金融工程7.ppt
Dr.Fan,1,第七章 期权市场,Dr.Fan,2,教学目的与要求,本章对股票价格的相关性质进行了系统介绍。通过本章的学习，要求掌握影响期权价格的因素有哪些，期权价格上下限的确定，提前执行不付红利的股票看涨和看跌期权的可行性，看涨和看跌期权的平价关系以及红利对股票期权价格上下限的影响。,Dr.Fan,3,教学重难点,无风险利率对期权价格的影响提前执行无收益资产美式看涨期权的合理性提前执行无收益美式看跌期权是否合理,Dr.Fan,4,内容提要,引言：期权和约的盈亏状况7.1影响期权价格的因素7.2期权价格的上下限7.3提前执行美式期权合理性7.4期权平价公式7.5红利的影响,Dr.Fan,5,引言：期权合约的盈亏状况,期权的头寸多头：是持有期权多头头寸的投资者（购买期权合约的一方）空头：是持有期权空头头寸的投资者（出售或承约（written）期权合约的一方）。期权的出售方事先收取现金，但之后有潜在的负债。四种基本的期权头寸看涨期权的多头看涨期权的空头看跌期权的多头看跌期权的空头,Dr.Fan,6,期权合约的盈亏状况,以X代表执行价格，以ST代表标的资产到期日价格,Dr.Fan,7,Max(ST-X,0),-max(ST-X,0)=min(X-ST,0),Dr.Fan,8,Max(X-ST,0),-max(X-ST,0)=min(ST-X,0),Dr.Fan,9,期权的实值、虚值与两平状态,实值期权是指如果期权立即履约，持有者具有正值的现金流。两平期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为零。虚值期权是指如果期权立即履约，持有者的现金流为负。,Dr.Fan,10,Dr.Fan,11,7.1影响股票期权价格的因素,现货价格指交割品在现货市场上的价格。施权价指期权约定的交割价格。期权的期限指当期到期权失效时点的时间长度。股票价格的波动性指股票价格变动的剧烈程度，可以用方差来衡量。无风险利率一般用3月期国债利率来代替，指无风险投资的收益或者借贷的成本。期权有效期内的股票红利作为交割品的现金流入，红利会引起股票价格下跌。,Dr.Fan,12,影响期权价格的因素,Dr.Fan,13,现货价格与施权价,期权到期时的利润：看涨期权Max（现货价格施权价，0）看跌期权Max（施权价现货价格，0）此处的现货价格为标的资产当时的市价现货价格对于看涨期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能与数额也就越高，因而期权价格就越高。对于看跌期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能与数额也就越低，因而期权价格越低。施权价对于看涨期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越低，从而期权价格越低。对于看跌期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越高，从而期权价格越高。,Dr.Fan,14,到期期限与现货价格的波动性,到期期限对于欧式期权来说，由于施行期权的时点是唯一的，因此期限越长对期权的拥有者来说不一定越好。对于美式期权来说，在到期之间随时可以执行期权，因此期限越长意味着选择越多，对期权的拥有者越有利。价格的波动性期权的特点在于以较低的价格规避了不利风险，同时保留了有利风险。不管是对于哪一种期权来说，价格波动性越剧烈，盈利的可能性就越高（注意，是对期权多头），期权价格也越高。,Dr.Fan,15,无风险利率与红利,无风险利率无风险利率对于期权的所有者来说是资金的成本，或者说是持有现货的机会成本，因此无风险利率越高，预期的现货价格就越高。但是无风险利率越高，未来利润折现值也越低。两种因素综合，无风险利率越高，看涨期权的价格越高，看跌期权价格越低。红利作为交割品的现金流，派发红利会导致交割品价格下降。预期红利支付越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高。,Dr.Fan,16,假设与符号,假设不存在交易成本。所有交易盈利都适用同一税率。投资者进行无风险借贷或者投资的利率是一样的。符号S:当期股票价格X：施权价格T：期权到期的时点t：当期时点ST：时点T的股票价格r：无风险利率：股票价格波动的标准差c,C：欧式及美式看涨期权价值p,P：欧式及美式看跌期权价值,Dr.Fan,17,7.2期权价格的上下限,看涨期权上限看涨期权给予持有人按照一定价格在将来购买特定股票的权利。看涨期权的价值PV（股票价格）PV（施权价）所以看涨期权的价值小于当期的股票价值，即cS，同时，C S看跌期权上限看跌期权给予持有人按照一定价格在将来卖出特定股票的权利。看跌期权的价值PV（施权价）PV（股票价格）所以看跌期权的价值小于施权价的现值。