九章率失真函数.ppt
第九章 率失真函数,无失真信源编码和有噪信道编码告诉我们：只要信道的信息传输速率小于信道容量，总能找到一种编码方法,使得在该信道上的信息传输的差错概率任意小；反之，若信道的信息传输速率大于信道容量，则不可能使信息传输差错概率任意小。但是，无失真的编码并非总是必要的。,香农首先定义了信息率失真函数R(D)，并论述了关于这个函数的基本定理。定理指出：在允许一定失真度D的情况下，信源输出的信息传输率可压缩到R(D)值，这就从理论上给出了信息传输率与允许失真之间的关系，奠定了信息率失真理论的基础。信息率失真理论是进行量化、数模转换、频带压缩和数据压缩的理论基础。本章主要介绍信息率失真理论的基本内容，侧重讨论离散无记忆信源。首先给出信源的失真度和信息率失真函数的定义与性质；然后讨论离散信源和连续信源的信息率失真函数计算；在这基础上论述保真度准则下的信源编码定理。,失真测度,一、失真度从直观感觉可知，若允许失真越大，信息传输率可 越小；若允许失真越小，信息传输率需越大。所以信息传输率与信源编码所引起的失真(或误差)是有关的。,首先讨论失真的测度。离散无记忆信源U，信源变量Uu1,u2,ur，概率分布为P(u)P(u1),P(u2),P(ur)。信源符号通过信道传输到某接收端，接收端的接收变量V v1,v2,vs。对应于每一对(u,v)，我们指定一个非负的函数：,称为单个符号的失真度(或失真函数)。通常较小的d值代表较小的失真，而d(ui,vj)0表示没有失真。,若信源变量U有r个符号，接收变量V有s个符号，则d(ui,vj)就有rs个,它可以排列成矩阵形式，即：,它为失真矩阵D，是 rs 阶矩阵。,须强调:这里假设U是信源，V是信宿，那么U和V之间必有信道。实际这里U指的是原始的未失真信源，而V是指失真以后的信源。因此，从U到V之间实际上是失真算法，所以这里的转移概率p(vj/ui)是指一种失真算法，有时又把p(vj/ui)称为试验信道的转移概率，如图所示。,例1 离散对称信源(r=s)。信源变量Uu1,u2,ur，接收变量V v1,v2,vs。定义单个符号失真度：,这种失真称为汉明失真。汉明失真矩阵是一方阵，对角线上的元素为零，即：,对二元对称信源(sr2)，信源U0,1，接收变量V0,1。在汉明失真定义下，失真矩阵为：,例2 删除信源。信源变量Uu1,u2,ur，接收变量V v1,v2,vs(s=r+1)。定义其单个符号失真度为：,其中接收符号vs作为一个删除符号。在这种情况下，意味着若把信源符号再现为删除符号vs时，其失真程度要比再现为其他接收符号的失真程度少一半。若二元删除信源s 2，r3，U0,1，V0,1,2。失真度为：,则,d(0,0)=d(1,2)=0 d(0,2)=d(1,0)=1d(0,1)=d(1,1)=1/2,例3 对称信源(s=r)。信源变量Uu1,u2,ur，接收变量V v1,v2,vs。失真度定义为：,若信源符号代表信源输出信号的幅度值，这就是一种以方差表示的失真度。它意味着幅度差值大的要比幅度差值小的所引起的失真更为严重，严重程度用平方来表示。当 r3时，U0,1,2，V0,1,2，则失真矩阵为：,上述三个例子说明了具体失真度的定义。一般情况下根据实际信源的失真，可以定义不同的失真和误差的度量。另外还可以按其他标准，如引起的损失、风险、主观感觉上的差别大小等来定义失真度d(u,v)。,二、平均失真度,信源 U 和信宿 V 都是随机变量，故单个符号失真度d(ui,vj)也是随机变量。显然，规定了单个符号失真度d(ui,vj)后，传输一个符号引起的平均失真，即信源平均失真度：,在离散情况下，信源Uu1,u2,ur，其概率分布P(u)P(u1),P(u2),P(ur)，信宿V v1,v2,vs。