普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第十章.docx

第十章波动和声习题解答10.2.1频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。0°C时，空气中的声速为331.5m/s, 求这两种频率声波的波长。解： V = vX,:上=V / v, 人=V / v = 3Hr5 注 16.58m人广 V/v2 = 331.5/20 注 16.58x 10-3m10.2.2 一平面简谐声波的振幅A=0.001m,频率为1483Hz,在20°C的水中传播，写出其波方程。解：查表可知，波在20°C的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x轴沿波传播方向，x表示各体元平衡 位置坐标，y表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：y = A cos 2k v(t - -v) = 0.001 cos(2966兀 t - 2兀 x)10.2.3已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10%写出波方程(最简形式).又距波源9m 和10m两波面上的相位差是多少？解：取坐标原点处体元初相为零，o-x轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为y = A cos (t 一 -r) = A cos 2兀(十-x) = 10 -3 cos 2兀(100t 一 x)=2k (100t - 9) - 2k (100t -10) = 2k10.2.4写出振幅为A,频率v=,波速为V=C,沿 o-x轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0 时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x轴正方向。解：设波源振动方程为y = A cos(t +们.*.* t=0 时，y = A cos。= 0, u = -dy =A sin。 0,二。=-kdt2.波方程 y = A cos2k v(t - -r) - = A cos2Kf (t - -T)-写10.2.5已知波源在原点(x=0)的平面简谐波方程为y = Acos(bt - cx),A,b,c均为常量.试求：振幅、频率、波速和波长；写出在传播方向上距波源处一 点的振动方程式，此质点振动的初相位如何？解：将y = Acos(bt - cx)与标准形式y = Acos(w t - kx)比较，w =b,k=c,.振幅为A,频率v=w /2n =b/2n，波速 V=w /k=b/c,波长入=V/v=2n /c.令x=l,则y = Acos(bt - cl)，此质点振动初相为 -l.10.2.6 一平面简谐波逆x轴传播，波方程为y = Acos2兀v(t + ； + 3),试利用改变计时起点的方法将波方程化为最简形式。解：令t=t+3,则y = Acos2兀v(t'+ *)，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最简形式。V10.2.7平面简谐波方程y = 5cos2兀(t + 4)，试用两种方法画出t = 3s时的波形图(SI)。 解：由波方程可知：A=5, v=4, v=1,入=v/v=4t = m s 时，y = 5 cos 2k (3 + 九)=5cos 丑(x +12)方法一：令x'= x +苧，先画出y = 5cos?x'的波形图，然后将y轴右移¥即可。 方法二：找出x、y的对应点，根据余弦函数规律描出。10.2.8对于平面简谐波S = rcos2k (,一芝)中，r=0.01m,T=12s,入=0.30m,画出x=0.20m处体元的位移 T A-时间曲线。画出t=3s,6s时的波形图。解：波方程 S = r cos2k ( t-a ) = 0.01cos 2k (-t-高)令 x=0.20，S = 0.01cos 2k (12 一 0|) = 0.01cos 芝(t - 8)；令 t'=t-8,根据 T=12s 及余弦曲线的规律， 先画出S'= 0.01cos三t'的S-t曲线，再把S'轴向左移动8秒，即得S-t曲线。令 t=3, S = 0.01cos2k （寻-=）=0.01cos2k （f -寻）=120.30.3120.01cos孝k (x-京).令x'= x-京，根据A = 0.3 = 4X -3-m及余弦曲线的规律，先画出S' = 0.01cos孝kx'的S-x曲线，再把S轴向左移动3/40m，即得S-x曲线。t=6s时的波形图，可把t=3s时的波形图左移写x 0.3 =或m，即1个单位，就是t=6s时的波形图（虚线 所示）。10.2.9两图分别表示向右和向左传的平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时土丐,以及&2,（对于x2和& 2只要求& 3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何? 说明其相位在第几像限）解：根据 > -A cos （t + k）, u = -wA sin （t + t）及波形图随时间t的移动方向，可做出如下判断:x1X2X3& 1& 2& 3位移正最大负0正最大负0速度0负负最大0正正最大相位0或2nII像限n /20或2nm像限-n /210.2.10图（a）、（b）分别表示t=0和t=2s时的某一平面简谐波的波形图。试写出平面简谐波方程。解：由波形图知：A=2m,入=2m.