p Xe-r(T-t)，同时，P X,Dr.Fan,18,欧式看涨期权的下限,考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t)组合B：一份股票。组合A中，现金按无风险利率进行投资，到T时刻变为X。此时是否执行期权，在于ST是否大于等于X到期时如果STX，组合A和组合B的价值都是ST如果STS，从而，c S Xe-r(T-t),Dr.Fan,19,示例,假设股票A现价20元，某欧式看涨期权施权价为18元，离到期还有一年时间，无风险利率为10%，问该看涨期权的最低价值是多少？假如该期权目前报价3.00元，你将如何操作进行套利？答案：该看涨期权的价值下限为SXe-r(T-t)2018e-0.113.71该期权报价低于价值下限，因此可以采用下列策略套利：卖空该股票，获得20元，买入看涨期权，支出3.00元，并将17元按无风险利率借贷出去到期时如果股票价格超过18元，以18元的价格施行期权，回补空头，利润为17e0.1180.79；如果股票价格低于18元，则以市价回补空头，利润为17e0.1 股票市价0.79。,Dr.Fan,20,欧式看跌期权的下限,考虑两个资产组合组合C：一份欧式看跌期权，施权价为X，加上一份股票组合D：现金Xe-r(T-t)。T时刻，如果ST Xp+S Xe-r(T-t)，从而，p Xe-r(T-t)S,Dr.Fan,21,示例,假设股票A现价20元，某欧式看跌期权施权价为24元，离到期还有一年时间，无风险利率为10%，问该看跌期权的最低价值是多少？假如该期权目前报价1.00元，你将如何操作进行套利？答案：该看跌期权的价值下限为：Xe-r(T-t)S24e-0.1201.71该期权目前报价为1.00元，低于价值下限，因此可用下列策略套利：从市场上借入21元，以1.0元买入该期权，以20元购买股票A。一年后，如果股价低于24元，则执行期权获得24元，并偿还贷款本息，利润为：2421e0.10.79；如果股票价格高过24元，则不执行期权，将股票卖掉并偿还本息，利润为：股价21e0.10.79。,Dr.Fan,22,7.3提前执行美式期权合理性,提前执行无收益资产美式期权的合理性看涨期权分析：不提前执行时：持有准备用于执行期权的现金会产 生收益，再加上美式期权的时间价值总是正的；提前执行时：看涨期权得到的标的资产无收益。结论：提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。,Dr.Fan,23,考虑两个资产组合组合A：一份美式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t)组合B：一份股票假设在时点，该期权被执行组合A的价值为SXXe-r(T-)组合B的价值为S若提前执行，T,r0因此Xe-r(T-)X,组合A的价值小于组合B.如果是在时点T，期权才被执行组合A的价值为Max(ST,X)组合B的价值为ST若不提前执行，A的价值一定大于B因此美式看涨期权的最佳执行时间为到期时点。,Dr.Fan,24,美式看涨期权的价值,在股票不支付红利的情况下美式看涨期权的最佳执行时间是到期日一份美式看涨期权的价值与一份欧式看涨期权价值相等无收益资产美式看涨期权价格的下限：CmaxS-Xe-r(T-t),0解释看涨期权提供了价值保障，而一旦提早施行期权，这份保障的价值就变为0。越晚施行期权，施权所需的现金越晚付出，从而节省了资金成本。,Dr.Fan,25,看涨期权价值与股票价格,看涨期权价值,股票现货价格,施权价,Dr.Fan,26,美式看跌期权的下限,考虑两个资产组合组合A：一份美式看跌期权，施权价为X，加上一份股票组合B：现金Xe-r(T-t)。若不提前执行组合A的价值为max(ST,，X)，组合B的价值为X假设在时点，该期权被执行组合A的价值为X 组合B的价值为Xe-r(T-)此时执行期权可能是合理的。,Dr.Fan,27,比较这两种结果得出结论是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额X-S、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能有利。对于一个美式看跌期权来说，PXS Xe-r(T-)S由于美式期权可提前执行，因此其下限更为严格（与pmaxXe-r(T-t)-S,0比较）：PX-S,Dr.Fan,28,美式看跌期权价值与股票价格,看跌期权价值,股票现货价格,施权价,施权价,A,Dr.Fan,29,欧式看跌期权价值与股票价格,看跌期权价值,股票现货价格,施权价,施权价,B,Xe-r(T-t),Dr.Fan,30,7.4期权平价公式,考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t)组合B：一份欧式看跌期权，加上一份股票到期时如果STX，则组合A和组合B的价值均为ST如果STX，则组合A和组合B的价值均为X所以组合A与组合B的价值相等，即c Xe-r(T-t)p S,Dr.Fan,31,示例,某股票现价为20元，施权价为20元，离到期尚有一年的欧式看涨和看跌期权价格分别为3.00元和1.00元，无风险利率为10%，问以上数据是否符合期权平价公式，如果不是，你将如何进行套利？