若已知试验信道的传递概率为P(vj/ui)时，则平均失其度为：,若平均失真度D不大于我们所允许的失真D，即：D D 称此为保真度准则。,信源固定(给定P(u)，单个符号失真度固定时(给定d(ui,vj)，选择不同试验信道，相当于不同的编码方法，所得的平均失真度是不同的。有些试验信道满足D D，而有些试验信道DD。凡满足保真度准则-平均失真度D D的试验信通称为-D失真许可的试验信道。把所有D失真许可的试验信道组成一个集合，用符号BD表示，即：BD=P(vj/ui)：D D,信息率失真函数及其性质,一、信息率失真函数的定义,信源给定，且又具体定义了失真函数以后，总希望在满足一定失真的情况下，使信源传输给收信者的信息传输率R尽可能地小。即在满足保真度准则下，寻找信源必须传输给收信者的信息率R的下限值-这个下限值与D有关。从接收端来看，就是在满足保真度准则下，寻找再现信源消息所必须获得的最低平均信息量。而接收端获得的平均信息量可用平均互信息I(U;V)来表示，这就变成了在满足保真度准则的条件下，寻找平均互信息I(U;V)的最小值。,R(D)-信息率失真函数或简称率失真函数。单位是奈特信源符号 或 比特信源符号,率失真函数给出了熵压缩编码可能达到的最小熵率与失真的关系，其逆函数称为失真率函数，表示一定信息速率下所可能达到的最小的平均失真。,二、信息率失真函数的性质,允许失真度D的下限可以是零，即不允许任何失真的情况。,1、R(D)的定义域,R(D)的定义域为 且：,解：,例4 设试验信道输入符号集，各符号对应概率分别为)=1/3,1/3,1/3，失真矩阵如下所示，求 和 以及相应的试验信道的转移概率矩阵。,令对应最小失真度 的，其它为“0”，可得对应 的试验信道转移概率矩阵为,上式中第二项最小，所以令，可得对应 的试验信道转移概率矩阵为,2、R(D)是关于平均失真度D的下凸函数,设 为任意两个平均失真，则有：,3、R(D)是 区间上的连续和严格单调递减函数。由信息率失真函数的下凸性可知，R(D)在 上连续。又由R(D)函数的非增性且不为常数知，R(D)是区间 上的严格单调递减函数。,信息率失真函数的一般形状,已知信源的概率分布P(u)和失真函数d(u,v)，就可求得信源的R(D)函数。原则上它与信道容量一样，即在有约束条件下求极小值的问题。也就是适当选取试验信道P(v|u)使平均互信息最小化，,其约束条件为:,离散无记忆信源的信息率失真函数,对于等概、对称失真的信源，存在一个与失真矩阵具有同样对称性的转移概率分布达到率失真R(D)。,解：由,例5有一个二元等概平稳无记忆信源，接收符号集为,且失真矩阵为：,求率失真函数R(D)。,由于信源等概分布，失真函数具有对称，因此，存在着与失真矩阵具有同样对称性的转移概率分布达到率失真R(D)，该转移概率矩阵可写为：,由于，因此对于任何有限平均失真，必须。于是转移概率矩阵变为：,对应此转移概率矩阵的平均失真：因此 可求出此时的互信息为：,相应的率失真函数R(D)如图所示。,保真度准则下的信源编码定理,定理(保真度准则下的信源编码定理，香农第三定理)设R(D)为一离散无记忆信源的信息率失真函数，并且有有限的失真测度D。对于任意D，以及任意长的码长k，一定存在一种信源编码C，其码字个数为 使编码后码的平均失真度。,定理的含义是：只要码长k足够长，总可以找到一种信源编码，使编码后的信息传输率略大于(直至无限逼近)率失真函数R(D)，而码的平均失真度不大于给定的允许失真度，即：,由于R(D)为给定D前提下信源编码可能达到的下限，所以香农第三定理即说明了：达到此下限的最佳信源编码是存在的,
