质点运动的坐标系.ppt
1-3 描述质点运动的坐标系,一、直角坐标系(rectangular coordinate)(A),可用方向余弦来表示位置矢量方向。,1,质点运动的轨道参量方程式 写成分量形式,速度表达式,2,任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的分量有关,而与其它方向的分量无关。,加速度的表达式,加速度大小,3,4,质点任意运动都可以看作是三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成的。,质点的任意运动都可以分解为在三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动。,运动叠加原理在直角坐标系中的表现。,如果质点在某个方向(如x方向)上的加速度不随时间变化,该方向上分运动为匀变速直线运动,在x方向的速度变化可根据速度公式求得:,5,运动学的二类问题,1.第一类问题,已知运动学方程，求,(1)t=1s 到 t=2s 质点的位移,(3)轨迹方程,(2)t=2s 时,已知一质点运动方程,求,例,解,(1),(2),(3),当 t=2s 时,由运动方程得,轨迹方程为,6,解,已知,求,和运动方程,代入初始条件,代入初始条件,2.第二类问题,已知加速度和初始条件，求,例,t=0 时，,由已知有,7,例1：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边,如图。如果绞车以恒定的速率u拉动纤绳,绞车定滑轮离水面的高度为h,求小船向岸边移动的速度v和加速度a。,解：以绞车定滑轮处为坐标原点,x 轴水平向右,y 轴竖直向下,如图所示。,8,设小船到坐标原点的距离为l,任意时刻小船到岸边的距离x总满足 x 2=l 2 h 2,负号表示小船速度沿x 轴反方向。,两边对时间t 求导数,得,小船向岸边移动的加速度为,9,例2：抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平方向成角 方向被抛出,求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。,抛体运动可以看作为x方向的匀速直线运动和y方向的匀变速直线运动相叠加。,解：首先必须建立坐标系,取抛射点为坐标原点O,x 轴水平向右,y 轴竖直向上,如图。,运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。,10,x1=0是抛射点的位置,另一个是射程,抛体运动轨道方程,令y=0，得,11,物体的飞行时间,当物体到达最大高度时,必有,物体达最大高度的时间,最大高度,实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度都比上述值要小。,抛射角0=/4时,最大射程,12,13,例：某人身高h，站在离地面H的塔吊灯下，当塔以速度v0水平方向开走，灯从人头顶掠过，人头顶在地上的影子运动速度多大？,三、自然坐标系(natural coordinates)(A),沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。,因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向,所以在自然坐标系中,速度矢量可表示为,取轨道上一固定点为原点,规定两个随质点位置变化而改变方向的单位矢量,一个是指向质点运动方向的切向单位矢量,用 表示,另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的法向单位矢量,用 表示。,14,第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量，为法向加速度(normal acceleration),第一项表示由于速度大小变化所引起的加速度分量,大小等于速率变化率,方向沿轨道切向,称切向加速度(tangential acceleration),加速度矢量为,15,A,当t0时,点B 趋近于点A,等腰OAB顶角 0。,极限方向必定垂直于,指向轨道凹侧,与法向单位矢量 一致，并且,16,17,讨论,整条曲线就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成,一般情况下,质点的加速度矢量应表示为,圆周运动,18,解：质点的切向加速度和法向加速度分别为,这就是所要求的速率与时间的关系。,例4:质点以初速 沿半径为R 的圆周运动,其加速度方向与速度方向夹角为恒量,求质点速率与时间的关系。,分离变量,得,积分,19,一汽车在半径R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动学方程为s=20t-0.2 t 2(SI).,根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有,例,汽车在 t=1 s 时的速度和加速度大小。,求,解,20,求抛体运动过程中的曲率半径？,如B 点,思考,21,已知质点运动方程为,求,之间的路程。,例,解,质点运动速度为,速率为,路程有,22,已知质点的运动方程为,在自然坐标系中任意时刻的速度,解,例,求,23,将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为,g 为重力加速度，为切向与水平方向的夹角.,由题意可知,从图中分析看出,例,质点在钢丝上各处的运动速度.,求,解,24,25,圆周运动的角量描述 角量与线量的关系(A),一.角位置与角位移,质点作圆周运动的角速度为,描述质点转动快慢和方向的物理量,角位置（运动学方程),当,为质点圆周运动的角位移,二.角速度,26,三.角加速度,角加速度 角速度对时间的一阶导数,四.角量与线量的关系,27,例：半径为1 m的轮子以匀角加速度从静止开始转动，20 s末角速度达到100 rads-1.求（1）角加速度及20 s内转过的角度，（2）第20 s末轮边缘上一点的切向和法向加速度。,(2)设t 时刻，质点的加速度与半径成45o角，则,(2)当=?时，质点的加速度与半径成45o角？,(1)当t=2s 时，质点运动的an 和,一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为,(1)运动学方程得,求,解,例,以及a的大小,28,一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即=kt 2，k 为待定常数.已知质点在2 s 末的线速度为 32 m/s,t=0.5 s 时质点的线速度和加速度,解,例,求,当t=0.5 s 时,由题意得,29,
