阶线性微分方程.ppt

,第二节 一阶线性微分方程,4.2.1 分离变量法 4.2.2 一阶线性微分方程,4.2.1 分离变量法,一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例,遗体死亡之后，体内碳14的含量就不断减少，已知碳,14的衰变速度与当时体内碳14的含量成正比，试建立任意,时刻遗体内碳14含量应满足的方程。,解,设 时刻遗体内碳14的含量为,根据题意有,等式右端的负号是由于 随时间 的增加而减少。,一阶微分方程,变量可分离方程,形如:,的方程称为变量可分离方程，其特点是方程的右端只含 的函数,与只含 的函数的乘积。,这类方程的特点是经过适当的变换，可以将两个不同变量的函数,与微分分离到方程的两端。具体解法如下:,(1)分离变量得,(2)两边同时积分得,得解,求方程满足初始条件 的特解，可将 代入通解确定。,案例1 第二宇宙速度,地球对物体的引力 与物体的质量 以及物体离地心的距离 间,的关系为，这里 是重力加速度，为地球半径。验证:如果,物体以 的初速度发射，则永远不会返回地球。,解,由牛顿第二定律，其中，有,故有,变量分离后为,两边积分,得,因为当 时，代入上式得 得,由此可见，当 很大时，很小，当 时，速度 永,远大于0，所以物体永远不会返回地面。,案例2 物体运动,一物体在力F的作用下运动，所受阻力与其运动的速度成正比，应用,若物体的质量m=5kg，所受力为F=49N，比例系数k=0.2，则物体运动,分离变量，得:,满足以下微分方程:,牛顿运动定律，有,因t=0时，v=0，代入以上方程，得,积分，得:,解出,所以，,当t=5s，有,案例3 环境污染问题,某水塘原有吨清水(不含有害杂质)，从时间 开始，含有,有害杂质的浊水流入该水塘流入的速度为2吨分，在塘中充分,混合(不考虑沉淀)后又以2吨分的速度流出水塘问经过多长时,间后塘中有害物质的浓度达到？,解,设在 时刻塘中有害物质的含量为，此时塘中有害物质,=单位时间内有害物质的变化量,的浓度为，于是有,=(单位时间内流进塘内有害物质的量)-(单位时间内流出塘的有害物质的量),即：,上式是可分离变量方程，分离变量并积分得:,由初始条件，得，故,塘中有害物质浓度达到 时，应有(吨)，这时 应满足,由此解得(分)，即经过670.6分钟后，塘中有害物质浓度达到4%，,由于，塘中有害物质的最终浓度为5%。,案例4 刑事侦察中死亡时间的鉴定,牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气,温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴,定。当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37按照牛顿冷却定律,开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35，并且假定周围空气的,温度保持20不变，试求出尸体温度随时间的变化规律。又如果尸体,发现时的温度是30，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？,解,设尸体的温度为，其冷却速度为，根据题意，,即得微分方程模型,其中 是常数，分离变量并求解得:,代入初值条件，求得。于是得该初值问题的解为,为求出 值，根据两小时后尸体温度为35这一条件，有,求得，于是温度函数为,将 代入式(6-21)求解，有，即得（小时）。,于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的 小时，,即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的。,4.2.2 一阶线性微分方程,一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例,一个RL串联回路中有电源（单位：伏），电阻10,欧姆，电感0.5亨利和初始电流6安培，求在任何时刻t电路,中的电流。,解,这里，由回路电流定律，得,一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程。其特点是对于未知函数 及,其导数是一次方程。如果，方程(6-2)称为齐次的；如,果，方程(6-2)称为非齐次的。,下面介绍用“拉格朗日常数变易法”求一阶线性非齐次微分方程通解的步骤:,第一步 写出对应的齐次方程，并用分离变量法求出通解,第二步 将齐次方程中的 换成未知函数，即令,第三步 将所令能解代入非齐次方程，得通解,案例1 案例的求解,解,可知引例中的方程是线性的,根据拉格朗日常数变异法求解得,得到:,当 时,，于是,在任何时刻 的电流是,案例2,解,一个RC回路中有电源(单位是伏),电阻100欧姆,电容,0.01法拉。电容上没有初始电量。求在任何时刻,电路中的电流。,我们先求电量。这里 于是由方程有,此方程是线性的,由拉格朗日常数变异法得,于是,当 时,因此,得,再由方程 得,