数形结合在解题中的应用.docx

数形结合在解题中的应用目录第一章引言2第二章数形结合在解题中的应用32.1数形结合在集合中的应用32.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题32.1.2利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题32.2数形结合在解析几何中的应用42.2.1与斜率有关的问题52.2.2与距离有关的问题52.2.3与截距有关的问题72.2.4与定义有关的问题72.3数形结合在函数中的应用92.3.1 利用数形结合解决与方程的根有关的问题92.3.2 利用数形结合解决函数的单调性问题92.3.3 利用数形结合解决比较数值大小的问题102.3.4 利用数形结合解决抽象函数问题112.4、数形结合在不等式中的应用122.4.1 求参数的取值范围122.4.2 解不等式 132.5数形结合在解三角函数中的应用142.6数形结合在复数中的应用16第三章数形结合在高等数学中的应用173.1数形结合在数学分析中的应用173.3.1用数形结合求定义域173.1.2微积分中的解题应用数形结合183.2数形结合在常微分方程中的应用193.3数形结合在概率论中的应用21第四章利用数形结合思想解题需要注意的问题22第五章结论与展望22【参考文献】23数形结合在解题中的应用摘要：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合起来使抽象思维和形象思维结合。运用数形结合的思想方法，既可以使很多代数问题 的解决简捷明了，也可以大大开拓我们的解题思路。本文主要通过一些例题讲解 数形结合的思想在初等数学即集合、解析几何、函数、三角函数、不等式、复数 以及高等数学中的相关应用。关键字：数形结合应用初等数学高等数学第一章引言数与形是数学研究（尤其是中学数学研究）的两类基本对象，相互独立又互 相渗透。在坐标系建立以后，数与形的结合更为紧密。而且，在实际应用中，若 就数论数，便缺乏直观性；若就形论形，便缺乏严密性。而二者结合往往可优势 互补，得到事半功倍的效果。通过数到形结合的研究对数学思维品质的培养大有 帮助。数形结合，就是据数学问题的条件和结论间的内在联系，既分析其代数含 义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙地结合，再充分利用这种结 合寻找解题思路，解决问题的数学思想方法。数形结合的思想既是数学的本质之一，也是数学教学的精髓，可以融合、 贯穿在课堂教学教程中。我们可以利用数形结合引入新知，建构概念，提出问题， 解决问题，利用数学思想、数学方法去激发学生的学习兴趣，提高其数学能力， 同时也为学生以后的学习和工作打下坚实基础。很多时候，数形结合能使数量之 间的联系变得直观，在分析问题时，注意把数和形结合起来，由问题的具体情形， 把数量关系问题化为图形问题，或把图形问题化为数量关系问题，使复杂问题简 单化、抽象问题具体化，化繁为简、化难为易。高考考试说明中明确指出：数形结合的思想方法是学生必须掌握的思想方法 之一。历年的高考试题中，充分体现了数形结合的应用。在我们的大学数学中， 也有很多关于数形结合的思想在解题中的应用，比如高等数学里面的微积分、数 学分析中的求面积、求体积的问题，概率统计以及常微分方程等都有运用到数形 结合，由此可见数形结合的思想贯穿整个数学研究。后面我们从集合、解析几何、 函数、不等式、三角函数、复数5个方面谈数形结合在初等数学解题中应用。从数学分析、概率论、常微分方程来谈数形结合在高等数学中的应用。第二章数形结合在解题中的应用2.1数形结合在集合中的应用2.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般我们用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则 表示两个集合没有公共元素.若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关 系的问题.例如：例1.