1.7,一个随机试验序列,一个独立试验序列.,则此随机试验序列称为,如果它的各试验的,结果之间,是相互独立的，,则事件 发生的概率为,由一个贝努利试验,定义1.8,独立重复进行,形成,的随机试验序列,称为贝努利试验序列.,由一个贝努利试验,独立重复进行n次,随机试验序列,形成的,称为n 重贝努利试验.,每一次试验,事件A发生,在n 重贝努利试验中，,的概率都是,用X表示,重贝努利试验中,事件A,发生的次数，,可能取值:,事件 发生的概率都是,设 表示,第 次发生事件A,用 表示,重贝努利试验中,事件A,发生的次数,定理1.3,（贝努利定理）,在每一次试验中,事件A发生k的次的概率为,则在n 重,的概率都是,事件 发生的概率都是,贝努利试验中，,事件A发生,记,定理1.4,在每一次试验中,直到第k次才发生事件A,则在n 重贝努利试验中，,都是,事件 发生的概率都是,事件A发生的概率,的概率为,证,设 表示,第 次发生事件A,直到第k次才发生事件A,例,(1),(2),任选n个人,求:,一个人的血型为B型的概率为,(3),解,设n个人中,有B型血的人数为X,没有人为B型的概率,恰有两人为B型的概率,至少n1人为B型的概率,例,任选n个人,求:,一个人的血型为B型的概率为,(3)至少n1人为B型的概率,解,设n个人中,有B型血的人数为X,或,
