重积分的计算方法(IV).ppt

,二重积分的计算可以按照定义来进行，同定积分按照定义进行计算一样，能够按照定义进行计算的二重积分很少，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和积分区域却不可行。本节介绍一种计算二重积分的方法把 二重积分化为二次单积分（定积分）来计算。,第二节 二重积分的计算方法,一、利用直角坐标计算二重积分,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,当函数 在区域D上连续时，我们可以用特定的分割来解决定积分的计算。,根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求平行截面面积为已知的立体的体积的方法。,已知平行截面面积的立体的体积,用平面x=x0截立体，截得A(x0).应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,注意D的特殊之处。,如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,X型,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,如果积分区域为：,Y型,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,对非X、Y型区域,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,解,解,解,由以上各例可以看出，化为两次单积分来计算二重积分：1、确定积分限是关键。2、既要考虑积分区域的形状，又要考虑被积函数的特性。,Z=0,利用二重积分计算空间立体体积,例7,解,X-型,例8,解,先去掉绝对值符号，如图,二、利用极坐标系计算二重积分,有些二重积分，积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标变量来表示比较简单，则可以考虑用极坐标来计算二重积分。,极坐标下二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,极坐标下二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,极坐标下二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。,解：计算第一挂限部分体积,解,D=2D1,例7,解,思考题,思考题解答,