有45名学生，要求每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的 人数分别为27，24，14，同时参加理、数小组的8人，同时参加化、数小组的 6人，同时参加化、数小组的7人，问：同时参加数、理、化小组的有多少人【分析】我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数(如图1)，则三 圆的公共部分表示同时参加数理化小组的人数.用card表示集合中元素的个数， 则有：card (A) + card (B) + card (C) - card (A A B) - card (A A C) - card (B A C) + card (A A B A C) = 45即：27 + 24 +14 - 8 - 6 - 7 + card (A A B A C) = 45.card(A A B A C) = 1，即同时参加数理化小组的有1人.2.1.2利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题当两个集合的解集是不等式形式时，要求其交集或并集，常借助于数轴，把不等式的解集在数轴上表示出来，通过数轴便可直观的观察它们的交集或并集。 例如：例 2.已知集合 A = (x I -2 < x < 6),B = (x I a < x < 3a, (a e R)(1) 若A c B，求a的范围.(2) 若B c A，求a的范围.解：在数轴上表示出集合A,要使A c B，则集合B应该覆盖集合A,从而有：!" -2,此时a值不存在(图2)|3a > 626 3a(1)。-2 a3a 6(2)图2a >-2(2)要使B c A，当a>0时，集合A应该覆盖集合B,则有 3a < 6成立，即、a > 00 < a < 2。当a < 0时，B =4 , B c A显然成立.故B c A时的取值范围为：a < 2 .(图2 (2)通过上面的例子我们可以知道，一般对于比较复杂的集合运算题、涉及到求 一些参数取值、取值范围的题我们都可以用数形结合的方法求解.2.2数形结合在解析几何中的应用解析几何问题通常综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，深受出题者 喜爱，求解过程中常通过数形结合的思想把抽象的数学语言和直观的几何图形相 结合起来，达到研究与解决问题的目的.2.2.1与斜率有关的问题例1.已知一有向线段PQ,其中起点P与终点Q坐标分别为P （-1, 1）, Q （2, 2）. 若直线l： my+x+m=0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围.【分析】 本题将直线l的方程是化为点斜式方程后，可看出1其和斜率为由、与Y轴的交点为M（0，-1）.结合图形可求出 斜率的取值范围.解：直线l的方程my+x+m=0可化为点斜式：y+1=-（x-0），易知直线l过定点M（0，-1），且斜率为-Ml与PQ的延长线相交，由图像可得：当过M且与？。平行时，直线l的斜率趋于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋于最大._ 1 I_ 3一3阿2-0 一 2设I的斜率为k|,由k<k I皿附得''f71 乙这个题看上去是一个动直线与定直线的问题，但是通过转化，问题变得简单 了，直线过定点，于是便转化成与斜率相关的问题，再通过数形结合，这类题便 迎刃而解了。一般在确定区间、确定域（线性规划问题中表现比较明显）求斜率 的问题都可以利用数形结合思想求解。2.2.2与距离有关的问题例 2.求：y= （sinO-sina-2） 2 + （cos 9 -cos a+3） 2 的最大（小）值.【分析】此可看成求两动点P （cos a -3， sin a +2）与Q （cos 9， sin。）之间 距离的最值问题.距离最值的平方便是y的最值。解：经分析可得，两动点的轨迹方程分别为：X2+y2=1和（x+3） 2+ （y-2） 2=1， 转化为求两曲线上两动点之间距离的最值问题.如下图：PQ I皿=|CB |=2+VTT:IPQ I mn= M D |=VTT-2.所以 y = 17 + 4JT3y= 17 - 413min例3.已知P为直线4x + 3 y +16 = 0上的动点，PA, PB是曲线x2 + y2 - 4x - 4y-1 = 0的两条切线，A,B为切点，C为圆心，求四边形PACB面 积的最小值。解：圆的方程可转化为(x - 2)2 + (y - 2)2= 9 .