由图（a），原点处质元t=0时， y=A,可判断其初相为零.比较（a）、（b）两图，（b）图可看作（a） 图向右移动 0.5m 得到。：NX t=0.5,V=0.5/2=0.25m/s.3 =2n V/入=2n X 0.25/2=0.25n二 y = 2 cosw （t 一 -k）v=2 cos 0.25 兀（t-F）=2 cos k （0.25t - k）10.3.1有一圆形横截面的铜丝，受张力1.0N，横截面积为1.0mm2.求其中传播纵波和横波时的波速各为 多少？铜的密度为8.9X 103kg/m3,铜的杨氏模量为12X 109N/m2.解：纵波波速 V = ；y = J 12x109 - 1.16 x 103 m / s.' P *8.3x103铜丝的线密度P' =Ps = 8.9 x 103 x 1.0 x 10-6 = 8.9 x 10-3kg /m，铜丝中传播的横波是绳波，横波波速V = ： t =；1牝 10.6m / sV P'8.9x10-310.3.2已知某种温度下水中声速为1.45X103m/s，求水的体变模量。解：.水中声波速度v =* 水的体变模量k = p V 2 = 1.0 X 103 X (1.45 x 103)2 牝 2.10 X 109 Pa10.4.1在直径为14cm管中传播的平面简谐波，平均能流密度为9erg/s.cm2, v=300Hz, V=300m/s.求最大能量密度和平均能量密度，求相邻同相位波面间的总能量。解：平均能流密度I = + P2 A2V = 9 x 10-3 J / s.m22.能量密度8 = *2A2sin2o什-制，.最大能量密度8= P® 2 A 2 = 2- = 2x9x10-3 = 6 X 10 -5 J / m3. 平均能量密度8 = + ps 2 A 2 = + 8= 3 x 10 -5 J / m 3管的横截面积s刑2 = 3.14X （亍）2 =1燮10-2m2，.相邻同相位波面间的距离为x=铲=蕊=1m，.其间总能量为E = 8人s = 3x 10-5 x 1 x 1.54x 10-2 * 4.6x 10-7 J10.4.3面向街道的窗口面积约40m2，街道上的噪声在窗口的声强级为60dB，问有多少声功率传入室 内？（即单位时间进入多少声能）解：据声强级定义：Il = 10lg 丁 = 60，lg -f- = 6, I = 1061。，所以传入室内的声功率W = IS = 106 x 10-12 x 40 = 4.0 x 10-5 W10.4.4距一点声源10m的地方，声音的声强级为20dB，求：距声源5m处的声 强级；距声源多远就听不见1000Hz的声音了？解：设r=r1=5m时,声强为七,声强级为IL1； r=r2=10m时，声强为I2,声强级为IL2I 4兀r2 = I 4兀r 2, I = I （勺）2， 用 声 强 级 表 示：1122 1 2 %10lg 七=10lg * = 10lg 虹 + 10lg( G210折10r1即”七10lg(状=20 +10lg4 = 20 + 6.02 =列枷设r=r3时听不到声音，即对应的声强级IL3=010lg & = 10lg & - 10lg 七=IL IL = 20 0,.lg 七=2,七=102I310I0231313I 4兀 r 2 = I 4兀 r 2,小=(十)2,尸=J七r = 10x 10 = 100m2233 12r33I3 210.5.1声音干涉仪用于显示声波的干涉，见图。薄膜S在电磁铁的作用下振动，D为声音检测器，SBD 长度可变，SAD长度固定，声音干涉仪内充满空气。当B处于某一位置时，在D处听到的声强为100单 位的最小声音，将B移动则声音加大，当B移动1.65cm时听到强度为900单位的最强音。求：声波的 频率；到达D处二声波振幅之比，已知声速为342.4m/s解：D处听到的声强是由SAD和SBD传过来的两列相干波叠加结 果；声强最小，说明两列相干波在D处的相位相反，合振幅为两个分振幅之差；声强最大，说明两列相干波在D处相位相同，合振幅为两个分振幅之和；两列波在D处的相位 差由相反变为相同，相位差改变为n，因此两列波传播距离的改变为入/2，有：了 = 2 x 1.65 x 10-2,人=6.6 x 10-2 m, v = * = 5188Hz/ /1 = A 2 /A 2, A / A = JTTT = v'100/900 = 1/312121212波长0.34m.至少求出10.5.2两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有相同的相位， 个x数值使得在P点合振动最强，求出三个x数值使得在P点的合振动最弱。解：由于两个波源的相位相同，因而二波在P点引起的两个分振动的相位差 A = i-(i-x)2兀=2兀*入入当2兀* = 2n兀(n = 0,1,2)时，入合振动最强。取 n=0,1,2,得 X=0, x2=入=0.34m, x3=2A =0.68m当2兀广(2n +1)兀(n = 0,1,2)时，合振动最弱。取nF,2,得x1=A燮腿，字入/2=0.51m,x3=5入 /2=0.85m10.5.3试证明两列频率相同，振动方向相同、传播方向相反而振幅大小不同的平面间谐波相叠加可形 成一驻波与一行波的叠加。证明；设满足要求的两列平面简谐波的波方程为：y = A cos( t 一 kx), y = A cos( t + kx), A > AA 1 A A A A( ( ( =11cos(w t 一 kx) + A2 cos而 t + kx)122(应用三角函数公式：A + A ) cos( t kx) + A cos( t + kx)1 - A2)co；( t - kx) + A cos( t + kx) + cos( t - kx)一 A )cos( t 一 kx) + 2A cos kx cos tcos a + cos P = 2 cos + cos )显然，前一项表示一行波，后一项为一驻波10.5.4入射波y = 10 x 10-4 cos2000 (t -嘉)在固定端反射，坐标原点与固定端相距0.51m，写出反 射波方程.