统计学抽样与参数.ppt

第 5 章 抽样与参数估计,统计推断的过程,2010年,参数估计在统计方法中的地位,点估计,区间估计,第 5 章 抽样与参数估计,5.1 抽样与抽样分布5.2 参数估计的基本方法 5.3 总体均值的区间估计5.4 总体比例的区间估计5.5 样本容量的确定,学习目标,理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法,5.1 抽样与 抽样分布,一、什么是抽样推断二、概率抽样方法三、抽样分布,抽样方法,抽样方法,概率抽样(probability sampling),也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率,简单随机抽样(simple random sampling),从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率,分层抽样(stratified sampling),将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计,整群抽样(cluster sampling),将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差,系统抽样(systematic sampling),将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难,1从含有N个元素的总体中，抽取n个元素作为样本，使得总体中的每一个元素都有相同的机会（概率）被抽中，这样的抽样方式称为()A简单随机抽样 B分层抽样 C系统抽样 D整群抽样,2从总体中抽取一个元素后，把这个元素放回到总体中再抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为()A重复抽样 B不重复抽样 C分层抽样 D整群抽样,3一个元素被抽中后不再放回总体，然后再从所剩下的元素中抽取第二个元素，直到抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为()A重复抽样 B不重复抽样 C分层抽样 D整群抽样,4在抽样之前先将总体的元素划分为若干类，然后从各个类中抽取一定数量的元素组成一个样本，这样的抽样方式称为()A简单随机抽样 B分层抽样 C系统抽样 D整群抽样,5先将总体各元素按某种顺序排列，并按某种规则确定一个随机起点，然后，每隔一定的间隔抽取一个元素，直至抽取n个元素形成一个样本。这样的抽样方式称为()A简单随机抽样 B分层抽样 C系统抽样 D整群抽样,6先将总体划分成若干群，然后在以群作为抽样单位从中抽取部分群，再对抽中的各个群中所包含的所有元素进行观察，这样的抽样方式称为()A简单随机抽样 B分层抽样 C系统抽样 D整群抽样,抽样分布,在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布 是一种理论分布随机变量是 样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布(sampling distribution),抽样分布(sampling distribution),抽样分布是指()A一个样本各观测值的分布 B总体中各观测值的分布 C样本统计量的分布 D样本数量的分布,样本均值的抽样分布,容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布(例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。总体的均值、方差及分布如下（P88-89）,均值和方差,样本均值的抽样分布(例题分析),现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,样本均值的抽样分布(例题分析),计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,样本均值的分布与总体分布的比较(例题分析),=2.5 2=1.25,总体分布,样本均值的抽样分布与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为，方差为2/n。即XN(,2/n),中心极限定理(central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布（P90）,2010年,中心极限定理(central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,2010年,抽样分布与总体分布的关系（P90）,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,样本均值正态分布,样本均值正态分布,样本均值非正态分布,样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样,样本均值的抽样分布(数学期望与方差),样本均值的抽样分布(数学期望与方差),比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值 2.样本均值的方差等于总体方差的1/n,1.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分 布，其分布的均值为()A.B./n C D./n 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为()A./B./n C./n D./,3中心极限定理表明，如果容量为n的样本来自于任意分布的总体，则样本均值的分布为()A正态分布 B只有当n30时为正态分布 C只有当n30时为正态分布 D非正态分布,样本比例的抽样分布,总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为,比例(proportion),容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 一种理论概率分布推断总体比例的理论基础,样本比例的抽样分布,样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样,样本比例的抽样分布(数学期望与方差),5.2 参数估计的基本方法,一、估计量与估计值二、点估计与区间估计,估计量与估计值,参数估计(parameter estimation)就是用样本统计量去估计总体的参数估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值 的一个估计量参数用 表示，估计量用 表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x=80，则80就是的估计值,估计量与估计值(estimator&estimated value),点估计与区间估计,参数估计的方法,点估计(point estimate),1.用样本的估计量 的值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等,区间估计(interval estimate),在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%,区间估计的图示,2010年,置信区间的表述(95%的置信区间),从均值为185的总体中抽出n=20的20个样本构造出的20个置信区间,我没有抓住参数！