可知圆心为(2, 2)，半径为3.1 -Spacb = 2S 哑=2 -亏-|PB| |BC| = |PB| = J PC 2 -1 要使面积最小，只需PC最小，即求定点C到定直线 上动点P最小距离即点C (2,2)到直线4x + 3y +16 = 0的距离，|3 2 + 4 2 +16| = 6V；42 + 32.(Spacb ) . =J62 -1 =屈对于例2看上去是一个参数函数的值域问题，若直接把它当作函数处理，便 麻烦了，但若把问题转化一下，转化成两个点的关系，很容易想到圆的参数方程， 于是整个问题便转化成了定圆之间的最大距离与最小距离的问题，结合图像，可 以很直观的得到答案。例3,这道题直接求解较难，如能联想点到直线的距离公 式，数形结合，以形助数，则更简洁。所以在平时求解的过程中一定要注意转化， 利用图像解决问题，使问题简单化。2.2.3与截距有关的问题例4.若直线y=x+m与曲线x =恰有一个公共点，求m的取值范围.解：易知曲线x =疽巨如 为单位圆X2+y2=1的右半由数形结合知：当直线与曲线相切时，直线与曲线(x > 0)，m是直线y=x+m在y轴上的截距.有一个交点，此时m =-点，结合图形可知：当1v m < 1也满足条件.综上：m的取值范围是：m =或-1v m < 1这道题很直观的看出所要求解的m为直线y=x+m在y轴上的截距，曲线为右 半圆，结合图像便可求解。一般对于斜率确定求截距的取值范围的问题我们都可 以用数形结合的方法。变式：若直线y=x+n与曲线x =匕'1-y2恰有两个交点，求n的取值范围.解：由例4可知，n的取值范围为：-<2 < n <-1.2.2.4与定义有关的问题例5.求抛物线x = 2上到焦点F的距离与到点A(2, 2)的距离之和最小的点 4P的坐标，并求出最小值.【分析】要求I PA I + I PF I的最小值，可利用抛物线的定义，把|PF|转化为点P到准线的距离，化曲为直，从而借 助数形结合来解决相关问题.aaa 解：设P'为抛物线y2 = 4x上任意一点，过P'作其准线l的垂线，设垂足为D,连接P，F(F为抛物线的焦点)，由抛物线的 定义可得：P F = P D.故 |P' A| + |P' F =|尸顷| + P D过点A作准线l的垂线，垂足为Q,交抛物线于P.显然，线段AQ的长小于 折线AP'D的长，从而所求的点P为AQ与抛物线交点.线段AQ平行于x轴，且过A (2, 2)点P在曲线y2 = 4x上.点P的坐标为(1，2)，且与F、A的距离之和最小，最小距离为3.例6：已知动圆与定圆C： x2+y2+4y-32=0内切，且过定圆内的一定点A (0, 2)， 求动圆圆心？的轨迹方程.解：如下图所示：由定圆C： X2+(Y+2)2=36知圆心C(0,-2),半径r=6.设动圆圆心P的坐标为 (x,y),半径为 |PA|.圆 P 与圆 C 内切，|PC|二r-|PA|,即 |PA| + |PC|=r=6.所以动圆圆心？到两定点A(0,2),C(0,-2)的距离之和为6，且6>4.故动圆圆心P的轨迹是以A,C为焦点的椭圆，且 2a=6,2c=4,即 a=3,c=2,所以 b2=5.故：所求动圆圆MP的轨迹方程为 挡+巴=1由上面的两个例子，我们不难画出其图像，通过研究图像的一些性质，结 合圆锥曲线的定义，我们便可很快的解出题来。所以很多定义性的问题我们都可 以采用数形结合的方法。2.3数形结合在函数中的应用2.3.1 利用数形结合解决与方程的根有关的问题例1.已知方程|x2-4x+3|=t有4个根，求实数t的取值范围.【分析】此题不涉及到求方程根的具体值，只涉及到求根的个数，而求方程根的 个数问题可转化为求两曲线的交点的个数问题.解：方程|x2-4x+3|=t根的个数问题可转化为函数y=|x2-4x+3|与函数y=t图象 交点个数的问题.作出函数y=|x2-4x+3|的图象，再作直线y=t.（如下图所示）.由图象知，当0<t<1时，两函数图象有4交点，所以t的取值范围为：（0, 1）.解决这种类型的题，如果我们把前面等式看作方程，来求参数的取值范围， 难度会相当大，但如果把前面的等式看作是两个函数，再把研究根的问题转化为 研究函数交点的问题，结合函数图像，此题便迎刃而解了。所以很多关于函数的 根的问题，我们都可以数形结合转化为研究函数交点问题。2.3.2 利用数形结合解决函数的单调性问题函数的单调性是函数的重要性质之一，也是高考数学热点问题之一.