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矩 阵 分 析,东北大学信息科学与工程学院石海彬,第二章 内积空间,线性空间 或 向量空间,向量的加法 向量与数域中数的数量乘法,向量的长度 向量之间的夹角 需要考虑,引入新的概念 内积（某种乘法）内积空间,目的：进一步研究线性空间和线性变换,第二章 内积空间,1 内积空间的概念2 正交基及子空间的正交关系3 内积空间的同构4 正交变换5 点到子空间的距离与最小二乘法6 复内积空间（酉空间）7 正规矩阵8 厄米特二次型9 力学系统的小振动,第二章 内积空间,1.内积空间的概念,内积的定义,此时的V就成为（实）内积空间,1.内积空间的概念,第二章 内积空间,1.内积空间的概念,内积空间之例,例1 n维线性空间Rn,此称为欧几里德空间（欧氏空间）,第二章 内积空间,1.内积空间的概念,内积空间之例,例2 n2维线性空间Rnn,第二章 内积空间,1.内积空间的概念,内积的性质：,第条性质称为柯西许瓦兹不等式,第二章 内积空间,1.内积空间的概念,向量长度的定义,柯许不等式的另一写法,向量之间的夹角,向量垂直向量正交90度角,第二章 内积空间,1.内积空间的概念,第二章 内积空间,2.正交基及子空间的正交关系,2.正交基及子空间的正交关系,任一n维欧氏空间都存在正交基,第二章 内积空间,2.正交基及子空间的正交关系,第二章 内积空间,2.正交基及子空间的正交关系,n维欧氏空间的任一子空间都有唯一的正交补空间。,第二章 内积空间,3.正交基及子空间的正交关系,3.内积空间的同构,所有n维欧氏空间都同构,第二章 内积空间,4.正交变换,4.正交变换,保持内积不变,向量长度不变,第二章 内积空间,4.正交变换,第二章 内积空间,5.点到子空间的距离与最小二乘法,5.点到子空间的距离与最小二乘法,向量之间的距离,第二章 内积空间,5.点到子空间的距离与最小二乘法,5.点到子空间的距离与最小二乘法,向量到子空间的距离,欧氏空间中的一个向量和一个子空间中的各个向量都有一个距离，最短的那个就定义为,x,W,V,从而，向量到子空间的距离为垂直向量的距离,第二章 内积空间,5.点到子空间的距离与最小二乘法,用来解决最小二乘法问题,书52页之例,第二章 内积空间,6.复内积空间（酉空间）,6.复内积空间（酉空间）,书中53页之注,第二章 内积空间,6.复内积空间（酉空间）,第二章 内积空间,6.复内积空间（酉空间）,第二章 内积空间,6.复内积空间（酉空间）,酉变换 保持内积不变,第二章 内积空间,6.复内积空间（酉空间）,第二章 内积空间,7.正规矩阵,7.正规矩阵,对角矩阵 实对称矩阵 实反对称矩阵 厄米特矩阵 反厄米特矩阵 正交矩阵 酉矩阵,第二章 内积空间,7.正规矩阵,书57-58页之例,第二章 内积空间,8.厄米特二次型,8.厄米特二次型,第二章 内积空间,8.厄米特二次型,（书66页之例）,第二章 内积空间,8.厄米特二次型,谢谢,Thank You!,