矩阵分析第五章.ppt

第五章 向量与矩阵的范数定义：设 是实数域（或复数域）上的 维线性空间，对于 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 的范数，记为，并且要求范数满足下列运算条件：（1）非负性：当 只有且仅有当（2）齐次性：为任意数。,（3）三角不等式：对于 中的任意两个向量 都有例：在 维线性空间 中，对于任意的向量 定义,证明：都是 上的范数，并且还有引理（Hoider不等式）：设,则 其中 且。引理（Minkowski不等式）：设则,其中实数。几种常用的范数定义：设向量，对任意的数，称为向量 的 范数。常用的 范数：（1）1范数,（2）2范数也称为欧氏范数。（3）范数 定理：证明：令，则,于是有另一方面,故由此可知定义：设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数 使得,定理：有限维线性空间 上的任意两个向量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造新的范数。例：设 是 上的向量范数，且，则由所定义的 是 上的向量范数。例：设 数域 上的 维线性空间，,为其一组基底，那么对于 中的任意一个向量 可唯一地表示成又设 是 上的向量范数，则由所定义的 是 上的向量范数。矩阵范数,定义：对于任何一个矩阵，用 表示按照某一确定法则与矩阵 相对应的一个实数，且满足,（1）非负性：当 只有且仅有当（2）齐次性：为任意复数。（3）三角不等式：对于任意两个同种形状矩阵 都有,（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵，都有那么我们称 是矩阵 的范数。例 1：对于任意，定义可以证明如此定义的 的确为矩阵 的范数。,证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设，则,例 2：设矩阵，证明：是矩阵范数。证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设，那么,因此 为矩阵 的范数。,例 3：对于任意，定义可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此范数为矩阵 的Frobenious范数。证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。设，则,于是有,例 4：对于任意，定义证明如此定义的 是矩阵 的范数。证明：首先注意到这样一个基本事实，即由一个例题可知此定义满足范数的性质。,Frobenious范数的性质：（1）如果，那么（2）（3）对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵,都有等式关于矩阵范数的等价性定理。定理：设 是矩阵 的任意两种范数，则总存在正数 使得,诱导范数定义：设 是向量范数，是矩阵范数，如果对于任何矩阵 与向量 都有则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。例 1：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的.证明:因为,根据Hoider不等式可以得到,于是有 例 2：设 是向量的范数，则满足矩阵范数的定义，且 是与向量范 相容的矩阵范数。证明：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。,设，那么,因此 的确满足矩阵范数的定义。,最后证明 与 是相容的。由上面的结论可知这说明 与 是相容的。定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范数 所诱导的诱导范数或算子范数。由,向量 P-范数 所诱导的矩阵范数称为矩阵P-范数。即常用的矩阵P-范数为，和。定理：设，则（1）我们称此范数为矩阵 的列和范数。,（2）表示矩阵 的第 个特征值。我们称此范数为矩阵 的谱范数。（3）我们称此范数为矩阵 的行和范数。例 1：设,计算，和。解：,因为所以。练习：设 或,分别计算这两个矩阵的，和。例 2：证明：对于任何矩阵 都有,如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？定理：设 是矩阵范数，则存在向量范数 使得证明：对于任意的非零向量，定义向量范数，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且,例：已知矩阵范数求与之相容的一个向量范数。解：取。设,那么矩阵的谱半径及其性质定义：设，的 个特征值为，我们称为矩阵 的谱半径。例 1：设，那么,这里 是矩阵 的任何一种范数。例 2：设 是一个正规矩阵，则证明：因为,于是有例 3：设 是 上的相容矩阵范数。证明：（1）（2）为可逆矩阵，为 的特征值则有,例 5：如果，则 均为可逆矩阵，且这里 是矩阵 的算子范数。矩阵序列与极限定义：设矩阵序列，其中,，如果 个数列都收敛，则称矩阵序列 收敛。进一步，如果那么 我们称矩阵 为矩阵序列 的极限。,例：如果设，其中那么,定理：矩阵序列 收敛于 的充分必要条件是其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数必要性：设,那么由定义可知对每一对 都有从而有上式记为,充分性：设那么对每一对 都有即,故有现在已经证明了定理对于所设的范数成立，如果 是另外一种范数，那么由范数的等价性可知,这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。同数列的极限运算一样，关于矩阵序列的极限运算也有下面的性质。（1）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。（2）设,则（3）设，其中，那么（4）设，其中,那么（5）设，且，均可逆，则 也收敛，且例 1：若对矩阵 的某一范数，则,例 2：已知矩阵序列：则 的充要条件是。证明：设 的Jordan标准形其中,于是显然，的充要条件是又因,其中,于是 的充要条件是。因此 的充要条件是例 3：设 是 的相容矩阵范数，则对任意，都有 矩阵的幂级数,定义：设，如果 个常数项级数都收敛，则称矩阵级数收敛。如果 个个常数项级数,都绝对收敛，则称矩阵级数绝对收敛。例：如果设，其中,那么矩阵级数是收敛的。,定理：设，则矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中 为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数,那么对每一对 都有因此如果收敛，则对每一对 常数项级数,都是收敛的，于是矩阵级数绝对收敛。反之，若矩阵级数绝对收敛，则对每一对 都有,于是根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。,定义：设，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。,定理：设幂级数 的收敛半径为为 阶方阵。若，则矩阵幂级数 绝对收敛；若，则 发散。,证明：设 的Jordan标准形为其中于是,所以,其中,当 时，幂级数都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝对收敛。,当 时，幂级数发散，所以 发散。定理：矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是。且其和为。,例 1：（1）求下面级数的收敛半径（2）设判断矩阵幂级数 的敛散性。解：设此级数的收敛半径为，利用公式,容易求得此级数的收敛半径为2。而。所以由上面的定理可知矩阵幂级数绝对收敛。例 2：（1）求下面级数的收敛半径,（2）设,判断矩阵幂级数的敛散性。例 3：（1）求下面级数的收敛半径（2）设,判断矩阵幂级数的敛散性。例 4：构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不可逆。,解：显然每一个 均可逆，但是其极限矩阵,却不可逆。,