随机变量的函数及其分布.ppt

概率论与数理统计,二、离散型随机变量 的函数的分布,三、连续型随机变量 的函数的分布,第三节 随机变量的函数 及其分布(1),(单个随机变量的函数的分布),一、问题的提出,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,例如，已知圆柱截面直径 d 的分布,已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布,求功率 W=V2/R(R为电阻）的分布等.,设随机变量X 的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,下面我们分离散型和连续型两种情况进行讨论.,如何根据已知的随机变量 X 的分布求得随机变量Y=f(X)的分布？,二、离散型随机变量的函数的分布,问题,设 f(x)是定义在随机变量X 的一切可能值 x,的集合上的函数，若随机变量Y随着X取x的值,而取y=f(x)，则称随机变量Y为随机变量X的,函数，记为Y=f(X).,例1,设离散型随机变量 X 的分布律,求Y=X-1的分布律.,解,Y 的可能取值为4，1，2.,故 Y 的分布律为,由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.,离散型随机变量的函数的分布律,例2,设,解,+,Y 的分布律为,三、连续型随机变量的函数的分布,1.分布函数法,例3,下面给出两种方法来求Y的概率密度函数,1 先求Y=2X+8 的分布函数,解,2 由分布函数求概率密度.,定理,(例2.18),2.公式法,证,于是,证,X 的概率密度为,例4,解,方法1(公式法),例5,方法2(分布函数法),解,例6,求圆的面积的密度函数.,密度函数为,设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布,分析,解,例7,证,例8,1.离散型随机变量的函数的分布,内容小结,2.连续型随机变量的函数的分布,方法1,答：,思考题,例如,所以,再见,解,备用题例2-1,求圆周长 Y1和圆面积 Y2的分布列.,分布列为,的值均不相等,不需合并.,所以 Y1的分布列分,Y2 的分布列为,解,例2-2,服从 N(100,52)工程队规定:若工程在100天内完工,可获奖金10万元;在100115天内完工可获奖金3万,元;超过115天完工,罚款5万元,求该工程队在完成,此项工程时，所获奖金的分布列.,设某工程队完成某项工程所需时间X(天)近似,所以所获奖金Y 的分布列为,故从本例得知,连续型随机变量的函数也可以是,离散型的.,例2-3,解,所以Y的分布列为,由此可得,已知随机变量的密度函数为,解,例5-1,再由分布函数求概率密度.,当 Y=2X+3 时,有,