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连续系统的振动,第六章,3,2023年6月25日,振动力学,2,变截面梁的动力学方程：,等截面梁的动力学方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,回顾：动力学方程,等截面梁自由振动的动力学方程：,2023年6月25日,振动力学,3,回顾：固有频率和模态函数,自由振动方程：,通解：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,常见的约束状况与边界条件,（1）固定端,（2）简支端,（3）自由端,简支梁的固有频率和模态函数,频率方程：,固有频率：,2023年6月25日,振动力学,4,梁的弯曲振动,动力学方程 固有频率和模态函数 模态函数的正交性 梁横向振动的强迫振动,连续系统的振动/一维波动方程,2023年6月25日,振动力学,5,模态函数的正交性,变截面梁的自由振动方程：,主振动：,代入，得：,设：,有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,6,利用分部积分：,在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零。,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,7,则有：,主振型关于质量的正交性,（1）,（2）,分部积分：,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,(3),（4）,（5）,由（4）、（5）式，得：,主振型关于刚度的正交性,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,8,如果 i=j,恒成立,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固有频率,（1）,（2）,分部积分：,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,(3),（4）,（5）,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,9,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固有频率,时,时,主振型中的常数按下列归一化条件确定：,正则振型,正则振型的正交性：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,10,梁的弯曲振动,动力学方程 固有频率和模态函数模态函数的正交性梁横向振动的强迫振动,连续系统的振动/一维波动方程,2023年6月25日,振动力学,11,梁横向振动的强迫响应,梁的横向强迫振动方程：,令：,代入：,由正交性条件，得：,第 j 个正则坐标方程,第 j 个正则坐标的广义力,由分部积分：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,12,梁初始条件的处理,假定梁的初始条件为：,代入：,第 j 个正则坐标方程：,第 j 个正则模态响应：,得到 后，即可得到梁的响应,连续系统的振动/梁的弯曲振动,主振型关于质量的正交性,2023年6月25日,振动力学,13,如果作用在梁上的载荷不是分布力、力矩，而是集中力和集中力矩.,有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,14,中点受常力 P 作用产生静变形.,例：简支梁初始响应,求：当 P 突然移出时梁的响应,解：,由材力得初始条件:,梁中点的静挠度.,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,15,梁两端简支,固有频率：,振型函数：,代入归一化条件：,模态初始条件：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,16,模态初始条件：,没有激振力，正则广义力为零,正则广义力,模态响应：,因此有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,17,例：简支梁,求：梁的稳态响应.,中点受力矩 作用.,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,18,解：,由上例知：,固有频率：,振型函数：,正则广义力：,第 i 个正则方程：,因此有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,19,例：悬臂梁,自由端作用有正弦力：,求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,20,解：,强迫振动方程：,模态函数：,设解为：,代入方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,21,利用正则模态的正交性条件：,模态稳态解：,梁的响应：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,22,梁的响应：,梁自由端的响应:,令 x=l：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,23,小结：梁横向振动的强迫响应,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年6月25日,振动力学,24,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法有限元法,2023年6月25日,振动力学,25,连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件。,当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法。,各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自由度的系统进行近似。,集中质量法,假设模态法,有限元法,集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上。,假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解。,有限元法兼有以上两种方法的特点。,连续系统的振动/集中质量法,2023年6月25日,振动力学,26,集中质量法,工程系统的物理参数常常分布不均匀。,惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体。,惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量可以不计或折合到集中质量上。