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1,第七章 力 法,2,71 概 述,1.静定结构与超静定结构,静定结构：,超静定结构：,A,B,C,P,P,全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构。,仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。,A,B,P,HA,VA,RB,VA,HA,RB,RC,外力超静定问题,内力超静定问题,3,P,A,B,C,P,2.超静定结构在几何组成上的特征,多余联系与多余未知力的选择。,是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。,多余联系：,这些联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。,多余未知力：,多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。,此超静定结构有一个多余联系，既有一个多余未知力。,此超静定结构有二个多余联系，既有二个多余未知力。,4,3.超静定结构的类型,（1）超静定梁;（2）超静定桁架；（3）超静定拱；,4.超静定结构的解法,求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:,（1）平衡条件；（2）几何条件；（3）物理条件。,具体求解时，有两种基本(经典)方法力法和位移法。,（4）超静定刚架；,（5）超静定组合结构。,5,72 超静定次数的确定,1.超静定次数：,2.确定超静定次数的方法:,解除多余联系的方式通 常有以下几种：,（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。,（2）拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。,用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。,多余联系或多余未知力的个数。,采用解除多余联系的 方法。,6,3.在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉三个联系。,4.将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。,应用上述解除多余联系(约束)的方法，不难确定任何 超静定结构的超静定次数。,X2,X2,7,3.例题:确定图示结构的超静定次数（n）。,n=6,n=37=21,对于具有较多框格的结构，可按 框格的数目确定，因为一个封闭框格，其 超 静定次数等于三。当结构的框格数目为 f,则 n=3f。,8,73 力法的基本概念,首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概 念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计 算超静定结构的方法。,A,B,EI,L,1判断超静定次数：n=1,q,q,A,B,原结构,2.确定(选择)基本结构。,3写出变形(位移)条件:,(a),(b),q,基本结构,根据叠加原理，式（a）可写成,9,L,将,代入(b)得,4.建立力法基本方程,(71),5.计算系数和常数项,6.将11、11代入力法方程式(8-1)，可求得,A,B,EI,q,(b),此方程便为一次超静定结构的力法方程。,=,EI,1,2,L,2,3,2L,11=,11x1,=,EI,1,2,qL,2,4,3L,_,(,3,1,L,),多余未知力x1求出后，其余反力、内力的计算都是静定问题。利用已绘出的,M1图,和MP图按叠加法绘M图。,q,10,力法的基本思想:1.找出未知问题不能求解的原因;2.将其化成会求解的问题;3.找出改造后的问题与原问题的差别;4.消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的解。,将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。这是科学研究的基本方法之一。,11,力法步骤:1.确定超静定次数，选取基本结构；,2.列力法典型方程；,4.解力法方程；,5.叠加法作弯矩图。,12,用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。,A,B,P,首先选取基本结构（见图b）,X1,X2,A,B,P,X3,基本结构的位移条件为：,1=02=03=0,设当,和荷载 P 分别作用在结构上时，,A点的位移,沿X1方向：,沿X2方向：,沿X3方向：,据叠加原理，上述位移条件可写成,原结构,基本结构,1=,（72）,（a）,（b）,11,21、22、23和2P；,31、32、33和3P。,2=21X1+22X2+23X3+2P=03=31X1+32X2+33X3+3P=0,11X1,+12X2,+13X3,+1P,=0,、12,、13,和1P；,13,基本结构,基本结构,21,11,31,22,12,32,33,31,32,1P,2P,3P,74 力法的典型方程,1.