随机分析补充知识.ppt

,第二章 随机分析,第一节 二阶矩过程,第二节 均方极限,第三节 均方连续,第四节 均方导数,第五节 均方积分,第一节 二阶矩过程,一、定义,则称为二阶矩过程。,Home,解,由于 和V都服从正态分布，所以 也具有正态分布，,且,Home,二、性质,二阶矩过程的协方差函数一定存在,证,由许瓦兹不等式得,故,即二阶矩过程 的协方差函数存在,注,Home,说明,在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。,返回,Home,第二节 均方极限,一、均方收敛,定义1,记作,或简记为,Home,二、均方收敛准则,定理1,柯西准则,则 均方收敛的充要条件为,证,只证必要性,因为 均方收敛于X，,所以有,Home,又由,所以,故,Home,注,等价,存在,其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。,三、均方收敛性质,性质1,若,则,证,由许瓦兹不等式得,因,故得证,注,当 均方收敛于X时，的期望收敛于X的期望,Home,性质2,若,则,证,由许瓦兹不等式得,因,故得证,Home,性质3,若,则对任意常数a、b都有,证,因为,故得证,Home,性质4,若,则,注,因,=,证,于是,即,Home,均方极限的唯一性,解,由Cauchy准则，在级数 收敛的条件下，可得均方收敛。,例2,Home,第三节 均方连续性,均方收敛,定义1,即,则称 在点t均方连续。,一、均方连续,称 在 时均方收敛于,Home,二、均方连续准则,定理1,则,证,充分性,则,所以,Home,再证必要性,又,由均方收敛性质2得,定理2,证,由定理1知，,Home,再由均方收敛性质2，得,即,Home,定理3,则,证,由均方连续定义,从而,说明,在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。,Home,第四节 均方导数,一、均方导数的定义,定义1,如果均方极限,存在,则称 在t处均方可微，,并将此极限记作,即有,或,Home,二次均方可微,二阶均方导数,定义2,广义二次可微,存在,Home,二、均方可微准则,定理1,证,由均方收敛准则知,的充要条件是,存在,而,存在,Home,三、均方导数的性质,性质1,性质2,Home,性质3,性质4,证1,设 在t处均方可微，则 在t处均方连续。,其它类似可证,性质5,Home,四、,1,证,注,均方导数 的均值等于均值函数的导数。而 为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。,Home,2.,证,Home,注,求偏导数得到。,3,证明,Home,即,同理可得,又因,故,Home,注,随机过程 的相关函数求两次混合偏导数。,例1,证明,返回,Home,第五节 均方积分,一、均方黎曼可积,定义1,分割,作和式,如果,则称,并称,记作,即,Home,二、均方可积准则,定理1,即黎曼积分,存在,证,由均方收敛准则可知，,即,存在,Home,如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分,Home,定理2,证明,由定理1知，,三、均方积分的性质,性质1,Home,性质2,其中,性质3,Home,性质4,性质5,（均方可积的唯一性）,四、均方积分的数字特征,1随机过程 积分的期望,Home,证,注1,注2,Home,2均方积分的方差及协方差函数,则,证,Home,注,同样可以证明,3均方积分的自相关函数及互相关函数,则,Home,证,只证明,其他类似可证,Home,例,解,在定义中可取,则,所以,Home,Home,均方连续均方可导均方可积,二阶矩变量空间,连续性广义二次可导可积性,均方收敛,相关函数,Home,