数值计算方法matlab 第二章 求根.docx
第二章作业问题描述：不同温度的两种流体进入混合器混合，流出时具有相同的温度。流体A和B的热容(单 位：cal/(mol K)分别为：c a = 3.381+ 1.804x10-2T -4.300x10-6T2c = 8.592+ 1.290X10-1T - 4.078x10-5 T 2 pB焓变(单位：cal/mol)为 AH = j& c dT。A进入混合器的温度为400°C, B进入混合器的温度为700°C, A的量(mol)是B的量 (mol)的两倍，试确定流体离开混合器的温度。问题分析：初始情况下，气体A的温度比气体B的温度低，故在混合过程中，气体A温度升高， 气体B温度降低。由于没有外界加热或者做功，混合气体整体的焓变应该为零。设A有2mol，B有1mol，根据焓变公式计算得到：AH = fT2 2c dT=fT (6.762+3.608x10-2T -8.600x10-6T2)dTAT1pA 400=6.762T +1.804x 10-2T2 - 2.867 x 10-6T3 - 5407.712AH =fT2c dT=fT (8.592+1.290x10-1T-4.078x10-5T2)dTB T pB 700=8.592T + 0.645x 10-1T2 -1.359x 10-5T3 - 32958.030而AHa +AHB = 0，故该问题最后变成求解方程f (T) = 15.354T + 8.254x 10-2T2 -16.457 x 10-6T3 -38365.742的根的问题。接下来将采用二分法、试位法以及牛顿法进行改方程的求解。方程保存为 f.m，可在压缩文件中找到。一、二分法二分法的基本思想为，确定有根区间，然后不断将区间二等分，通过判断f(x)的符号， 逐步将区间缩小，直到有根区间足够小，便可满足精度要求的近似根。本例中，可以清楚的得到有根区间为(400,700)。取容限误差为0.5x10-3%，可以保证5位有效数字。程序编写存储于bisec.m。其中，bisec函数定义为：function bisec(f_name,a,c,xmin,xmax,n_points)调用时：>> bisec('f',400,700,400,700,1000)相当于取了 a=400;c=700;作图时横坐标取得是从400700的范围，采样点为1000个。运行结果:迭代过程:Itf a=f (a)abs (f c-f a)abs r c-a. /2400.000000550.C00000700.000000550.000000625.000000700.000000101213141516025.000000625.000000525.0J0000625.000000629.687500629.687500629.687500630.273438630.273438630.419922630.419922630.456543630.474854630.474854662.500000643.750000634.375000629.687500632.031250630.859375630. 273438630. 566406630.419922630.493164630. 456543630. 474854630.484009630.479431700.Q00000662.500000643.750000634.375000634.375000632.031250630.859375630.859375630.566406630.566406630.493164630.493164630.493164630.484009-20070. 990000 7181.907000 2. 725e+00-?690. 725375 7181. 907000-545.126766-545. 126706-545. 126765-545. 1267661.500e+0021.487e+0047.500e+0017181.9070003243. 3142711333.7493437. 727e-i-0033. 793e-H0031. B79e4-0033.750e+00L1.875e+00'9.375e+QOO4.688e+000389.8095094. 686e+0022. 344e+U00155.22817S2. 340e+0021. 172e+00038.148931. 169e+002L 859e-U0138.148935.849e+0012. 9300018.9011692.924e+0011. 465e0018.9011691.462e+0017. 3240021.5906077.310e+0003. 6620021.59060：3.655e+0001. 831e-0021.59060：1.S28e+000S. 155e0030.6768269. 138e-0014. 578003389. 8095099.349e+D02-78. 789159-78. 789159-78. 789159-20. 337763-20. 337763-5. 7194XK-5. -1940j-2. 064467-0. 236947-0. 23694717630.474854630.477142630.479431-0. 2369470.2199384.569e-0Ol2. 28900318630.477142630.478287630.479431-0. 00850E0.2199382.284e-0011. 144e-003319S30.477142S30. 477715030. 4782S7-0. 0085050. 1057171. 142e-0015. 722eQ0A20630.477142630.477428630.477715-0. 00850E0.0486065.711e-0022. 86100421630.477142630.477285630.477428-0. 0085050.02005：2.S56e-0021. 43100422630.477142630.477214630.477285-0. 