答案：cXe-r(T-t)3.0020e-0.121.10；pS201.0021.00显然上述数据不符合期权平价公式。,Dr.Fan,32,示例（续）,套利策略卖出一份看涨期权获得3.00元，同时借入资金18.00元以20元买入一份股票，同时以1元买入一份看跌期权。到期时：如果股票价格低于20元，看涨期权不会被执行，执行看跌期权获得20元，偿还贷款本息，利润2018e0.10.11元；如果股票价格高于20元，看跌期权不被执行，将所持股票用于施权，获得20元，偿还贷款本息，利润2018e0.10.11元。,Dr.Fan,33,美式看涨与看跌期权价格关系,条件美式与欧式看涨期权价值相等，c=C美式看跌期权价值高于欧式看跌期权价值，Pp欧式期权平价公式：c+Xe-r(T-t)pS推论P pc+Xe-r(T-t)S C+Xe-r(T-t)SCP SXe-r(T-t),Dr.Fan,34,美式看涨与看跌期权价格关系,考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金X组合B：一份美式看跌期权，施权价X，加上一份股票时点如果组合B执行了看跌期权，那么价值为X组合A的价值为现金Xer(-t)加上看涨期权价值到期时T如果STX，组合A的价值为Xer(T-t)，组合B的价值为X如果STX，组合A的价值为STX+Xer(T-t)，组合B的价值为ST因此组合A的价值大于组合BC+X P+S，从而，SX CP,Dr.Fan,35,7.5红利的影响,期权价格上限对于看涨期权来说，上限仍然是S对于欧式看跌期权来说，上限仍然是Xe-r(T-t)对于美式看跌期权来说，上限是X期权价格下限欧式看涨期权的下限变为SD Xe-r(T-t)欧式看跌期权的下限变为D Xe-r(T-t)S美式看涨期权的下限变为不确定，但高于欧式期权美式看跌期权的下限也是不确定，高于欧式期权,Dr.Fan,36,考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，加上现金D+Xe-r(T-t)组合B：一份股票。到期时如果STX，组合A和组合B的价值都是Der(T-t)ST如果STS，从而，c SD Xe-r(T-t),Dr.Fan,37,欧式看跌期权的下限,考虑两个资产组合组合A：一份欧式看跌期权，施权价为X，加上一份股票组合B：现金D+Xe-r(T-t)。到期时如果ST D+Xe-r(T-t)，从而，p D+Xe-r(T-t)S,Dr.Fan,38,提前执行有收益资产美式期权的合理性,看涨期权提前执行有收益资产的美式期权的好处：可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息在一定条件下，提前执行有收益资产的美式期权的合理性：假设：在期权到期前，标的资产有n个除权日t1,t2,tn，为除权时的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，Dn在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，Sn.,Dr.Fan,39,由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。,Dr.Fan,40,提前执行有收益资产美式期权的合理性,在最后一个除权日（tn）提前执行的条件：如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。如果不提前执行，则资产价格将由于除权降到Sn-Dn。根据关系：cmaxS-D-Xe-r(T-t),0。在tn时刻期权的价值。CncnmaxSn-Dn-Xe-r(T-tn),0。因此，如果：Sn-Dn-Xe-r(T-tn)Sn-X。即：DnX1-e-r(T-tn)。则在tn提前执行是不明智的。,Dr.Fan,41,提前执行有收益资产美式期权的合理性,相反，如果DnX1-e-r(T-tn),则在tn提前执行有可能是合理的。实际上,可以证明,只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。对于任意in，在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：DiX1-e-r(ti+1-tn)由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：CcmaxS-D-Xe-r(T-t),0,Dr.Fan,42,提前执行有收益资产美式期权的合理性,看跌期权红利使得美式看跌期权更不可能执行可以证明，在除权日前瞬间执行期权是不划算的。