向量的线性相关.ppt

6.3 向量的线性相关,一、内容分布,6.3.1 线性组合与线性表示,6.3.2 线性相关与线性无关,6.3.3 向量组等价,6.3.4 向量组的极大线性无关组,二、教学目的,1准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别,2理解向量组的等价及极大无关组的概念,3掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法,三、重点、难点,线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概念，替换定理的证明,6.3.1 线性组合与线性表示,定义1,设 是向量空间V的r个向量，是数域F中任意r个数.我们把和,叫做向量 的一个向量组合.,如果V 中某一向量可以表示成向量 的线性组合，我们也说可以由 线性表示.,零向量显然可以由任意一组向量 线性表示，因为,6.3.2 线性相关与线性无关,定义2,设 是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数 使得,（1）,那么就说 线性相关.,如果不存在F中不全为零的数 使得等式（1）成立，换句话说，等式（1）仅当 时才成立，那么就说，向量 线性无关.,例1,令F是任意一个数域。中向量,1=（1,2,3），2=（2,4,6），3=（3,5,-4）线性相关。,例2,判断 的向量,1=（1,-2,3），2=（2,1,0），3=（1,-7,9）是否线性相关。,例3,在向量空间F x里，对于任意非负整数 n,线性无关。,命题6.3.1,向量组 中每一个向量 都可以由这一组向量线性表示.,命题6.3.2,如果向量可以由 线性表示，而每一个又都可以由 线性表示，那么可以由 线性表示.,命题6.3.3,如果向量组 线性无关,那么它的任意一部分也线性无关.一个等价的提法是:如果向量组 有一部分向量线性相关,那么整个向量组 也线性相关.,命题6.3.4,设向量组 线性无关,而 线性相关.那么一定可以由 线性表示.,定理 6.3.5,向量 线性相关,必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合.,6.3.3 向量组等价,等价的概念显然具有传递性:如果 与 等价,而后者又与 等价,那么 与 等价.,定理6.3.6(替换定理）,设向量组 线性无关,并且每一 都 可以由向量组,线性表示,那么rs,并且必要时可以对 中向量重新编号,使得用 替换后所得的向量 与 等价.,推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。,6.3.4 向量组的极大线性无关组,(1)线性无关；,(2)每一，j=1,n,都可以由 线性表示。,例5,看F3的向量组,在这里 线性无关，而,所以 是一个极大无关组。另一方面，容易看出，也是向量组 的极大无关组。,推论6.3.8,等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量。,