三次超静定问题的力法方程,14,变形条件：基本结构在荷载和多余未知力共同作用下B点沿X1、X2、X3方向的位移1、2、3应与原结构在B点的位移相同，即都应等于零。,10,20,30,同一结构可以选择不同的基本结构,原结构,基本结构,基本结构,基本结构,基本结构调整,15,2、n次超静定结构的力法典型方程,3）ij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；,主系数：,副系数：,物理意义：基本结构在荷载和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处沿各多余未知力方向的位移与原结构相应的位移相等。,2）ij、的物理意义：,ij,4）位移互等定理：ij ji,5）iP自由项：荷载单独作用时所引起的沿Xi方向的位移,iP,0,0,0,ij,0,0,0,（7-2）,16,系数和自由项的计算公式：,对于梁和刚架通常忽略剪力和轴力对位移的影响，因此有：,系数和自由项可采用图乘法进行计算,17,3.力法典型方程系数和自由项的计算,各项系数和自由项，均是基本结构在已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于平面结构，这些位移的计算公式为,对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，代入典型方程即可解出各多余未知力。,18,75 力法的计算步骤和示例,1.示例,P,A,B,C,I1,I2=2I1,a,n=2(二次超静定),原,选择基本结构如图示,P,A,C,B,基,X1,X2,力法典型方程为：,11X1,计算系数和常数项，为此作,a,a,a,计算结果如下,(a),a,21X1+22X2+2P=0,+12X2,+1P=0,2EI1,1,2,a2,3,2a,=,6EI1,a3,2EI1,1,2,a2,a,=,4EI1,a3,19,a,a,a,P,将以上各系数代入方程(a)并消去(a3/EI1)得,解联立方程得,多余未知力求得后其余反力、内力的计算便是静定问题。,例如,最后内力图的绘制用叠加法,15/88Pa,M图,13/88Pa,P,A,B,C,3/88Pa,a,MAC=,a,.,11,4P,+,a(,88,3P,),2,Pa,20,2.力法的计算步骤,（1）确定原结构的超静定次数。（2）选择静定的基本结构(去掉多余联系，以多余未知力代替)。（3）写出力法典型方程。（4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方程中的系数和自由项。（5）解算典型方程，求出各多余未知力。（6）按叠加法作内力图。,21,对于多跨连续梁，常利用铰结点不传递弯矩的特点，在支座处插入铰,使某些副系数ij=0。,22,MP,23,24,例 71 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。,A,B,L,a,b,P,解：,n=3,选取简支梁为基本结构,P,X1,X2,X3,基本结构,典型方程为,11X1+12X2+13X3+1P=021X1+22X2+23X3+2P=031X1+32X2+33X3+3P=0,1,1,MP图,P,3=0,故,13=31=23=32=3P=0,则典型方程第三式为,33X3=0,330(因X3的解唯一),故,作基本结构各,和MP图,由于,X3=0,M图,11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=0,由图乘法求得,代入典型方程(消去公因子)得,解得,代入典型方程解得,作弯矩图。,按式,25,例 72 用力法计算图示桁架内力，设各杆EA相同。,解：,n=1(一次超静定)。,0,1,2,3,4,P,P,2a,2a,a,选择基本结构如图示。,0,1,2,3,4,P,P,X1,基本结构,写出力法典型方程,11X1+1P=0,按下列公式计算系数和自由项,为此，求出基本结构的,和NP值,0,1,2,3,4,X1=1,-1/2,对称,0,1,2,3,4,P,P,NP,+P/2,对称,0,列表计算(见书141页)后得,EA11=(3+,)a,EA1P=Pa,26,0,1,2,3,4,X1=1,-1/2,对称,0,1,2,3,4,P,P,NP,+P/2,对称,0,0,1,2,3,4,P,P,N,对称,代入典型方程，解得,各杆内力按式,叠加求得。,0.586P,0.828P,+0.414P,+0.172P,例如,N03=0.7070.172P-0.707=0.586P,=0.172P,27,76 对称性的利用,用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型方程。,由于主系数恒正,副系数及自由项可能为正也可能为负或零，因此,选取基本结构时，应使尽可能多的副系数、自由项等于零，以达到简化计算的目的。,利用结构的对称性可使计算得到简化。,28,1.对称结构：几何形状、截面尺寸、支承情况和弹性模量均对称于几何轴线的结构。,对称,工程中有很多结构是对称的，利用对称性可简化计算。,29,(正)对称荷载：对称轴两侧的荷载大小相等，对折后作用点和作用线均重合，且指向相同。,弯矩、变形对称,2、对称荷载与对称内力：,30,(正)对称荷载：对称轴两侧的荷载大小相等，对折后作用点和作用线均重合，且指向相同。,q,弯矩、变形对称,31,(正)对称荷载：对称轴两侧的荷载大小相等，对折后作用点和作用线均重合，且指向相同。