阶线性常系数微分方程.ppt
n阶线性常系数微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,9-5 二阶线性常系数微分方程,1.线性常系数齐次方程,常系数,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第十二章,-特征方程法,故有,特征方程,特征根,二阶线性常系数齐次方程的解法,(9.70),和它的导数只差常数因子,代入(9.70)得,所以令方程的解为,(为待定常数),(1)有两个不相等的实根,特征根为,得齐次方程的通解为,(2)有两个相等的实根,特征根为,可得方程的一个解,可验证 也是方程的一个解.,带入(9.70),得,这说明 是方程（9.70）的一个解.,又因为,（不为常数），,线性无关.,得齐次方程的通解为,或,解 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,得齐次方程的通解为,(3)有一对共轭复根,特征根为,是方程的两个解,也是方程的解,线性无关.,例 2 求下列微分方程的通解：,解,（1）特征方程为,特征根:,因而方程有两个线性无关的特解,方程的,通解为,（2）特征方程为,特征根:,因而方程有两个线性无关的特解,方程的通解为,复根,（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;,n阶常系数线性齐次方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,例 3 求 的通解.,解,特征方程为,易看出 是,一个特征根，,于是利用多项式除法可得,特征根:,因此原方程的通解为,例4.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,2.若干特殊线性常系数非齐次微分方程的特解,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,为 n 次多项式.,(1),注：,(1)若 不是特征方程的根,代入原方程,得,(*),由于 是一个n次多项式，要使（*）的两端恒等,可令Q(x)为另一个n次多项式：,其中 为待定系数.,代入（*）比较两端,(2)若 是特征方程的单根,即,x的同次幂的系数，就得到n+1个方程联立的方程组，从而确定(n+1)个待定常数,所求特解为,要使（*）恒等，那末Q(x)必须是n次多项式，令,用同样的方法确定 的系数.,3.如果是特征方程的重根,即,那么(*)成为,(*),要使（*）恒等，那末Q(x)必须是n次多项式.令,用同样的方法确定系数.,结论：,在（1）中，若,则（1）具有形如,的特解，其中 与 同次，k按不是特征根、是特征单根、是特征重根依次取 0、1或2.,特别是,特解,补例 求 y-2y-3y=3x+1 的一个特解.解 对应的齐次方程为 y-2y-3y=0,其特征方程为 这里=0不是特征根，应设特解为 y*=b0 x+b1.代入方程，-3b0 x-2b0-3b1=3x+1,比较x同次幂系数，得,于是特解为,求得,解,对应的齐次方程为,特征方程：,特征根：,齐次方程的通解：,这里=0不是特征根，应设特解为,代入方程得,比较x同次幂系数得：,于是特解为,原方程的通解为,例5 求 的通解.,解,对应的齐次方程的特征根为,“5”不是特征根，,所以设方程有特解,代入微分方程得,求得,故得特解,于是微分方程的通解,补例 解方程,特征方程：,代入原方程，得,解,齐次方程：,特征根：,齐次方程的通解,因为 为 特征方程的单根，故设特解,原方程的通解为,补例 求方程 y-5y+6y=的通解.,解 对应的齐次方程为,y-5y+6y=0,特征方程为,特征根为,齐次方程的通解为,由于=2是特征单根，,故应设特解,代入方程，得,比较x同次幂系数得,解得,于是特解为,通解为,（2）其中a,b中可以一个等于0，,设想方程(1)有如下形式的特解：,其中A，B 待定.代入(1),整理得,由于函数组 线性无关，上式两端,与 的系数应相等，即有,其中A，B 为未知数.由线性代数的理论知，上式方程组有惟一解的充要条件是其系数行列式,（1）,当 与 不同时为零(这等价于 不是方程的,特征根）时(9.82)有唯一解，记作A*，B*.这时方程（1）有特解,（11）,当 与 同时为零(这等价于 是方程的特,特征根）时,由方程组（9.82）无法确定A与B.这时，设方程(1)有下列形式的特解,其中常数A，B待定.将上式代入(1)(注意）,由此得,其系数行列式 所以此方程有惟一解A*，B*，这时,就是(1)的一个特解.,解,对应的齐次方程为,特征方程为,特征根为,由于 不是特征根，所以设特解为,齐次方程的通解为,代入方程得,比较系数得,解得 A=1,B=3.,特解为,通解为,若(当=常数，时，即情况(3)的型.也可作类似的讨论，并可得类似的结论.,现将不同的非齐次项f(x)所对应的特解列表如下：,解,分别求出方程,与,的特解.,形式，,故设(9.84)的特解为,代入方程(9.84)得,比较系数得,解得,所以方程(9.84)有特解,方程(9.85)，其右端是 形式，,是方程(9.85)特征根，,故设(9.84)的特解为,代入方程(9.85)得,由此推出,所以方程(9.85)有特解,故方程(9.83)有特解,习题 9-5 1.（1）(3)(5);2.3.(1),(3),(5),(6);4.(1),(3),(5).,解,对应的齐次方程为,特征方程为,特征根为,齐次方程的通解为,由于 是方程的特征根，故设特解为,代入原方程可定出A，B.请自己完成.,补例,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,复根,（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(一)二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;,内容小结,参阅p.186,(二)n阶常系数线性齐次方程解法,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,注意,n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,参阅p.187,(三)线性常系数非齐次微分方程的特解,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为,参阅p.192,