在解决 相关问题时，常需要先确定函数的单调性、单调区间.数形结合思想是确定函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间可以形象直观地在函数的图象中反映出 来.例如：例2.求函数f (x) = x I x I -2 I x I的单调区间.解：y = x I x I -2 I x I=一 x 2 + 2 x, x < 0x 2 2x, x > 0，0,此题中，要求这个含绝对值函数的单调区间，直接求是无法实现的，但如果 去了绝对值，写成分段函数的形式，画出其函数图像，结合图像，其单调区间便 一目了然。所以在许多求函数单调区间的问题都可利用数形结合的思想。2.3.3 利用数形结合解决比较数值大小的问题例3.已知定义在R上的函数y = f (x)满足以下三个条件：对任意的0Wx1<X2W2，都有 f (x ) <f (x )；对任意的 xER 都有 f (x+4) =f (x)；y=f (x+2) 的图象关于y轴对称.则f (4.2)，f (6.2)，f (7.2)的大小关系是.解：由知：函数f(x)在区间0，2上是增函数；由知：函数周期T=4：； 由知：f (-x - 2) = f (x + 2)，所以y = f (x)的图象关于直线x=2对称.由此，画 出示意图(如下图)便可比较大小.xx._._._s_._._._._._._._._._s_._._. r, .AZ-._s_2_._._,_,_._._._._.-T$T.S4IS-a- T 一 显然，f (4.2) <f (7.2) <f (6.2).这是一个抽象函数比较数值大小的问题，那么我们直接是不可能比较出来 的，如果利用题设中给出的条件再结合图像便解决这类问题。2.3.4 利用数形结合解决抽象函数问题抽象函数问题是近年来高考中的热点问题，也是高考中的难点.若利用数形 结合常便能使我们找到很多解决此类问题的捷径.例4.设f 3),h(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，在区间a，b(a<b<0) 上，f(x)h(x) + f (x)hx) > 0且f (x) h(x)有最小值-6.则函数 y = f (x) h(x)在 区间-b，-a±().A. 是减函数且有最大值6B. 是减函数且有最小值一6C. 是增函数且有最大值6D. 是增函数且有最小值一6解：由 f (x)h(x) + f (x)h'(x) = f (x) + h(x)'> 0y = f (x) h(x)在区间a，b (a<b<0)上是增函数，又f (x), h(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.'y = f (x) h(x)是奇函数.故其函数图象关于原点对称，作出示意图如下:易知函数y = f (x) h(x)在区间-b, -a上是增函数且有最大值6,因此 选C.此题中运用到了及复合函数的相关性质，再数形结合，最值问题便得到解决。 所以关于很多抽象函数在已知条件下求最值(或值域)的问题都可以利用图像来 解决。2.4、数形结合在不等式中的应用2.4.1求参数的取值范围例1.若当xE(1, 2)时，不等式(x-1) 2<log x恒成立，求m的取值范围.解：设 yj (x1) 2 (1<x<2)， ylog x.由图像可知，要使y1<y2 (1<x<2),则m>1.y1= (x-1) 2过(2，1)点，当 y2=log x 也过(2，1)点，即 m=2 时，恰有 yi<y2 (1<x<2)当1 <mW2 时(x-1) 2<log x在 xE(1，2)上恒成立.这道题是解决含参不等式中参数取值范围的问题，那么直接运算是不能实 现的，看作两个函数在某区间上的值的大小问题，数形结合便很容易求出来。2.4.2解不等式例2.已知函数f (x)是R上的偶函数，且在(-8,0上是增函数，f (a) =0(a>0)， 则不等式xf (x) 0的解集是().A. x|0<x<aB. x|-a<x<0 或 x>aC. x|-a<x<aD. x|x<-a 或 0<x<a解：由题意得f(x)在R上为偶函数，且在(-8,0上是增函数，f(a)=0(a>0)， 可得函数f (x)图象如下：又xf (x) <0,则x与f (x)异号，从图象可知，当xE(-a, 0)U(a, +8) 时满足题意，故选B.