,弯矩、变形对称,32,反对称荷载：对称轴两侧的荷载大小相等，对折后作用点和作用线均重合，但指向相反。,弯矩、变形反对称,33,弯矩、变形反对称,反对称荷载：对称轴两侧的荷载大小相等，对折后作用点和作用线均重合，但指向相反。,34,弯矩、变形反对称,反对称荷载：对称轴两侧的荷载大小相等，对折后作用点和作用线均重合，但指向相反。,35,荷载分组,可将任何非对称荷载分解为正、反对称的两组，分别求解然后叠加。,36,对称轴切口处内力的对称性：切开后出现一对作用力与反作用力，内力成对出现。,轴力X1、弯矩X2 正对称的内力,剪力X3 反对称的内力,37,3.正(反)对称荷载作用下的内力特点：,正对称荷载,38,0,反,39,于是，原方程变为：,解方程，可得:,结论1：对称结构在正对称荷载作用下，反对称的多余未知力为零。,相当于减少1次超静定，计算得以简化。,40,k,k,原结构,反对称荷载：,41,于是，原方程变为：分析:,解方程，可得:,结论2：对称结构在反对称荷载作用下，正对称的多余未知力为零。,相当于减少2次超静定，计算得以简化。,42,1.在正对称荷载作用下，对称轴处截面剪力为零，基本未知力只有两个（轴力X1和弯矩X2）。,2.对称结构在反对称荷载作用下，正对称的多余未知力为零。,1.对称结构在正对称荷载作用下，反对称的多余未知力为零。,2.在反对称荷载作用下，对称轴处截面轴力和弯矩为零，基本未知力只有一个（轴力X1）。,换言之：,4.选取对称的基本结构,43,P143例 74 分析图示刚架。,解：,1.四次超静定。,2.选取对称的基本结构.,只有反对称多余未知力X1,3.作,和MP图。,3,3,图,(m),10kN,MP图(kNm),60,60,120,4.求系数和自由项,EI11=(1/2332)4+（363）2=144,EI1P=(3630+1/23 380)2=1800,5.代入典型方程：11X1+1P=0,X1=,6.叠加法画弯矩图,解得,44,5.取一半结构计算,利用结构的对称性，取一半结构进行计算，同样可降低超静定次数，达到简化计算的目的。,（1）奇数跨对称刚架,内力、变形对称,两次,对称荷载,内力、变形反对称,一次,原则：所选取的半结构受力和变形与原结构相同。方法：在切口处按原结构的受力和变形条件设置相应的支撑。,Mk 0FNk 0FSk=0,k=0kx=0ky 0,Mk=0FNk=0FSk 0,k 0kx 0ky=0,45,（2）偶数跨对称刚架,对称荷载,对称,三次超静定,六次超静定,46,（2）偶数跨对称刚架,反对称荷载,三次超静定,I,C,C,47,77 超静定结构的位移计算,1.原理：虚功原理（单位荷载法）,P149 例：某超静定刚架，若M图已由力法绘出，求Ky。,MP图,分4段图乘,较繁琐,2次,2次,48,图乘繁琐,基本结构,49,原结构,基本结构,虚拟,50,基本结构,虚拟,图乘相对容易,51,无论选择哪种基本结构，其内力和变形都与原结构相同。,原结构,a/4,图乘更容易,因此，求原结构的位移时，基本结构可根据需要选取，,并且，尽量使虚拟内力图简单，以简化图乘。,52,原结构,a/4,53,练习1：选择较简单的基本结构，求超静定梁在图示荷载作用下跨中的竖向位移Cy。,54,练习2：选择较简单的基本结构，求超静定梁在图示荷载作用下梁端的转角B。,55,P150 超静定结构位移计算的步骤：,（1）解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。（2）任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。（3）按位移公式或图乘法计算所求位移。,56,78 最后内力图的校核,用力法计算超静定结构，因步骤多易出错，应注意检查。尤其是最后的内力图，是结构设计的依据，应加以校核。,正确的内力图应满足两个条件：,1 静力平衡条件 截取结构的任一部分，应有M=0、X=0、Y=0,2 位移条件 沿任一多余未知力方向的位移=原结构位移,57,1.静力平衡条件校核,（1）弯矩图：检查刚结点处是否满足M=0，例：,取结点E为隔离体,应有：ME=MED+MEB+MEF=0,M图,（2）剪力图和轴力图,可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查是否满足 X=0和 Y=0的平衡条件。,58,2.位移条件校核,检查A支座的水平位移 1x是否为零。,=0,59,课堂练习:P174 7-25,60,79 温度变化时超静定结构的计算（自学）,注意：超静定结构，温度变化将产生变形和位移，同时产生内力。,由于存在多于约束，超静定结构在荷载作用、温度变化和支座位移等因素作用下都将产生内力，这是和静定结构的不同之处。,用力法分析超静定结构其他因素引起的内力，原理同前，唯一的区别在于典型方程中的自由项不同。,61,物理意义：基本结构在 和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处沿各多余未知力方向的位移与原结构相应的位移相等。,外 荷 载,典型方程：,多余未知力引起,外荷载引起,基本结构的位移,原结构的位移,62,物理意义：基本结构在 和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处沿各多余未知力方向的位移与原结构相应的位移相等。