结构动力学.ppt

10-1 概述,在任意动力荷载下分析给定结构的动力响应。,动力荷载,动力响应,结构动力响应与结构动力特性有关。,动力特性,大小、方向和位置随时间变化。,动位移和动内力，是时间的函数，动态的。,自振频率，振型和阻尼,结构动力分析的目的,荷载关于时间的变化是已知的。,分析过程：第1阶段:位移时间历史第2阶段:应力、应变及内力,荷载的关于时间的变化不完全已知。可以用统计学定义(称为：随机动力荷载).,（如何求？）,确定性分析:,不确定性分析：,已知荷载的类型,非周期荷载:,周期荷载:,任意复杂周期荷载可以用傅里叶级数展开为简谐荷载,简谐荷载,复杂荷载,（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参数的数目,一般问题：质量连续分布，时间连续，适宜用偏微分方程描述。时间和位置是独立变量。,质量连续分布：无限自由度,10-2 体系振动的自由度,质量连续分布,1个自由度,2个自由度,3个自由度,6个自由度,无限自由度,10-2-1 集中质量法,3个集中质量，仅沿竖向位移，3个自由度,再加上3个旋转自由度:6个自由度,3个自由度,2个自由度,1个自由度,忽略楼板变形,4个自由度,2个自由度,忽略杆件轴向变形,2个自由度,10-2-2 广义位移,a 是广义坐标，1个自由度,a1,a2 是广义坐标，2个自由度,a是广义坐标，1个自由度,挠曲形状用位移函数表示，其中的独立参数为广义坐标,L,x,满足约束条件的一组函数,广义坐标,n 自由度,有限元方法,应用于所有结构类型:框架，平面问题，板，壳，一般3维问题,x,插值函数（形函数）,有限元方法适用范围最广,10-3 单自由度体系运动方程的建立,阻尼力,弹性恢复力,粘滞阻尼系数,弹簧刚度系数,惯性力,动力荷载,10-3-1 刚度法,例1,10-3-2 柔度法,例2,例3,m,A,B,C,l/2,l/2,l/2,例4柔度法,2l,l,EI,m,例4刚度法,Fp(t),l/2,l/2,l/2,A,B,C,D,10-3-3 虚功法,例4,支座扰动的影响,c,m,k/2,k/2,等效支撑扰动荷载,10-4 单自由度体系的自由振动,无动力作用,无阻尼 c=0,由初始条件确定,圆频率，自振频率(natural frequency),周期,工程频率,10-4-1无阻尼自由振动,初始相位角,幅值(Amplitude),例 1,l,B,A,l,m,计算自振频率,例4.2,h,计算自振频率,柱侧移刚度,10-4-2 有阻尼自由振动,对于有阻尼的单自由度体系,特征方程：,（3-2）,自由振动方程：,则：,随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界阻尼、低阻尼和超阻尼三种体系的运动型式。本课程只讲临界阻尼和低阻尼两种情况。,1.临界阻尼,当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然，应有cc/2m=w，即：,特征方程：,这时，对应的s 值为：,（3-2）,自由振动方程：,临界阻尼自由振动方程的解为：,（3-15）,（3-16）,由初始条件：,得到临界阻尼体系反应的最终形式：,临界阻尼位移解：,临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的，依照指数规律衰减，回复到零点。,临界阻尼的物理意义是：在自由振动反应中不出现震荡所需要的最小阻尼值。,速度,（3-16）,2.低阻尼,特征方程：,（3-2）,自由振动方程：,如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2mw，这时，特征方程根式中的值必然为负值，则s 值成为：,引入符号：,其中x 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：,成为：,引入Euler方程：,引入符号：,其中wd 称为有阻尼振动频率。,则,利用初始条件：,得到低阻尼体系动力反应的最终形式：,（3-18）,写成矢量表达式：,运动的振幅（矢量的模）和初相位分别为：,（3-20）,低阻尼体系动力反应：,物理意义：,低阻尼体系的自由振动具有不变的圆频率wd，并围绕中心位置振荡，而其振幅则随时间呈指数e-xwt 衰减。如果反应的时间足够长，最终会衰减到零。,确定体系阻尼比的一种方法,体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：,阻尼体系动力反应：,体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：,取对数后：,（3-21）,阻尼比：,体系阻尼的测试：,2）计算阻尼比：,确定结构体系阻尼的其它方法。,1）实测体系经过个周期后的位移幅值比：,3）计算阻尼系数：,计算图示刚架的阻尼系数,已知：,柱子无重,h=3m,刚性横梁m=5000kg 初位移25mm,经5个周期后测得位移7.12mm,解,确定:ytk=yt0=25mm,yt5=7.12mm,计算阻尼比:,计算阻尼系数：,单自由度体系受迫振动,单自由度受迫振动体系的运动方程：,二阶常系数非齐次微分方程。