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小波分析及其应用,任课教师：李 红,第四章 离散小波变换,二进小波变换基和框架小波框架,引 言,连续小波变换时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。离散小波变换时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。,问题的提出：连续小波变换的计算量大。由于连续小波变换中有冗余信息，可能对尺度和时移参数进行离散化后仍可重构信号。尺度和时移参数离散化要解决的问题：尺度和时移参数要怎样离散化？尺度和时移参数离散化后要想重构信号对小波函数应有什么样的要求？,怎样选择小波函数才能够重构信号小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大对小波函数的限制也会很大。,小波变换的分类,中,三个变量均为连续变量，,加不同的离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面,通过对它们施,离散小波及离散（参数）小波变换：二进小波及二进小波变换,只对a,b离散化,：只对a离散化,介绍两种最重要的分类：,离散小波及离散（参数）小波变换,令参数,，,，其中,，则离散（参数）小波为：,在这种情况下，常用,记,，即,相应于离散小波,的离散（参数）小波变换为：,重构问题：,在满足什么条件下，可以由离散小波变换,重构原信号？,可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性。,尺度离散化：,实际工作中最常见的情况是,将尺度 a按照二进尺度离散化,此时a 取值为,位移离散化：,当a=2-J(也就是j=J时),b可以某一基本间隔b0做均匀采样.b0应适当选择使信息仍能覆盖全b轴而不丢失(如不低于Nyquist采样率).每经过一次小波变换,其采样间隔扩大一倍,由此可见此时a-b平面内的采样点如下图所示.,变为,为简化书写,通常认为b0=1,以归一.并记,即对于分辨率j,b以采样间隔1/2jb0做均匀采样.此时,也就是把b轴用b0加,问题:如何利用db2小波的支撑解释突变点的支撑区间?,2.7890625,2.828125,一、二进小波及二进小波变换,在连续小波变换中，令参数,，,，而参数b仍取连续值.,则有二进小波：,这时，,的二进小波变换定义为：,重构问题：,在满足什么条件下，可以由二进小波变换,重构原信号？,卷积定义:,假定小波函数,为实函数,尺度符号改用,表示,相应于,的连续,小波变换记为,.,当,时，,连续二进小波变换为：,其中，,重构问题：,在满足什么条件下，可以由二进小波变换,重构原信号？,注意与当前文献中各种定义的区别.,设函数,，如果存在正常数,与,，且,，使得,则,且存在,满足,使得原信号可由二进小波变换得到重构：,二进小波及其稳定性条件,二进小波及其重构小波,二进小波变换的稳定性条件,二进小波变换具有平移不变性,二进小波是允许小波,离散小波是二进小波,函数 称为二进小波，如果存在常数A、B，使得（*）函数序列 叫做 的二进小波换，（*）称为稳定条件,二进小波变换的注记,二进小波实际上就是将卷积型连续小波变换中a的进行离散化为；二进小波一定是允许小波,满足“允许性”条件；,定理:设 为二进小波,即(*)成立,则有,证明:由于,证明:由于,(I),定理:稳定性条件(*)等价于,证明:在(*)式两边乘以,利用(I)式和Parseval恒等式,我们推出(II).反之,若(II)式成立,由(I)式,我们有,(II),我们得到(*)式.证毕.,(III),(IV),(III),(IV),(*),Schauder基的定义：,二、基与框架,Hilbert空间中规范正交基：,Riesz基：,框架：,(I),框架的一种特殊情况紧框架A=B的框架称为紧框架,此时有,若 是紧框架,则在H意义下,有,这表明 可以通过系数 表示.,(V),框架与正交基：,紧框架不是标准正交基的一个例子：在二维实空间中有三个矢量：,因此,他们是紧框架,A=B=3/2.3/2是此系的剩余度量,2维中的3个向量.,紧框架成为标准正交基的条件：若 为紧框架，框架界A=B=1，且对所有的 n 有：，则 构成标准正交基。证明：事实上,因此,由,得,小波框架：,寻找函数系生成框架的条件.从而重构信号:参阅 I.Daubechies,小波十讲.,小波框架(必要条件),定理:若 构成小波框架,界为A,B,则,小波框架(充分条件),函数 在什么条件下使 构成小波框架的描述比较复杂,有兴趣可参阅I.Daubechies,小波十讲,第三章.,问题:函数 满足什么条件,构成 的正交基(或Riesz基).此时,信号 可以用其基分解与重构.多分辨率分析提供了构造正交小波的一般方法.我们 将在下一章讲述.,