无振幅损失.(SI)解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同；反射波传播方向与入射波传播方向相反；入射波在 原点处振动初相为零，设反射波在坐标原点处振动初相为？，固定端反射有半波损失，所以 0 - 8 = 2A 2兀+兀,。=-(4A + 1)兀=-(4x0.51 + 1)兀=-61兀.综合以上考虑，反射波方程为入入34/1000y = 10 x 10-4 cos2000兀(t + 十)-61 兀34=10 x 10-4 cos2000兀(t + *)兀3410.5.5入射波方程为y = Acos2兀（T + p ,在x=0处的自由端反射，求反射波的波方程。无振幅损失。解：反射波的振幅、周期、波长与入射波相同；反射波传播方向与入射波相反；由于诳=0处的自由 端反射，无半波损失，反射波与入射波在原点的初相相同。综合以上考虑，反射波方程为y = A cos 2兀（士 - x）10.5.6 10.5.7图表示某一瞬时入射波的波形图，分别画出在固定端反射和在自由端反射时，反射波 的波形图，无振幅损失。解：方法：可先把界面后边的入射波补画上去，如图1； 固定端反射时，损失半个波长，可把界面后边的波形去 掉半个波长，然后把剩余波形映射过去即可，如图2； 自由端反射，无半波损失，直接把界面后边的波形映射过去即可，如图3。10.5.8 一平面简谐波自左向右传播，在波射线上某质元A的振动曲 线如图示。后来此波在前进方向上遇一障碍物而反射，并与该入射平面 简谐波叠加而成驻波，相邻波节波腹距离为3m,以质元A的平衡位置为 o-y轴原点，写出该入射波波方程。解：,相邻波节波腹间距离是入/4=3,.入=12m,k=2n /入=n /6；从A点振动曲线可知：A=0.2m,T=2s,3 =2n /T=n ；设A点振动方程为x = 0.2cos（兀t +中）,Vt=0.5s时，x= - 0.2, .*. - 0.2=0.2cos（夺 + 中）3 + =k,甲=3.综合以上考虑，入射波波方程应为x = 0.2cos（t - ky +） = 0.2cos（兀 t 一齿 y + 传）10.5.9同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相对传播，波长8m. 波射线上A、B两点相距20m.一波在A处为波峰时，另一波在B处相位为-n /2.求AB连线上因干涉而静 止的各点的位置湿 .解：以A点为坐标原点，建立图示坐标系，x表示各质元的平衡位置，一y表示各质元的振动位移。X设：y1 = A cos（t 艾x）, y2 = A cos（t +艾x +）,据题意，波1使A处（x=0）质元位移最大时， 波2使B处（x=20）质元的振动相位为-n /2,即t=0时，芝* 20 + = 丁.,.甲=一百守=5.5兀y = A cos（ t + 诵 x 5.5兀）2入合振动位移为零（即静止）的条件是：两波在这些点引起的分振动的相位差中=（Ot + 亲 x 5.5兀）（ot 海 x） = （2n +1）兀，XX将入=8代入并整理，可得x = 4n+13, n = 0, +1, ±2, ±3".由于0WxW20".取 n = -3, -2, -1, 0, 1,对应的 x = 1, 5, 9, 13, 17m.10.5.10 一提琴弦长50cm，两端固定，不用手指按时，发出的声音是A调：440Hz，若欲发出C调：528Hz， 手指应按在何处？解：基频决定音调，取n=1，七=客T,七'=方JT,所以，vl', v , 440= , 1 = 1 =x 50cm = 41.67cm，即手按在 41.67cm 可发出 C 调音v1 v 52810.5.11张紧的提琴弦能发出某一种音调，若欲使它发生的频率比原来提高一倍，问弦内张力应增加 多少倍？解：V =救三，.驾=,，= （了）2T = 22T = 4T，即弦内张力应增加3倍。10.7.1火车以速率v驶过一个在车站上静止的观察者，火车发出的汽笛声频率为f.求观察者听到的声 音的频率的变化。设声速是v0.解：根据多普勒公式，当火车驶进车站时，观察者听到的频率V = f ；当火车驶出车站时，观察者听到的频率V = f。1v°V2v°+v10.7.2两个观察者A和B携带频率均为1000Hz声源。如果A静止，而B以10m/s的速率向A运动，那么A和B听到的拍是多少？设声速为340m/s.解：A听到的拍频vA=v2，- %其中：v1，=v=1000Hz, v '=*v $=34000 x 1000 = 1030Hz，. vA=1030-1000=30Hz.B 听到的拍频 v =v 7- v，.其中：v，=1000Hz, v '= H vB 1221 v=340+10 X 1000 = 1029Hz,. v = 1029 1000 = 29Hz . 340B10.7.3 一音叉以vs=2.5m/s速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音频率v=3Hz，求音叉振动频率。 声速 340m/s.解：设音叉振动频率为f.人从音叉直接听到的频率v ' = f = 340 f = 0.9927f1V+匕340+2.5人听到的从墙反射回来的频率（即墙接受到的频率）V ' = f = 340 f = 1.0074f .2V-匕340-2.5V 2'-V'= V ,即(1.0074 - 0.9927) f = v = 3 f = 3/(1.0074 - 0.9927) = 204Hz