全解由通解和特解组成：,通解y1(t)由体系的自由振动反应确定：,受迫振动：结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动。,注意：对于受迫振动体系，通解中的常数的A、B 应由微分方程的全解（通解+特解）而不能仅由通解确定！,荷载FP(t)不同，微分方程的特解y2(t)的形式是不同的。,10-5 单自由度体系的强迫振动,简谐荷载作用下的动力响应分析,简谐荷载：FP(t)=F0sinqt。,简谐荷载作用下结构体系的运动方程：,F0为荷载的幅值，q为荷载的圆频率。,（一）简谐荷载下无阻尼体系的反应,简谐荷载作用下的无阻尼体系运动方程：,通解 齐次方程的解：,特解 由动力荷载引起的特殊解。设：,代入(1)式得：,所以特解的振幅：,b：频率比，表示荷载频率与体系自振频率的比：,特解：,全解：,常数A、B 由初始条件确定。假设：,解得：,简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：,F0/k=,Dst:将荷载F0 静止地放在体系上所产生的位移；,:动力放大系数，表示简谐荷载的动力放大效应；,sinqt：按荷载作用频率振动的反应分量：稳态反应；,bsinwt：按体系自振频率振动的反应分量：瞬态反应。,体系的动力反应由两部分组成：,动力放大系数：,思考：b=1时，体系的动力反应如何？,例 求图示结构的最大动位移和最大动弯矩,已知：q=0.6w；不计阻尼。,解,1）计算最大动位移：,计算动力系数：,确定动力振幅作用下的静位移；,求出单位力作用下的挠度：,最大动位移：,体系为单自由度:质量的竖向位移y(t)。,2）计算最大动弯矩：,作用在质量上的合力：,体系位移：,最大动弯矩：,例,惯性力：,一般动力荷载,杜哈梅积分,（1）突加荷载,最大位移,首次发生在,动力系数,（2）突加短时荷载,第1阶段 0t t1,第2阶段 t t1,最大位移与荷载作用时间t1有关,当t1 T/2时，最大动位移发生在第一阶段，动力系数为,当t1 T/2时，最大动位移发生在第二阶段,动力系数为,（3）三角形冲击荷载,积分结果：,三角形冲击荷载动力系数,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2,0,0.5,1,1.5,2,2.4,响应比,（二）简谐荷载下阻尼体系的反应,阻尼体系运动方程：,通解 齐次方程的解：,特解 由动力荷载引起的特殊解。设：,由c=2mxw，w2=k/m,上式可写作：,对y2(t)求导：,运动方程：,代入运动方程：,变量t为任意值时，等式均恒成立的条件？,即：,由此可解出系数：,代入方程的特解：,方程的全解：,（3-31）,第一项按自振频率wd 振动，是由初始条件确定的自由振动反应。由于实际结构中阻尼的存在，这一项很快会被衰减为零，即瞬态反应；第二项按荷载频率振动，即稳态反应；有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应；一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大，这里主要讨论稳态反应的特性。,谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为：,（3-32）,反应振幅：,相位差：,这个强迫振动的解是由正弦和余弦两个三角函数组合而成的，它同样描述了一个简谐运动，也就是位移随时间呈正弦变化。这个运动也可以用矢量表示：,F0/k=Dst:荷载F0 产生的静位移；,反应的振幅与所引起的静位移的比值称为动力放大系数：,（3-32）,动力反应：,动力放大系数是频率和阻尼的函数。,x=0时：,反应与外荷载同步！(b1),动力放大系数：,相频特性：,x越小，体系反应越大；,q 远小于w 时，b 1：,q 远大于w 时，b 1：,m1：加载很慢，惯性力和阻尼力很小，接近静力反应，y 0。,m 0：质量振幅很小，惯性力很大，y 接近于180度。,q 接近于w 时，b 1：,m 增加很快：y 接近于90度。反应的峰值出现在频率比接近1的地方。当作用荷载的频率等于体系自振频率时的状态，称体系发生共振。,发生共振时：,m 的极值：,动力系数与阻尼成反比！,时：,共振可能导致结构破坏！,在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免接近荷载频率，防止共振发生！,在共振区，外荷载主要由阻尼平衡！,10-6 多自由度体系的自由振动,10-6-1 柔度法,假设解,频率方程（特征方程）,第一频率,第一振型,第二频率,第二振型,例10-11,例10-11(续),第一振型,第二振型,主振型的正交性验证,10-6-2 刚度法,矩阵表示,质量矩阵,柔度矩阵,刚度矩阵,位移矩阵,速度矩阵,加速度矩阵,无阻尼自由振动微分方程,或,矩阵解答,或,例10-15,例10-15,一般多自由度体系运动方程,柔度法,一般多自由度体系运动方程,刚度法,一般多自由度体系运动方程,刚度法,