例3.函数f (x) = 2 Ix+1I-Ix-1|， 求使f (x) > 2-2的x取值范围.解：由 f (x) > 2'2 得 21x+1I-Ix-1I N 2'- 23.I x + 1I -1 x - 1I>-23 设：g (x) =I x +11 - I x -11 h(x) = 则画函数图象如下：3则当 g (x) > h(x)，解得 x > 4这两道题都是与函数相关的不等式求解问题，所以利用函数图像便很好解 决。例2这种类型，在没有告诉具体函数解析式的情况下，运用函数的性质，画 出草图的方法尤为常见，在很多问题中我们都可采纳。2.5数形结合在解三角函数中的应用例1.已知函数f (x) =2|sinx|+sinx，xE0，2兀的图象与直线y=m有且仅有2个不同的交点，求m的取值范围.【分析】由函数解析式画出图象，通过图像，便可以直观简明地得到答案.I 3sin 尤,x e 0,兀解：函数f (x) = (，由图像可知:一 sin x, x e 兀，2兀n,-例2、当0 v x v-时，2求函翎(x) = 8sin2 x .+ Cos2 x +1的最小值.sin 2 xm的取值范围为：1 v m v 3/E解：尸此L坚严，由斜率关系知：尸为点7Y_=A(0，5)与点P( sin2x, 3cos2x)两点连线的斜率，又点P轨迹的参数方程'JK=-si 12dfn2为 r 。 (0<a<)，转化成标准方程：X2+g=l(x<0).如图，当过点A、尸丑口羽"ly的直线：y=kx+5与椭圆X2+卷=l(x<0)刚好相切时，k取得最小值4.故f(x) 的最小值为4.TT例3. AABC中，A=亍，BC = 3，则ABC的周长为A4 q 3 sin( B + 三)+ 3冗B. 43 sin( B + -) + 3兀C. 6sin( B + g) + 3解：本题可通过三角恒等变形和正弦定理的相关应用与计算来完成，但应用数形结合，可以更快地解决问题.延长CA到D,使得AD=AB，则有：CD=AB +'TT'TTAC,/CBD=/ABC+召，/D=g,由正弦定理：BC _ AB + ACsin D兀、sin( B + )得到 AB+AC = 6sin (B+* .所以：AABC 的周长为 6sin (B+* +3，故选 C.这3个三角函数函数题所求解的各有不同，例1中由交点问题求参数取值 范围，仍然结合图像研究两个函数交点的问题，例2中要求的函数看上去很复杂， 但经过非常巧妙的变形便转化成斜率问题，其中又涉及到了椭圆的参数方程，结 定点与椭圆图像，这个题也就变得简单了，例3中通过数形结合也避免了繁杂的 计算。综上可知，数形结合在解决三角函数相关问题中也应用得很广泛。2.6数形结合在复数中的应用例.已知复数z满足| -2-2i + z 1=声，求z的模的最大值、最小值。【分析】由 I 2 2i + z 1=1 z 2 2i 1=1 z (2 + 2i) I, 不难发现其几何意义:复平面上，复数z对应的点到复 数2 + 2i对应的点之间的距离，故满足I -2 2i + z I=的复数z对应的点Z，在以(2, 2)为圆心，半径为寸'2的圆上(上图)，而|z|表示点Z到原点O的距离，数形结合，当点0、圆心C、点Z三点共线时，z取得最值，iz=J2，iz= 3J2，minmax.复数z的模的最小值为/2,最大值为3思。这是一个关于模的计算问题，但如果经过适当的变形，更容易观察出它的几 何性质，再利用相关的几何意义，结合图像，解决此类问题就不会那么棘手了。 在我们复数的相关运算中，有很多问题都可以利用其几何意义通过数形结合来 解。在我们的立体几何中，也有用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其 相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。由此可见，数 形结合的思想方法对我们数学的学习多么重要。第三章数形结合在高等数学中的应用3.1数形结合在数学分析中的应用3.3.1用数形结合求定义域例： 求二元函数2= +arcsin(2x)定义域ln(l - X2 - J2)解：/-y2 + 4x 的定义域：一y2+4x30,的定义域：1-42-2尹1且1-42一>2>0.ln(l - X2 - y2)arcs in (2 jt)的定义域：I I Wl,故所求的定义域为（如下图）:I 2x l< 1, -y2 + 4x > 0,= 1 尤2 尸。