,物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量.,集中质量的数量取决于所要求的计算精度。,连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的分析方法进行分析。,连续系统的振动/集中质量法,2023年6月25日,振动力学,27,集中质量法,以等截面梁为例：,材料密度,长度 l,抗弯刚度 EI,将梁均分为四段，,并将每段的质量平均分到该段的两端。,支座处的集中质量不影响梁的弯曲。,连续梁可用三个集中质量代替：,质量矩阵：,梁质量：,横截面积度 S,连续系统的振动/集中质量法,2023年6月25日,振动力学,28,三个质点之间的梁段具有相同的弹性性质。,由材料力学，得柔度影响系数：,质量矩阵：,柔度矩阵：,可以求解系统固有频率。,连续系统的振动/集中质量法,2023年6月25日,振动力学,29,也可将连续梁离散为两自由度或单自由度系统。,在求得质量矩阵和柔度矩阵后，可以计算出相应的系统固有频率。,连续系统的振动/集中质量法,2023年6月25日,振动力学,30,结论：（1）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（2）基频精度较高；（3）频率阶数增高，误差增大。,连续系统的振动/集中质量法,2023年6月25日,振动力学,31,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法有限元法,2023年6月25日,振动力学,32,假设模态法,利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律。,在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的解写作全部模态函数的线性组合：,：模态函数,：模态坐标,若取前 n 个有限项作为近似解，则有：,：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但不一定满足动力学方程的试函数族。,：与假设模态所对应的广义坐标.,瑞利法,里兹法,连续系统的振动/假设模态法,2023年6月25日,振动力学,33,假设模态法瑞利法概要,连续系统的振动/假设模态法/瑞利法,假设系统以模态 作频率为 的自由振动：,根据保守系统，机械能守恒,即,引入系统的参考动能：,定义瑞利商：,与多自由度系统相同，瑞利商大于基频,2023年6月25日,振动力学,34,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法有限元法,2023年6月25日,振动力学,35,有限元法,20世纪五六十年代发展起来的方法.,吸取了集中质量法与假设模态法的优点.,有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法.,每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值函数表示（单元的假设模态）.,由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同.,将复杂结构分割成有限个单元，单元端点称为节点，将节点的位移作为广义坐标，并将单元的质量和刚度集中到节点上.,以杆的纵向振动为例进行介绍.,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,36,杆的纵向振动,单元质量矩阵和刚度矩阵的求解,将杆划分为多个单元;,取出其中一个单元进行分析.,单元长 l，两端节点位移 u1(t)、u2(t),x 位置截面的位移：,：单元假设模态,（形函数）,取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单元的静变形函数:,例如：,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,37,x 位置截面的位移：,代入，得：,单元动能：,单元质量矩阵,为常数时,：材料密度,：截面积,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,38,单元势能：,单元刚度矩阵,为常数时,：弹性模量,f(x,t)对虚位移 的虚功：,：与节点坐标ue 对应的单元广义力列阵,若轴向力 f(x,t)为常力,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,39,全系统的动力学方程,以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构.,以一个例子进行说明:,杆划分为三个单元,单元质量矩阵：,单元刚度矩阵：,单元坐标,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,40,全部节点坐标列阵：,节点坐标约束条件：,只有三个独立,定义独立的广义坐标：,广义坐标列阵：,节点坐标与广义坐标之间的关系：,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,41,全系统的动能：,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,42,质量矩阵 M 也可直接利用单元质量矩阵组集而成.,方法：将单元质量矩阵 me1、me2 和 me3 的各个元素统一按 qi(i=1,2,3)的下标重新编号，放入 M 中与编号相对应的行和列中：,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,43,单元质量矩阵：,和广义坐标 相对应的质量矩阵：,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,44,全系统的势能：,也可组集得到：,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,45,当杆上有常值轴向力作用时，三根杆的广义外力阵为：,系统的广义力阵：,作用力的总虚功：,与广义坐标 q 对应的广义力阵.,也可将Fe1、Fe2 和 Fe3 的各个元素统一按 qi(i=1,2,3)的下标重新编号，放入 Q 中与编号相对应的行和列中:,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,46,用广义坐标阵 q 表示的广义质量阵、广义刚度阵和广义外力阵：,用广义坐标阵 q 表示的全系统的动力学方程：,连续系统的振动/有限元法,2023年6月25日,振动力学,47,振动力学,2023年6月25日,振动力学,48,小结：模态函数的正交性,等截面自由振动梁：,主振动：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,主振型关于质量的正交性,主振型关于刚度的正交性,第 j 阶固有频率,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,
