世纪金榜二轮专题辅导与练习专题六第二讲.ppt

第二讲椭圆、双曲线与抛物线,一、主干知识1.圆锥曲线的定义:,2.圆锥曲线的标准方程:,y2=2px,x2=2py,二、重要性质1.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系：(1)在椭圆中：_；离心率为_.(2)在双曲线中：_；离心率为_.,a2=b2+c2,c2=b2+a2,2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标:(1)双曲线(a0,b0)的渐近线方程为_;焦点F1_,F2 _.(2)双曲线(a0,b0)的渐近线方程为_,焦点坐标F1 _,F2 _.,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),3.抛物线的焦点坐标与准线方程:(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为_,准线方程为_.(2)抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标为_,准线方程为_.,(2013广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 则C的方程是_.【解析】设C的方程为(ab0)，则c=1,C的方程是答案：,2.(2012湖南高考改编)已知双曲线C：的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为_.【解析】由焦距为10，知2c=10，c=5.将P(2,1)代入得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程为答案：,3.(2013济南模拟)抛物线y2=-12x的准线与双曲线 的两渐近线围成的三角形的面积为_.【解析】抛物线y2=-12x的准线为x=3,双曲线 的两渐近线为 和 令x=3，分别解得所以三角形的底为 高为3，所以三角形的面积为答案：,4.(2013江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为(a0,b0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若 则椭圆C的离心率为_.【解析】由原点到直线BF的距离为d1得 因F到l的距离为d2故又 所以又 解得答案：,5.(2013宿迁模拟)已知双曲线(a0,b0)的一条渐近线的斜率为 且右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的方程为_.【解析】因为 的焦点为所以a2+b2=3.所以双曲线方程为答案：,热点考向 1 圆锥曲线的定义、标准方程与性质【典例1】(1)(2013天津模拟)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为_.(2)(2013北京模拟)已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是_.,(3)(2013长沙模拟)椭圆C:(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是_.【解题探究】(1)圆M方程的求解思路：据点M到其焦点F的距离为5，由抛物线的定义得p=_.根据点M(1,m)(m0)在抛物线y2=2px上，得点M_.根据圆M与y轴相切得圆M的半径为r=_.,8,(1,4),1,(2)根据线段PF1的中点坐标为(0,2)能得到什么?提示:得P点坐标(4),且P与另一焦点连线垂直于x轴,从而求得PF1,PF2的值,进而据定义得2a.(3)求椭圆C离心率的关键是什么?提示:关键是据题设条件构建关于a,c的不等式,进而得到关于e的不等式求解.【解析】(1)由抛物线的定义得 解得p=8,所以抛物线的方程为y2=16x,又点M(1,m)在此抛物线上,所以有m2=16,且m0,得m=4,即M(1,4),又圆M与y轴相切,故其半径为r=1,所以圆的方程为(x-1)2+(y-4)2=1.答案:(x-1)2+(y-4)2=1,(2)由双曲线的焦点可知c=线段PF1的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为F2,则有PF2x轴,且PF2=4,点P在双曲线右支上,所以 所以PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为答案:,(3)当点P位于椭圆的两个短轴端点时，F1F2P为等腰三角形，此时有2个.若点P不在短轴的端点时，要使F1F2P为等腰三角形，则有PF1=F1F2=2c(或PF2=F1F2=2c).此时PF2=2a-2c.所以有PF1+F1F2PF2,即2c+2c2a-2c,所以3ca,即,又此时点P不在短轴上，所以PF1BF1,即2ca,所以所以椭圆的离心率满足答案：,【方法总结】1.圆锥曲线定义的应用(1)已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解.(2)灵活应用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化.2.求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法.(2)待定系数法.,顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y2=2ax或x2=2ay(a0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a不具有p的几何意义.