1, 1 X2 了2 > 011 < 尤 V ,22y2 < 4x0 V 尤2 + >2 < 1A从这一个简单的求函数定义域的例子，我们可以看出，在高等数学中有许多 的问题是要用到数形结合来解决的，下面的几个应用数形结合思想解题的难度就 稍进一层。3.1.2微积分中的解题应用数形结合例.设有一曲顶柱体，以巧坐标为底，以平面X =0为侧，柱面x 2+ y 2 =1为内侧， 柱面x2+ y2 =2 x为外侧，以双曲线抛物面z =巧为顶，试求这个柱体的体积。解：由题设可知曲顶柱体在XO y平面上的投影，即积分域D （如下图），由D 的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积比较简便。由公式：V=jj zdxdy 二 jj xydxdyDD曲线L1： p =2cos9，L2： p =1，联立解得，9 =.3故 V= f 3 d0 j2cos°p3 sin0 cos0dp=f 3(6cos4 0 一1君3 sin0 cos0d04 0-f 3 l - 16cos4 0=8-0在微积分的应用中，很多问题的解决都离不开图形。一般，若解题单用数学 语言分析问题，常会使人觉得枯燥甚至茫然不知所措，若再结合所求问题的几何 意义，画出图像，借助图像的直观形象便能很快解决问题。3.2数形结合在常微分方程中的应用例.在上半平面求一条下凸的曲线，满足曲线上任意一点？（ X , y ）处的曲率 等于此曲线在该点的法线段尸。长度的倒数（2为法线与X轴的交点），且曲线在 点（1,1）处的切线与X轴平行。解：如下图所示，设所求曲线为y = f （x） .则曲线在P （X, y ）点处的曲率为：K=（ 1 y 1、= -7一yw （'曲线为下凸的，'y">0），+ y，2+ y，2又因为曲线J = f (X)在点P ( X , J )处的法线方程为:Y- y =-1 (X-x) (y'尹0), y它与工轴的交点Q的坐标为：Q (X +)矿,0),于是得到:I PQ I = Jyy+ y2 = y (1+ y' 2) 2,由题意设：K=，则有:IPQIy =s- n y y' =1+ y'2+ yr 2 <2y。+ y，2 方这是不显含x的方程，初始条件为：f=1,广=0 .dpy pdy令y' = p，y" = p也，于是方程变为 dy=1+ p 2 np d p =空 n ln(1+ p 2) =ln y +C，1 + p 2y 21代入广(1) = 0，得到C =0n p 2 = y 2 1 n p = Jy2 -1，积分可得：ln I y + 寸y2 1 I =( X-1)+ C 2,代入f=1，得到C2=0,故所求的曲线为：y + *y 2 1 =e x G1)，即所求曲线方程为：y = i (e x1 +e -G-1)2这是数形结合在常微分方程中的应用，很多问题我们不能直观的想象出来， 但是我们可以根据已知条件画出其草图，再将形的问题转化为数的问题，这样问 题就变得简单了。3.3数形结合在概率论中的应用概率论是比较贴近日常生活的一门学科，在其解题中同样离不开数形结合。 请看下面的例题：例.平面上画有一组间隔为d （d >0）的平行线，向平面上任意投掷一枚长为Z（/ < d ）的针，求针与任一平行线相交的概率。解：用x表示针的中点与最近一条直线的距离，以中表示针与此直线间的夹 角，见下图（1）。从图中易知：0W x W d /2, 0W中W兀，由这两式可以确定x 一中平面上的一个矩形Q，为样本空间，它的面积为：s =空Q 2记针与平行线相交为事件A，则针与平行线相交的充要条件是：x W sin中.2由此不等式表示的区域是图（2）中的阴影部分。图（2）图（1）因为针是向平面任意投掷的，所以由等可能性知这是几何概率问题。故：S Isin 里d中2ZP (A) = -a = 一Sd.d 兀Q2若I，d为已知，代入上式即可计算得P（A）。此例正说明了数形结合在概率论中的也有着不可替代的作用，简捷、直观， 化繁为简，由抽象到具体。通过上面的几个例子，我们可以知道数形结合的思想在高等数学的解题应用 中也占有主导作用，它贯穿我们整个数学解题，所以这是作为一个数学者必须掌 握的思想与方法。第四章 利用数形结合思想解题需要注意的问题在学习数形结合的解题思想及方法，我们还应看到数学证明、运算的简捷化 与严格化。