线性电阻电路分析.ppt

第2章 线性电阻电路分析,2.1 二端网络及其等效变换 2.2 电阻星形联接和三角形联接 2.3 电压源与电流源的等效变换 2.4 结点电压法 2.5 叠加定理 2.6 戴维南定理和诺顿定理 2.7 最大功率传输定理 本章小结,2.1 二端网络及其等效变换2.1.1 基本概念1.二端网络 具有两个端钮与外电路相联的网络叫二端网络，也称单口网络。二端网络根据其内部是否包含电源（独立源），分为无源二端网络和有源二端网络。每一个二端元件就是一个最简单的二端网络。图2.1所示为二端网络的一般符号。二端网络端钮上的电流I、端钮间的电压U分别叫做端口电流和端口电压。图2.1中端口电压U和端口电流I的参考方向对二端网络来说是关联一致的，UI应看成该网络消耗的功率。端口的电压、电流关系又称二端网络的外特性。,2.等效变换 当一个二端网络与另一个二端网络的端口电压电流关系完全相同时，这两个二端网络对外部来说叫做等效网络。等效网络的内部结构虽然不同，但对外部电路而言，它们的作用和影响完全相同。换言之，等效网络互换后，虽然其内部结构发生了变化，但它们的外特性没有改变，因此对外电路的影响也就不会改变。因此我们所说的“等效”是对网络以外的电路而言，是对外部等效。,求一个二端网络等效网络的过程叫做等效变换。等效变换是电路理论中一个非常重要的概念，它是简化电路的一个常用方法。因此，在实际应用中，通常将电路中的某些二端网络用其等效电路代替，这样不会影响电路其余部分的支路电压和电流，但由于电路规模的减小，则可简化电路的分析和计算。一个内部不含电源的电阻性二端网络（即无源二端网络），总有一个电阻元件与之等效，这个电阻叫做该网络的等效电阻。其数值等于该网络在关联参考方向下端口电压与端口电流的比值，用R表示。此外，还有三端网络、四端网络n端网络。两个n端网络，如果对应各端钮间电压电流关系相同，就是等效网络。2.1.2 电阻的串联、并联和混联 1.电阻的串联及其分压 几个电阻首尾依次相联，中间没有分支，电路中通过同一电流，这种联接方式称为电阻的串联。图2.2（a）所示为n个电阻串联的无源二端网络。图2.2（b）所示为只有一个电阻R的无源二端网络，如果图（b）中端口电压、端口电流与图（a）中完全相同，则这两个二端网络就是等效的，R就是图（a）中n个串联电阻的等效电阻。由KVL可以推出，串联电阻的等效电阻为 R=R1+R2+Rn=（2.1）,即电阻串联时，其等效电阻等于各个串联电阻的代数和。,电阻串联具有分压特点，各电阻上的电压关系为 u1：u2：un=R1：R2：Rn（2.2）这说明，电阻串联时，各个电阻上的电压按电阻的大小进行分配，各个电阻上的电压大小与其电阻值成正比。其中，电阻Rj上的电压uj等于,(2.3),同样，电阻串联时，各电阻的功率大小与其电阻值成正比，电阻大的功率大。根据电阻的功率公式可得 p1：p2：pn=R1：R2：Rn（2.4）串联电阻的总功率等于各个电阻功率的和，即 p=u i=i 2R1+i2R2+i n2 Rn（2.5）例2.1 图2.3所示是某电子设备中的一个分压电路。R=680的电位器与电阻R1、R2串联，已知R1=R2=550，电路输入电压U1=12 V，求输出电压U2的变化范围。解：电位器实际上是具有a、b、c三个端钮的可变电阻。当滑动端c移动到a端时，电位器全部与R2串联，输出电压为,滑动端c移动到b端时，电位器全部与R1串联，输出电压为,因此，调节680的电位器时，输出电压可在3.71 V8.29 V之间变化。例2.2 现有一个内阻为20 k、量程为10 V的电压表，如图2.4所示，今欲将电压表量程扩大为50 V和250 V，问需串联的附加电阻值为多少？解：电压表内阻Rg=20 k，量程为10 V，即Ug=10 V。在50 V这一挡量程，总电压U=50 V，串联电阻为R1，根据分压公式（2.3）可得,即,所以 R1=80 k在250 V这一挡量程，总电压U=250 V，串联电阻为R1和R2，同理可得,即,得 R1=400 k,2.电阻的并联及其分流 几个电阻的一端联在一起，另一端也联在一起，在电源作用下，各电阻两端具有同一电压，这种联接方式称为电阻的并联。图2.5（a）所示为n个电阻并联的无源二端网络。其等效电路如图2.5（b）所示，由KCL可以推出，并联电阻的等效电阻为,(2.6),或用电导表示为 G=G1+G2+Gn=（2.7）,式（2.6）和（2.7）表明，电阻并联时，其等效电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和，或者说，总电导等于各并联电导之和。,电阻并联具有分流的特点，各电阻上的电流关系为 i 1：i 2：i n=G 1：G 2：Gn（2.8）这说明，电阻并联时，各个电阻上的支路电流与电阻成反比或与电导成正比，电阻小（电导大）的支路，支路电流大。