最短路径问题 课后练习.docx

课题学习：最短路径问题一、单选题1. 如图，直线上的四个点A, B, C, D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m, B 小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区 有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班 车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（）A小区B. B小区C. C小区D. D小区A.2. 如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点已 使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）D.B.A.C.3. 如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点A处沿着表面爬到顶点C处，电子蚂蚁的部分爬行路线 在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（）A.B.D.一 :C4. 如图，在AABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l ,E是l上任意一点，AC = 5cm ,BC = 8cm .则*EC的周长的最小值为（）A. 8cmB. 5cmC. 18cmD. 13cm5. 如图所示，从A到B有三条路可以走，每条路长分别为L，M，N，则L，M，N的 大小关系是（）.A. L > M > NB. L = M > NC. M > N > LD. L > N > M306. 如图，一个底面直径为¥ cm，高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A. 24cmB. 10 械 13 cmC. 25cmD. 30cm7 .如图，在五边形ABCDE 中，ZBAE = 152。, ZB = ZE = 90。，AB = BC , AE = DE 在 BC , DE 上 分别找一点M , N，使得麟MN的周长最小时，则ZAMN + ZANM的度数为（）A. 55°B. 56°C. 57°D. 58°8.如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为（2, 7），点B的坐标为（5, 0），点C是y轴上一个动点，且点A,B,C三点不在同一条直线上，当UABC的周长最小时，点C的坐标是（）A. （0,2）B. （0,5）C. （0,7）D. （0,9）9.如图，ZAOB = 30。, M, N分别是边OA,OB上的定点，P, Q分别是边OB, OA上的动点，记ZOPM =a,ZOQN = P ,当MP + PQ + QN的值最小时，关于a "的数量关系正确的是（） 10.如图，OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线，MD = 5cm,MC = 7cm,CD = 10cm，一只 小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点H，然后爬回M点，则小 蚂蚁爬行的最短路径为（ ）A. P-a= 60。B. P+a= 210°C.。 2a = 30° D.。+ 2a = 240°A. 12cmB. 10cmC. 7cmD. 5cm11. 如图，在DABC中，口人。8 = 90°，以AC为底边在口ABC外作等腰口ACD，过点D 作DADC的平分线分别交AB，AC于点E，F.若AC=12, BC = 5，DABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，PBC周长的最小值为（）A. 15B. 17C. 18D. 2012. 如图，已知点P（0，3），等腰直角口ABC中，OBAC=90°，AB=AC，BC=2, BC边在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是（）B. M2*6C.5D.二、填空题13. 如图，在锐角 ABC中，ZACB = 50°,边AB上有一定点P, M, N分别是AC和BC边上的 动点，当 PMN的周长最小时，AMPN的度数是.C B14. 如图，在平面直角坐标系x°y中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为 边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点，连接PG则PC的长的最小值 为.15. 如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A，点C均在格点上，点P为x轴上任意一点， 则APAC周长的最小值为.16. 将图中的树叶沿虚线剪掉一部分，发现剩下的树叶的周长比原来的周长要小，能正确解释 这一现象的数学道理是.17. 如下图，AB 1 BC, AD 1 DC,/BAD =120°，在BC、CD 上分别找一点 M、M 当肱N 周 长最小时，/AMN + /ANM的度数是.三、解答题18. 如图，已知两点P、Q在锐角UAOB内，分别在OA、OB上求作点M、N,使PM+MN+NQ最短.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）19. 如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再回到P处.请画出旅游船的最短路径（实际行走路径画实线，其它辅助线画虚线）河岸20.如图，*BC中，ZACB = 90。，以AC为底边作等腰三角形筮CD, AD = CD，过点D作 DE ± AC，垂足为F， DE与AB相交于点E，连接CE .(1) 求证：AE = CE = BE .(2) 若AB = 15cm，BC = 9cm，点p是射线DE上的一点，则当点P为何处时，APBC的周长 最小，并求出此时APBC的周长.21.