阶微分方程习题课.ppt
一阶微分方程 习题课,基本概念,一阶方程,类 型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4,欧拉方程,二阶常系数线性方程解的结构,特征方程的根及其对应项,f(x)的形式及其特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、五种标准类型的一阶微分方程的解法,(1)可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2)齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,（其中h和k是待定的常数）,(3)一阶线性微分方程,齐次,非齐次.,解法,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(4)伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法 需经过变量代换化为线性微分方程,(5)全微分方程,形如,其中,注意：,解法,应用曲线积分与路径无关.,通解为,用直接凑全微分的方法.,可化为全微分方程,形如,公式法:,观察法:,熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子,2。各类方程的内在联系,三种基本类型,变量可分离,一阶线性,全微分方程,其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化成基本类型,三种基本类型代表三种典型解法,分离变量法,常数变易法,全微分法,变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,作变换,积分因子,3、一阶方程解题程序,分离变量,Y,解方程,N,Y,解方程,N,积分因子,Y,N,齐次型,一阶线性,Bernoulli,二、典型例题,例1,求一微分方程使其通解为,解,由,求导得,再求导,再求导,例2,解,原方程可化为,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,例3,解,原式可化为,伯努利方程,原式变为,一阶线性非齐方程,对应齐方通解为,利用常数变易法,代入非齐方程得,原方程的通解为,例4,解,方程为全微分方程.,(1)利用原函数法求解:,故方程的通解为,(2)利用分项组合法求解:,原方程重新组合为,故方程的通解为,(3)利用曲线积分求解:,故方程的通解为,例5,解,非全微分方程.,利用积分因子法:,原方程重新组合为,故方程的通解为,例6,解方程,分析,本题看起来简单,但具体求解时发现,不是变量可分离,也不是齐次型,不是一阶线性,也不是全微分方程,怎么办？,必须对方程进行变形,解一,分项组合,通解为,解二,变量代换,令,一阶非齐次线性微分方程,相应齐方程,令,解三,由,存在关于 x 的积分因子,为全微分方程,通解为,积分因子法,例7,设曲线积分,在右半平面内与路径无关,其中 f(x)可导,且f(1)=1,求f(x),解,由曲线积分与路径无关的条件知,即,一阶线性微分方程,代入f(1)=1 得,故,例8,解方程,并求此曲线 y=y(x)和直线 x=0,x=1 三者所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积,解,特解为,高阶微分方程 习题课,一、主要内容,高阶方程,可降阶方程,线性方程解的结构,二阶常系数线性方程解的结构,特征根法,特征方程的根及其对应项,待定系数法,f(x)的形式及其特解形式,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,作变换,积分因子,1、可降阶的高阶微分方程的解法,型,解法,接连积分n次，得通解,型,特点,解法,代入原方程,得,型,特点,解法,代入原方程,得,2、线性微分方程解的结构,（1）二阶齐次方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解,非齐通解=齐通解+非齐特解,3、二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,特征方程为,推广：阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法待定系数法.,二、典型例题,例1,解,代入方程，得,故方程的通解为,例2,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例3,设二阶非齐次线性方程的三个特解为,求其通解,解,由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解,故,是齐方程的两个解,齐通解,且线性无关,非齐通解,例4,设 f(x)具有连续的二阶导数试确定f(x)使曲线积分,与路径无关,解,由曲线积分与路径无关的条件得,即,这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,齐通解,例5,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,解得,即,故原方程的通解为,例6,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,（）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,测 验 题,测验题答案,