,温度变化,典型方程：,温度变化引起,基本结构的位移,原结构的位移,63,物理意义：基本结构在 和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处沿各多余未知力方向的位移与原结构相应的位移相等。,支座移动,典型方程：,支座移动引起,基本结构的位移,原结构的位移,或,64,iP的物理意义：,iP,沿Xi方向的位移,由外荷载引起,典型方程：,iP的计算：,65,it的物理意义：,it,沿Xi方向的位移,由温度变化引起,典型方程：,it的计算：,66,i的物理意义：,i,沿Xi方向的位移,由支座移动引起,典型方程：,i的计算：,或,67,所有因素共同作用时的典型方程：,68,例7-6 刚架外侧温度升高25，内侧温度升高35，绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架EI=常数，截面对称于形心轴，其高度h=L/10,材料的膨胀系数为。,L,L,+25,+35,解：,n=1,选取基本结构,X1,基,+25,+35,典型方程为:,11X1+1t=0,计算,并绘制,图,1,图,L,L,0,0,-1,求得系数和自由项为,=,69,按,M图,作弯矩图,求横梁中点K的位移K，作基本结构虚拟状态的,图 并求出,，然后计算位移,K,1,0,图,L/4,138EI/L,1/2,1/2,70,710 支座位移时超静定结构的计算,超静定结构支座移动时，将产生内力。,静定结构支座移动时并不产生内力。例如:,A,B,C,A,B,C,71,如图示刚架，,A,B,h,L,a,b,可建立典型方程如下：,11X1+12X2+13X3+1=021X1+22X2+23X3+2=31X1+32X2+33X3+3=a,A,B,X1,X2,X3,基,系数的计算同前，自由项计算：,最后内力按下式计算,若求位移应加上支座移动的影响：,72,P156例7-8 两端固定的梁A端发生转角，分析其内力，设EI/l=i。,解：n=3,选取基本结构,因X3=0,则典型方程为,11X1+12X2+1=21X1+22X2+2=0,，,，,1和2分别为基本结构因梁A端发生转角引起的沿X1和X2方向的转角，,大小均为0。,EI,73,711 超静定结构的特性,超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性：,1.由于存在多余联系，当结构受到荷载外其他因素影响，如温度变化、支座移动时结构将产生内力。,2.内力与各杆的相对刚度有关，设计复杂（试算）。,3.多余联系被破坏后，仍能维持几何不变，故有较 强的防御能力。,4.由于存在多余联系，一般地说要比相应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。,74,1、图示结构用力法求解时，可选切断杆件2、4后的体系作为基本结构。,。,课堂练习:,O,75,2、图示对称桁架，各杆EA,l 都相同,则FNAB=F/2,。,B,A,F,F,C,0,0,76,3、图示结构HB为().AF BF/2 C-F/2 D-F,。,F,A,EI,EI,EI,B,F,Bx,77,4、图示两刚架的EI均为常数，并分别为EI=1和EI=10，两刚架的内力关系为:()AM图相同；BM图不同；C图a各截面弯矩大于图b各相应截面弯矩；D图a各截面弯矩小于图b各相应截面弯矩。,20kN,/2,/2,/2,/2,(a),=1,l,EI,l,l,l,20kN,/2,/2,/2,/2,(b),=10,l,EI,l,l,l,78,5、图a结构中支座转动，基本结构如图，则力法方程中,。,l,A,(a),(b),q,q,-/l,79,6、图示结构，EI=常数，取图b为力法基本结构，则和 分别等于：,。,l,l,D,2,X,1,(a),(b),，,-,80,7.两端固定的梁B端沉陷,相对A端产生侧移AB，试作梁的弯矩图,设EI/l=i。,解：n=3,1和2分别为基本结构因梁B端产生侧移AB引起的沿X1和X2方向的转角。,B,AB,EI,81,1.超静定结构概述 超静定结构的组成，超静定次数 2.力法的基本概念 力法的基本未知量、基本结构和典型方程 典型方程的物理意义，系数和自由项的含义,3.力法解题步骤：1）超静定次数，去掉多余约束代以未知力，选取基本结构；2）作M图和MP图；3）计算ii，ij和ip；4）代入力法方程，求出基本未知量Xi；5）用叠加法作内力图,力法小结,82,4.对称性的应用（1）荷载分组（正+反）；（2）分别选取对应的半结构；（3）分别用力法求解半结构，画半结构内力图；（4）由对称性分别画正、反对称荷载作用下的内力图；（5）根据叠加法（正+反）画原结构的内力图。,5.力法求超静定结构的位移计算步骤：（1）计算超静定结构在荷载作用下的内力；（2）任选一基本结构，沿所求位移加单位力，求相应的内力；（3）按公式（图乘）计算所求位移。,83,6.超静定结构内力图的校核（1）从结构中任意取出一部分，满足平衡条件；（2）任选一个基本结构，选取一个多余未知力X1，算出沿X1的位移1,看是否与原结构相应的位移相等。超静定结构的一般特性,84,1.两端固定的梁B端沉陷,相对A端产生侧移AB。,2.一端固定，一端铰支的梁A端产生转角。,3.一端固定，一端滑动的梁B端作用集中力F。,A,B,补充作业:（下次课之前必须做完）三种超静定梁，l，EI已知,试用力法分别求出内力。注：结果令EI/l=i。,提示：基本结构的取法，保证静定。,EI,