如图，在 ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M .(1) 若ZB = 70。，则ZNMA的度数是；(2) 连接 MB，若 AB = 8 cm， AMBC 的周长是 14 cm.求BC的长；口在直线MN上是否存在点P，使由P , B，C构成的aPBC的周长值最小？若存在，标出点P的 位置并求aPBC的周长最小值；若不存在，说明理由.A22. 如图，A, B两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水.(1) 若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址M应选在哪个位置？(2) 若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址N应选在哪个位置？(3) 自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流CD上找出一点P，使|PA-PB| 的值最大.”你能找到P点吗？请将上述M、N、P三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕 迹.23. 如图，在口ABC 中，AB=AC = 5, BC=6，点 M 在DABC 内，AM 平分UBAC.点 E 与点M在AC所在直线的两侧，AEDAB，AE=BC，点N在AC边上，CN=AM，连接ME，BN.(1) 补全图形；(2) 求ME： BN的值；(3) 问：点M在何处时BM+BN取得最小值？确定此时点M的位置，并求此时BM+BN的最 小值.参考答案1. B解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5x50+20x(200+50)+6(2x50+200) = 7050(m),当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30x50+20x200+6(50+200)=7000(m),当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5x200+6x50= 8800(m),当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30x(2x50+200)+5(50+200)+20x50= 11900(m),因为 7000<7050<8800< 11900,所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B 区.故选：B.2. B解：口点A，B在直线l的同侧，作A点关于l的对称点A'，连接AB与l的交点为P，由对称性可知AP=AP，此时PA+PB最小，故选：B.3. A解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，则沿线段AC爬行，就可以使 爬行路线最短，是根据两点之间，线段最短.故选：A.4. D解：如图，连接BE，口点D是AB边的中点，/口AB, /是AB的垂直平分线，AE=BE,AE+CE=BE+CE,BE+CE>BC,当B, E, C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变， AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13.故选：D.5. B解：根据两点之间线段最短可得第条路比第条路短；由于台阶的高度之和就是总体的高 度，台阶的长度之和就是总体的长度，所以第条路和第条路一样长，所以L = MN ；故选B.6. C解：将此圆柱展成平面图得：口有一圆柱，它的高等于20cm，底面直径等于30 cm,兀30-口底面周长= 兀=30 cm,兀 BC=20cm, AC= 1 x30 = 15 (cm), 2AB= v'AC2 + BC2 = h202 +152 = 25 (cm).答：它需要爬行的最短路程为25cm.故选：C.7. B解：作A关于BC的对称点G, A关于DE的对称点H,连接MG, NH,则 AM=MG, AN=NH, AMN 的周长为 AM+MN+AN=MG+MN+NH,由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，UAMN的周长最小， BAE=152°, G+DH=28°,AM=MG, AN=NH, G=1GAM, H=HAN,AMN+UANM=2U G+2DH=2x28°=56°故选：B.8. B解：作点A关于丁轴的对称点A，连接AB交J轴于点C ,当DABC的周长最小时，即CA + CB最小，A(2,7), B(2,7)设直线AB的解析式为：J = kx + b(k丰0)，代入A,B的坐标得，Wk + b = 7<5k + b = 0解得'k = -1b = 5y = x + 5当x = 0时，解得y = 5C(0,5)故选：B.9. B解：如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N，连接MN'交OA于Q，交OB 于P，则此时MP + PQ + QN的值最小.易知 ZOPM = ZOPM ' = ZNPQ , ZOQP = ZAQN' = ZAQN . ZOQN = 180。 30。 ZONQ , ZOPM = ZNPQ = 30° + ZOQPZOQP = ZAQN = 30° + ZONQ , a + P = 30。+ 30° +ZONQ +180° 30° ZONQ = 210° .故选：B.10. B解：由题意可知。与OA的交点为E,与OB的交点为F. OA, OB分别是线段MC, MD的垂直平分线， ME = CE, MF = DF，小蚂蚁爬行的最短路径为ME + EF + FM = CE + EF + FD = CD = 10cm.11. C解：AACD是以AC为底边的等腰三角形，DE平分Z ADC ,ED垂直平分AC ,.