把运算与证明的简捷化与严格化绝对对立起来是错误的.反而，我们 通过大量的例子证实了：严格的方法同时也是比较简捷、容易理解的方法，它们 是相辅相成的.所以我们在利用数形结合思想解题时需要做到：1、数形结合也有简繁之分，注意方法的选择2、注意数形等价转化3、注意图象伸展“速度”与展望4、注意图象延伸趋势5、注意仔细观察图象第五章结论与展望“数”与“形”是数学研究中最古老、最重要的两方面。它们一直都是一对 矛盾体。正如矛和盾一样总是同时存在，有“形”必有“数”，有“数”必有“形”。 数形结合思想是重要的数学思想之一，它可以使某些抽象问题具体化，体现了转 化与化归的思想，有助于把握数学问题的本质。因此，在整个数学学习中应注重 运用数形结合思想，提高自身的思维能力和数学素养。我国著名的数学家华罗庚先生曾用“数缺形时少直观，形离数时难入微，数 形结合百般好，隔裂分家万事休”形象生动地阐述了数形结合的意义。在解决数 学问题时，根据问题的条件和结论，借助形来观察，从而解决数的问题。而对于 形的问题也可以借助数来思考。它的主要特点就是：以形助数、以数赋形。数形 结合是我们必备的数学解题技能，我们要让数形结合成为一种数学学习习惯！致谢：在本论文的撰写过程中，得到张益老师的悉心关怀和指导，在此深表感谢。【参考文献】1 邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用.河北:河北理科教学研究，2005, 40-43.2 杨明.浅谈数学思想方法在解题中的应用.河北：河北理科教学研究,2008,39-40.3 陈婉华.在数学教学中提高学生的多种能力J.青年探索，2005,(06)4 董涛.建构主义视野中的数学概念教学J.曲阜师范大学学报(自然科学版)，2004,(02) .5 王君芬.例谈数学教学中的数形结合J.黑龙江科技信息，2009, (14)6 蔡东兴.数形结合思想方法的应用J.高中数学教与学，2009, (02)7 贾宏伟.新课标下高中数学学习的几种思想方法J.新西部，2008, (11)8 刘军刚.新数形结合的应用浅析J.新课程研究(基础教育)，2008,(04)9 欧阳光中，朱学炎.数学分析.高等教育出版社，198310 盛祥耀.高等数学M.北京:高等教育出版社,1992.11 王子兴.数学方法论M.长沙：中南大学出版社,2001.12 华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2003.13 茆诗松，程依明,濮晓龙.概率论与数理统计M.北京:高等教育出版社,2004,24-25.文学综述数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用此种方法很多问题便能 迎刃而解。我们可以利用数学结合的思想解决很多问题：1、集合问题：在集合的相关运算中我们常借助Venn图、数轴来解决，使问题得以简化、快 捷明了。文中有举例说明。2、解析几何问题：解析几何的基本思想就是数 形结合，在解题中善于将数形结合运用与点、线、曲线的性质及其相关关 系。本文对于求斜率、距离、截距等问题都有例题说明。3、函数问题：借助图像研究函数的性质是一种常用的方法，函数图像的几何特征与数量特 征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。本文中有提到单调性、方程 的跟、抽象函数、以及比较数值大小的问题。4、不等式问题：从题目的条 件和结论出发，联系相关函数着重分析其几何意义，从图形上找到解题思 路，本文主要从求参数的取值范围和解不等式两方面来讲解。5、三角函数问题：一般借助于单位圆和三角函数图像来处理，而其中还会运用到一些 曲线的参数方程。这些文中的例题中都有解释。6、复数问题：一般对于复数问题都比较简单，但其中也不乏一些难的问题，会用到复数的几何意义。 这些问题都是数形结合在初等数学中的应用，除此之外，数形结合在高等 数学中也有很多应用，本文主要从数学分析、常微分方程、概率论三个方 面来讲解在数形结合在高等数学中的应用。在求解数学问题中，要让数形 结合成为一种学习习惯，但同时也要注意数形的等价转化等，尽量做到化繁为简，去粗取精，从而扬长避短，尽可能地发挥各自的优势。数形转换时尽可能 构图简单合理优美，从而可使代数计算简洁、明了，还能给我们良好的视觉感受， 增添学习乐趣。