00850E0.0057731.428e-0027. 15300523630.477214630.477250630.477285-0. 0013660.0057737. 139e-0033. 57600524630.477214630.477232630.477250-0. 00136S0.0022043.569e-0031. 78800525630.477214630.477223630.477232-0. 0013660.0004101.785e-0038. 94100626630.477223630.477227630.477232-0.0004730.0004198.924e-0D44. 470e-006Tolerance is satisfied.Final result ; Root= 630.477227经过26次的迭代，计算出了符合精度的解为：Final result ; Root= 630.477227由于二分法的特殊性，当已知最终的期望绝对误差时，可以计算迭代次数：n _ log(L0 / tolerance) _ log(300 / 0.000005) _ 2583 26n log 2log 2.和结果相符合。实验结果分析：二分法的优点非常明显，计算过程简单，并且通常可以在给定区间内找到跟。但是迭代 次数比较多，并且必须已知根的上下限，否则计算无法进行。二、试位法由于二分法的收敛速度相对较慢，因此试位法进行了改进。二分法使用的是区间a,c 的中点进行迭代，而试位法则采用的是经过点(a,f(a)和(c,f(c)的割线L于x轴交点(b,0) 进行下一次迭代。和二分法相同，可以清楚的得到有根区间为(400,700)。取容限误差为0.5X10-3%，可以保证5位有效数字。程序编写存储于regul.m。其中，bisec函数定义为：function regul(f_name,a,c,xmin,xmax,n_points)调用时：>> regul('f',400,700,400,700,1000)相当于取了 a=400;c=700;作图时横坐标取得是从400700的范围，采样点为1000个。运行结果：迭代过程:It400.000000620.941539700.000000220. 941539-20070. 990000 -947. 0500911. 912e+D04620.941539630. L52108700.0000009. 210569-947.050091-32.4441269.U6e+002630.152108630.466226700.0000000. 314117-32.444126-L. 0980763.135e+001630.466226630.476855700.0000000. 010630-1.09B076-0. 0371491.061e+000630. 476855630.477215700.0000000. 000360-0.037149-0. 0012573.589e-002630.477216630.477227700.OOOOOO0. 000012-0. 0012E7-0. 0000431.214e-003630.477227630.477228700.0000000. 000000-0.000043-0. 0000014.10Be-005abs (f c-f a)Tolerance is satisfled.Final result ; Root= 630.177228实验结果分析：作为二分法的改进算法，试位法明显有着更快的收敛速度，误差减小的更快。本例中， 出现了 “一个划界点不变”的现象，即C点不变，但是并没有出现“很差的收敛性”。由于 所得的根更接近于C点，可以考虑改进该算法，更好的提高收敛性。三、牛顿法迭代法通常的形式是不唯一的，而采用牛顿迭代法是其中一种形式比较固定的构造方法。 牛顿迭代法的思想是：设法讲非线性方程转化为某种线性方程解决，其解决问题的基础是 Taylor多项式。取容限误差为0.5 10-3%，可以保证5位有效数字。去迭代点x0=600和x0=400分别进行迭代。程序编写存储于newtm。其中，bisec函数定义为：function Newt(f,x0,xmin,xmax,n_points)调用时：当x0=600时>> newt('f',600,400,700,1000)当x0=400时>> newt('f',400,400,700,1000)运行结果:1) x0=600求根示意图:Newton method-0.5450500final soiutian-2.5400迭代过程:y=-2.99365e+003y=5. 03005e-i-001y=l.30S63e-002y=7.62520e-009k=6.000aae+00230S81e+002x=6.30477e+002x=6.30477e+002Final resultRoot= 630.477228n=1,x=4. 00000e+002y=2.0071Qe+004il=%e=6.73124e+002y=4.34874e+00311=3,i=6. 31351e-l-002y=8.72426e+001n=x=6. 30478e+002y=3.S2345e-00211=k=6.30477e+002y=2.31580e-008Final result:Root= 630.47722B实验结果分析：正常情况下，牛顿法的收敛速度很快。当改变迭代初值时，牛顿法的迭代次数会发生变 化，但是总体看来变化不大。当迭代初值接近于根时，迭代次数较小，否则会相应增加迭代 次数。本例中，由于函数是单调的，所以不存在极值点，因此没有体现出牛顿法的缺点。小结:非线性方程求根的数值计算方法，首先要确定根的分布区间，并且具有局部收敛性的迭 代格式其初始区间要尽可能的小。运用各种数值求解方法时，要考虑解的收敛性，进而考虑 收敛速度和计算量。计算本例所用的三种办法各有优劣性。而真正在应用时，要根据应用要求的不同选出最 适合问题的方法，不能硬套公式。如本文中没有提到的割线法，也有它适合的使用范围。工 程上喜欢使用的图解法，也是一种快速而粗略的求解办法。