点A与点C关于DE对称，.PC = PA ,如图所示，当点P与点E重合时，PC + PB = PA + PB = AB ,此时APBC的周长最小，vA 12，BC = 5，AABC的周长为 30,.AB = 13. PBC周长的最小值为AB + BC = 13 + 5 = 18故选：C .12. B解：如图，过点P作PDDx轴，做点A关于直线PD的对称点A'，延长A A交x轴于点E， 则当A'、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，.p.A口等腰直角口ABC 中，BAC=90。，AB=AC，BC=2,AE=BE=1，P（0，3），A A'=4，A'E=5， A'B =（BE 2 + AE 2 = 112 + 52 = % 26，故选B.13. 80°解：口 PDDAC, PGDBC, PEC=DPFC=90°, C+EPF=180°, C=50°, D+UG+UEPF=180°, D+G=50°,由对称可知：G=UGPN, D=1DPM, L GPN+UDPM=50°, MPN=130°-50°=80°,故答案为：80°.项G解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE,过点E作EF1AP于F,口点A的坐标为（0, 6）, OA=6,口点P为OA的中点，AP=3, AEP是等边三角形，EFUAP, 3 AF=PF= ，AE=AP, EAPBAC = 60°,2 BAE CAP,在ABE 和 ACP 中，| AE IP< 匕BAE = ZCAPAB = AC ABEMACP (SAS)，BE=PC，当BE有最小值时，PC有最小值，即BEIx轴时，BE有最小值，39 BE 的最小值为 OF = OP+PF = 3 + - =，22，一 ,9 PC的最小值为-，29故答案为：.15. 2顼而+ 2、还解：AC=v'22 +22 = 22，如图，作点C关于x轴的对称点C'，连接AC，与x轴交于点P，则 AP+PC=AP+PC'=AC',此时AP+PC取得最小值，最小值为22 + 62 = 2J布，所以UPAC周长的最小值为2、而+ 2启,故答案为：2/0 + 2侦2 .16. 两点之间线段最短解：如图，设虚线与树叶边缘交于A、B两点，则剩下的树叶周长与原来的周长相差的只是线段AB左侧的部分，原来AB左侧是一条曲线， 剪后AB左侧即为线段AB，口线段AB的长度小于原来AB之间曲线的长度，口剩下的树叶的周长比原来的周长要小，其原因即为两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短17. 120°解：作A关于BC和CD的对称点A'，A”，连接A'A，交BC于M，交CD于N，则A'A 即为UAMN的周长最小值. DAB=120°， AA'M+DA"=180°-DBAD=60°， MA'A=1MAA'，NAD=A"，且口MA'A+1MAA'=1AMN，NAD+WANM， AMN+1ANM=1MA'A+1MAA'+1NAD+1A=2 (AA'M+W) =2x60°=120°，故答案为：120°18.见解析解：如图： M、N即为所求.19.详见解析解：(1)两点之间，线段最短，连接PQ；(2)作P关于BC的对称点？1，连接QP1，交BC于M,再连接MP, 最短路线P-Q-M-P.如图所示：20. （1）证明见解析.（2） 24cm.解：（1） ODA=DC, DFOAC, AF=CF, DE垂直平分线段AC, EA=EC, EAC=DECA, ACB=90°, EAC+1B=90。，ECA+UECB=90°ECB=UB, EC=EB=EA.(2)连接 PB、PC、PA.要使得口PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可. PB+PC=PA+PB>AB,当P与E重合时，PA+PB最小， PBC 的周长最小值=AB+BC=15+9=24cm.21. (1) 50° (2) 6cm ； 口存在点P,点P与点M重合，UPBC周长的最小值为14cm 解：(1) AB=AC, B=" = 70°, A= 180°-70°-70°=40° MN垂直平分AB交AB于N MN1AB, ANM=90°,在UAMN中，NMA= 180°-90°-40° = 50°；(2) 如图所示，连接MB, MN垂直平分AB交于AB于N AM=BM, MBC 的周长=BM+BC+CM=AM+BC+CM=BC+AC= 14 cm又 DAB=AC = 8cm, BC= 14 cm 8 cm = 6cm；如图所示， MN垂直平分AB,点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M,因此点P与点M重合; MBC的周长就是口PBC周长的最小值， PBC周长的最小值= 1MBC的周长=14 cm.22. （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析解：（1） 自来水厂到两村的距离相等，即MA=MB, M在AB的垂直平分线上，如图:厂址应该选在M处;(2)由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小， 如图，A'为点A关于CD的对称点，连接A'B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处；1, BA /上/'c ID¥(3)若PA PB |最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图，可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大；P CD23. (1)补图见解析；(2) ME： BN=1； (3)当点M在UBAC的平分线上运动到它与BE 的交点处时，BM+BN取得最小值，为.解：(1)补全图形见图1：ABHl(2)如图2,延长AM交BC于点D,AB=AC, AM 平分UBAC,CAD=DBAD, ADDBC,AEDAB, MAE+DBAD=90°,ADDBC, C+DCAD=90°, MAE=DC,在UAME和CNB中，'AM=CN< ZMAE=ZC ,AE=BC AMEDDCNB (SAS), ME=BN,ME： BN=1；(3) DME=BN, BM+BN=BM+ME,当点M在BAC的平分线上运动到它与BE的交点处时，BM+BN取得最小值,AB=AC=5, BC=6,AE=BC=6, BE2 + AB 2 ='62 + 52 =、：61 , BM+BN的最小值为.石.