中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为双曲线方程可设为这样可以避免讨论和烦琐的计算.3.求椭圆、双曲线离心率的思路根据已知条件先确定a,b,c的等量关系,然后把b用a,c代换,得到关于 的齐次方程,再求 的值;在双曲线中由于 故双曲线的渐近线的斜率与离心率密切相关.,4.双曲线的渐近线(1)求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得.(2)用法：可得 的值.利用渐近线方程设所求双曲线的方程.,【变式训练】(2013四川高考改编)从椭圆(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率为_.【解题提示】解题时要注意两个条件的应用，一是PF1与x轴垂直，二是ABOP.【解析】根据题意可知点P(-c,y0)，代入椭圆的方程可得 根据ABOP，可知解得答案：,热点考向 2 圆锥曲线中点、线、参数等的存在性问题【典例2】(2013枣庄模拟)已知椭圆C:O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是O上的动点.(1)若P(-1,),PA是O的切线,求椭圆C的方程.(2)是否存在这样的椭圆C,使得 恒为常数?如果存在,求出这个数及C的离心率e;如果不存在,说明理由.,【解题探究】(1)求椭圆C的方程的思路：由点P(-1,)在O上得b2=_.由PA是O的切线，那么kPA=得a=_.(2)求解存在性问题的三个步骤：列式：先假设存在，根据题设条件由点P在x轴上的特殊位置得 _.求解：解此方程.方程中含有绝对值，此时正确的处理方式为:_.结论：得出椭圆C_.(填“存在”“不存在”),4,4,分类讨论,存在,【解析】(1)由P(-1,)在O：x2+y2=b2上，得b2=1+3=4.直线PA的斜率kPA=而直线PA的斜率所以 解得a=4.所以a2=16,椭圆C的方程为,(2)假设存在椭圆C，使得 恒为常数，椭圆C的半焦距为c.当P(-b,0)时，则有当P(b,0)时，依假设有当c-b0时，有所以(a-b)(b+c)=(a+b)(c-b)，化简整理得a=c,这是不可能的.,当c-b0时，有所以(a-b)(b+c)=(a+b)(b-c),化简整理得ac-b2=0.所以c2-a2+ac=0,两边同除以a2,得e2+e-1=0.解得(0,1)(舍去).可见，若存在椭圆C满足题意，只可能离心率,设P(x,y)为O：x2+y2=b2上任意一点,则由上，c2-a2+ac=0,所以a2-c2=ac,所以从而代入()式得所以存在椭圆C，这个数为 椭圆离心率为,【方法总结】存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在.(2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况.,【变式训练】(2013盐城模拟)已知椭圆C1：(ab0)过点(2，)，且它的离心率 直线l:y=kx+t与椭圆C1交于M，N两点.(1)求椭圆的标准方程.(2)当 时，求证：M，N两点的横坐标的平方和为定值.(3)若直线l与圆C2：(x-1)2+y2=1相切，椭圆上一点P满足(0)，求实数的取值范围.,【解析】(1)椭圆的标准方程为(ab0),由已知得：所以椭圆的标准方程为,设M(x1,y1),N(x2,y2),则为定值.,(3)因为直线l:y=kx+t与圆(x-1)2+y2=1相切，所以把y=kx+t代入 并整理得：(3+4k2)x2+8ktx+4t2-24=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=因为=(x1+x2,y1+y2)，所以,又因为点P在椭圆上，所以因为t20,所以所以022,所以的取值范围为,热点考向 3 与圆锥曲线有关的证明问题【典例3】(2013重庆模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 且经过点M(4，1)，直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A，B.(1)求椭圆的方程.(2)求m的取值范围.(3)若直线l不过点M，求证：直线MA,MB的斜率互为相反数.,【解题探究】(1)设椭圆方程为(ab0),由 得_,进而由M(4,1)在椭圆上，得a2=_,b2=_.(2)求m的取值范围的关键是：_.(3)要证该结论成立，只需证明直线MA，MB的斜率的和为_即可.,a2=4b2,20,5,直线与椭圆方程联立消元所得,一元二次方程的判别式0,0,【解析】(1)设椭圆的方程为(ab0),因为 所以a2=4b2.又因为M(4,1)在椭圆上,所以解得b2=5,a2=20.故椭圆方程为,(2)将y=x+m代入 并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,=(8m)2-20(4m2-20)0,解得-5m5.(3)设直线MA,MB的斜率分别为k1和k2，设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=x1x2=k1+k2=上式分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)所以直线MA,MB的斜率互为相反数.,【互动探究】若直线l:y=x+m与本例椭圆只有一个公共点，则m的值如何？【解析】由典例3(2)解析知=(8m)2-20(4m2-20)=0,解得m=5.,【方法总结】1.直线与圆锥曲线位置关系与“”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y)得出方程Ax2+Bx+C=0.(1)若A=0，则圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点.