美式看跌期权不提前执行条件：通过同样的分析，可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：DiX1-e-r(ti+1-ti)DiX1-e-r(T-tn)美式看涨期权的下限：由于美式看涨期权有提前执行的可能性，因此其下限为：Pmax(D+X-S,0),Dr.Fan,43,欧式期权平价公式,考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，加上现金D+Xe-r(T-t)组合B：一份欧式看跌期权，加上一份股票到期时如果STX，则组合A和组合B的价值均为Der(T-t)+ST如果STX，则组合A和组合B的价值均为Der(T-t)+X所以组合A与组合B的价值相等，即cD Xe-r(T-t)p S,Dr.Fan,44,有：cp S D-Xe-r(T-t)也就是说在其它条件相同的情况下，如果红利的现值D增加,那么期权的价值会下降。其次，在没有红利的条件下，根据c+Xe-r(T-t)=p+S 有：c=p+S-Xe-r(T-t)因此看涨期权等价于借钱买入股票，并买入一个看跌期权来提供保险，和直接购买股票相比，看涨期权多头有两个优点：保险和可以利用杠杆效应。,Dr.Fan,45,美式期权价格关系,由于CP SXe-r(T-t)且红利增加了P减少了C仍然是CP SXe-r(T-t)考虑红利,可设计下列资产组合组合A：一份欧式看涨期权加上现金D+X组合B：一份美式看跌期权加上一份股票组合A的价值总是高于组合B，即：SDX CP综上SDX CP S-Xe-r(T-t),Dr.Fan,46,7.6期权价格曲线的形状,（一）看涨期权价格曲线 我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为S，下限为max。期权价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在S=Xe-r(T-t)时最大；当S趋于0和时，时间价值也趋于0，此时看涨期权价值分别趋于0和SX e-r(T-t)。特别地，当S=0时，C=c=0。,Dr.Fan,47,此外，r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以0点为中心，越往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如下图所示：期权价格 期权价格上限 期权价格下限 0,Dr.Fan,48,此外，r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以0点为中心，越往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如下图所示：看涨期权价格 期权价格上限(C=c=S)看涨期权价格曲线 期权价格下限 时间价值(C=c=max(S-X e-r(T-t),0)0 s=内在价值 虚值期权 平价期权 实值期权(SX e-r(T-t),Dr.Fan,49,（二）看跌期权价格曲线,1.欧式看跌期权价格曲线我们先看无收益资产看跌期权的情形。欧式看跌期权的上限为，下限为。当 时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下限，当 时，欧式看跌期权内在价值为0，其期权价格等于时间价值。当S=时，时间价值最大。当S趋于0和时，期权价格分别趋于 和0。特别地，当S=0时，。,Dr.Fan,50,r越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以0为中心越往右上方旋转，但不能超过上限，如下图所示：看跌期权价格X e-r(T-t)上限 欧式看跌期权价格 下限 0 S,Dr.Fan,51,r越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以0为中心越往右上方旋转，但不能超过上限，如下图所示：看跌期权价格X e-r(T-t)上限 欧式看跌期权价格 下限、内在价值 时间价值 0 X e-r(T-t)S,Dr.Fan,52,2.美式看跌期权价格曲线,对于无收益标的资产来说，美式看跌期权上限为X，下限为XS。但当标的资产价格足够低时，提前执行是明智的，此时期权的价值为XS。因此当S较小时，看跌期权的曲线与其下限或者说内在价值XS是重合的。当S=X时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似，如下图所示。,Dr.Fan,53,美式看跌期权价格曲线,美式看跌期权价格曲线 x 上限 美式看跌期权价格 下限、内在价值 时间价值 0 x s,