,点估计值,2010年,使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能性包含参数但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很有把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过窄)的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上去很准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量，而现实中样本量总是有限的区间估计总是要给结论留点儿余地,置信区间的表述(confidence interval),将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 表示为(1-为显著性水平，是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有 99%,95%,90%相应的 为0.01，0.05，0.10相应的/2为0.005，0.025，0.05相应的Z/2值是 2.58，1.96，1.645,置信水平（1-）,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,置信区间(confidence interval),置信区间与置信水平,均值的抽样分布,(1-)%区间包含了%的区间未包含,置信区间与置信水平,均值的抽样分布,(1-)%区间包含了%的区间未包含,用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,-a/2,a/2,影响区间宽度的因素,1.总体数据的离散程度，用 来测度2.样本容量n3.置信水平(1-)，影响 z 的大小（三对常用的置信水平的z的值）E=z/2（估计误差式）,1.一个95的置信区间是指()A总体参数有95%的概率落在这一区间内 B总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有9 5%的区间包含该总体参数 D在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95的区间不包含该总体参数,2.9 5%的置信水平是指()A总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为95 B在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比率为95%C总体参数落在二个特定的样本所构造的区间内的概率为5 D在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比率为5,5.3 总体均值的区间估计,一、正态总体且方差已知，或 正态总体且方差未知、大样本二、正态总体且方差未知，或 正态总体且方差未知、小样本,一个总体参数的区间估计,总体均值的区间估计(正态总体、已知，或正态总体、未知、大样本),总体均值的区间估计(大样本),1.假定条件总体服从正态分布,且方差(2)未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n 30)2.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为（Z分布式）,重复抽样,不重复抽样,总体均值的区间估计(大样本例题分析),【例】一家保险公司收集到由36个投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间,总体均值的区间估计(大样本例题分析),解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在90%置信水平下的置信区间为,投保人平均年龄的90%置信区间为37.37岁41.63岁,总体均值的区间估计(正态总体、己知、小样本),总体均值的区间估计(正态总体、己知、小样本例题分析),【例】某种零件的长度服从正态分布，从某天生产一批零件中按重复抽样方法随机抽取9个，测得其平均长度为21.4cm。已知总体标准差为=0.15cm。试估计该批零件平均长度的置信区间，置信水平为95%,解：已知：总体服从正态分布,=0.15cm,n=9 为小样本但 己知，x=21.4，1-=95%,=0.05时,z/2=1.96,即：21.40.098=（21.302，21.498），该批零件平均长度的95%置信区间为21.302cm21.498cm之间,总体均值的区间估计(小样本例题分析),解：已知总体服从正态分布，=0.15，n=25为小样本但 己知,1-=95%,z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该食品平均重量的95%置信区间为101.44克109.28克之,总体均值的区间估计(正态总体、未知、小样本),总体均值的区间估计(小样本),1.假定条件总体服从正态分布,且方差()未知小样本(n 30)2.使用 t 分布统计量,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为（t分布式）,t 分布,t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的t分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，t分布也逐渐趋于正态分布,总体均值的区间估计(正态总体、未知、小样本例题分析),【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,总体均值的区间估计(例题分析),解：已知总体服从正态分布，n=16为小样本,但 未知 1-=95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得：总体均值在95%置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命的95%置信区间为1476.8小时1503.2小时,2010年,总体均值的区间估计(小结),1.当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是()A正态分布（z分布）Bt分布 Cx2分布 DF分布,2.当正态总体的方差未知时，在大样本条件下，估计总体均值使用的分布是()A正态分布（z分布)Bt分布 Cx2分布 DF分布,3.正态总体方差已知时，在小样本条件下，总体均值在1一 置信水平的置信区间可以写为()A.z/2 B.t/2 C.z/2 D.z/2,4正态总体方差未知时，在小样本条件下，总体均均值在l一 置信水平的置信区间可以写为()A.z/2 B.t/2 c.z/2 D.t/2,5.4 总体比例的区间估计,大样本重复抽样时的估计方法大样本不重复抽样时的估计方法,总体比例的区间估计,总体比例的区间估计,1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量,3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为,总体比例的区间估计(例题分析),【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：已知 n=100，p65%,1-=95%，z/2=1.96,该城市下岗职工中女性比例的95%置信区间为55.65%74.35%,2010年,总体参数区间估计使用的分布(小结),2010年,总体参数的区间估计(小结),5.5 样本容量的确定,一、估计总体均值时样本容量的确定二、估计总体比例时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差2、估计误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与估计误差成反比与可靠性系数成正比,估计总体均值时样本容量的确定,其中：,估计总体均值时样本容量的确定(例题分析),【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望估计误差为400元，应抽取多大的样本容量？,估计总体均值时样本容量的确定(例题分析),解:已知=500，E=200,1-=95%，z/2=1.96应抽取的样本容量为:,即应抽取97人作为样本,估计总体比例时样本容量的确定,1.根据比例区间估计公式可得样本容量n为,估计总体比例时样本容量的确定,2.E的取值一般小于0.13.未知时，可取使方差达到最大的值0.5,其中：,估计总体比例时样本容量的确定(例题分析),【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求估计误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？,解:已知=90%，=0.05，Z/2=1.96，E=5%,应抽取的样本容量为,应抽取139个产品作为样本,2010年,本章小结,抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法,结 束,