(2)若A0，则当0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离).,注：当曲线为开口向上(下)的抛物线时，常用导数求解其切线问题.2.证明与圆锥曲线有关问题的思路将待证问题转化为与点、线、向量等几何元素或斜率、长度等与数量有关的计算问题求解.,【变式备选】(2013北京模拟)如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(1)求y1y2的值.(2)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.,【解析】(1)依题意，设直线AB的方程为x=my+2.将其代入y2=4x,消去x,整理得y2-4my-8=0.从而y1y2=-8.(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),则设直线AM的方程为x=ny+1,将其代入y2=4x,消去x,整理得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理可得y2y4=-4,故由(1)得 为定值.,分类讨论思想解决圆锥曲线中的含参问题【思想诠释】1.主要类型：(1)含有参数二元二次方程表示曲线类型的讨论.(2)含有参数的方程、不等式的求解，如求离心率、渐近线方程中焦点位置的讨论，或求解过程中分母是否等于0的讨论等.(3)含参数的直线与圆锥曲线位置关系问题的求解，如对直线斜率存在与否的讨论、消元后二次项系数是否为0的讨论，判别式与0的大小关系的讨论.,2.解题思路：常常结合参数的意义及对结果的影响，全面分析参数取值引起结论的变化情况分类讨论求解.3.注意事项：(1)搞清分类的原因，准确确定分类的对象和分类的标准，要不重不漏，符合最简原则.(2)最后要将各类情况进行总结、整合.,【典例】(16分)(2013青岛模拟)设F1,F2分别是椭圆D：(ab0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为 的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为3，连结椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.(1)求椭圆D的方程.(2)作直线l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为(-a,0),若点N(0,t)是线段PQ垂直平分线的一点，且满足 求实数t的值.,【审题】分析信息，形成思路(1)切入点：根据待定系数法求解.关注点：由“距离”为3，面积为4构建关于a,b,c的方程组求解.(2)切入点：分别将 用t表示，再根据 构建关于t的方程求解.关注点：直线l的斜率不定，需对斜率取值情况分类讨论.,【解题】规范步骤，水到渠成(1)设F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),其中c0,由题意得AB的方程为：y=(x-c),因F1到直线AB的距离为3，所以有解得c=3分所以有a2-b2=c2=3.由题意知：2a2b=4,即ab=2.联立解得：a=2,b=1.所求椭圆D的方程为 5分,(2)由(1)知：P(-2,0),设Q(x1,y1),当直线l斜率不存在时，由已知显然不合要求.7分当直线l的斜率存在时，设直线斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),把它代入椭圆D的方程，消去y,整理得：(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.由根与系数的关系得-2+x1=则所以线段PQ的中点坐标为 9分,()当k=0时，则有Q(2，0)，线段PQ垂直平分线为y轴，于是=(-2,-t),=(2,-t),由=-4+t2=4,解得:t=12分,()当k0时，则线段PQ垂直平分线的方程为因为点N(0,t)是线段PQ垂直平分线上的一点，令x=0,得：于是=(-2,-t),=(x1,y1-t),由=-2x1-t(y1-t)=解得:代入 解得:14分综上，满足条件的实数t的值为.16分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移(2013深圳模拟)已知动点P(x,y)与两个定点M(-1,0),N(1,0)的连线的斜率之积等于常数(0).(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)试根据的取值情况讨论轨迹C的形状.(3)当=2时，对于平面上的定点试探究轨迹C上是否存在点P，使得EPF=120，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.,【解析】(1)由题设可知：PM,PN的斜率存在且不为0，所以(2)讨论如下：当0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点);当-10时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点);当=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆(除去点(-1，0)，(1，0);当-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴两个端点).,(3)当=2时，轨迹C的方程为x2-=1(y0),显然定点E，F为其左右焦点.假设存在这样的点P，使得EPF=120,记EPF=,PE=m,PF=n,EF=那么在EPF中，整理可得：2mn(1-cos)=8,所以,所以又因为所以 代入双曲线的方程可得：所以 所以满足题意的点P有四个，坐标分别为,