其中，电阻Rj上的电流ij等于,(2.9),同样，并联电路中，各电阻的功率也与电阻成反比，即 p1：p2：pn=（1/R1）：（1/R2）：（1/Rn）（2.10）并联电阻的总功率等于各电阻功率的总和。两个电阻并联时，其等效电阻为,(2.11),其电流分配关系为,(2.12),3.电阻的混联 既有串联又有并联的电路称为混联电路。利用串联电路和并联电路的特点，就可以将混联电路进行简化，进而分析计算电路。例2.3 求图2.6（a）所示电路ab端的等效电阻Rab。,解：分析无源二端网络ab端的等效电阻（即输入电阻），必须正确识别电阻的串并联关系。为了便于分析，可将电路内所有结点标上字母，且缩短无电阻支路（即短路线），在不改变电路联接关系的前提下，可在引出端钮a、b之间，逐一分析结点之间的电阻，适当改画电路图，以便识别电阻串并联关系。,在图2.6（a）中，用c、d、e标出其余各结点，c、d间因为是短路线联接，实质为一点。从a点开始，12、4电阻出自a点联接于c（d），从c（d）分出4、6、3三个电阻，其中4电阻联接到b端，6和3电阻联接到e，再由e出来经2电阻到b。这样在不改变电路联接关系情况下，原电路图可画成图2.6（b）的形式，电阻间串并联关系就比较清楚了。因此等效电阻为,需要注意的是，在电路改画过程中，必须从a端顺势画到b端，而不能中途改变方向。图2.6（a）中不改变各电阻阻值，将a、e间用短路线联接如图2.6（c）所示，那么a、b之间等效电阻Rab等于多少呢？读者可自行分析。（注意：在图（c）中ade支路的4电阻和3电阻被短路线短接。答案：Rab=1.6）。,例2.4 将内阻Rg=2 000，满偏电流Ig=100A的直流表头做成多量程的直流电流表，采用图2.7所示的环形分流器。现要求量程为1mA、10mA、100mA三档，试求分流电阻R1、R2和R3。解：分流器开关S打在位置“3”时，量程最小，分流电阻最大，为R1+R2+R3，S打在位置“1”时，量程最大，分流电阻最小，为R1。因此可以利用电阻串并联关系，首先从最小量程开始，求得总的分流电阻，在从最大量程开始，逐一求出各分流电阻。分析如下：S打在1 mA档，R1、R2、R3串联后与Rg并联，Ig=100A=0.1 mA，I=1 mA，根据分流关系，得,即,所以 R1+R2+R3=222.22S打在100 mA档，Rg、R2、R3串联后与R1并联，Ig=100A=0.1mA，I=100 mA。,S打在10 mA档，Rg、R3串联，R1、R2串联，Ig=100A=0.1mA，I=10 mA。,2.2 电阻星形联接和三角形联接的等效变换2.2.1 电阻的星形联接和三角形联接 电阻的连接方式，除了串联和并联外，还有更复杂的联接，本节介绍的星形联接和三角形联接就是电阻复杂联接中的常见情形。而且这两种复杂的联接无法用串联和并联等效变换进行简化。将三个电阻的一端连在一起，另一端分别接到三个不同的端钮上，就构成了电阻的星形联接，又称Y形联接，如图2.8（a）所示。将三个电阻分别接到三个端钮的每两个之间，这样就构成了电阻的三角形联接，又称为形联接，如图2.8（b）所示。,2.2.2 电阻Y形联接与形联接的等效变换 电阻的Y形联接和形联接是无源电阻性三端网络，根据多端网络等效变换的条件，让其对应端口的电压、电流分别相等，利用KCL、KVL就可推导出两个网络之间等效变换的参数条件。它们是：（1）将形联接等效为Y形联接：,(2.13),当R12=R23=R31=R 时，有R1=R2=R3=RY=。,（2）将Y形联接等效为形联接：,(2.14),当R1=R2=R3=RY时，有R12=R23=R31=R=3RY。在电路分析中，有时将形电阻网络与Y形电阻网络进行等效变换，就有可能把复杂的电路转变为简单电路，使分析计算大为简化。所谓简单电路是指利用电阻的串并联逐步化简，最后能化为一个等效电阻的电路。例2.5 求图2.9（a）所示电路中电流I。解：将3、5和2三个电阻构成的三角形网络等效变换为星形电阻网络，如图2.8（b）所示，根据式（2.13）求得,R1=1.5 R2=0.6 R3=1,再用电阻串联和并联公式,求出连接到电压源两端的等效电阻为,R=1.5+2.5,最后求得,此题也可以利用Y形电阻网络等效变换为三角形电阻网络的方法进行求解，请读者自行分析。,2.3 电压源与电流源的等效变换2.3.1 独立电源的串联和并联 n个理想电压源串联，可以等效成一个电压源。图2.10（a）所示为两个电压源US1和US2串联，可以用一个等效的电压源US代替。n个理想电流源并联，可以等效成一个电流源，如图2.10（b）所示。,图2.11（a）、（b）、（c）、（d）所示均为含有独立源二端网络等效变换的例子。这些等效变换的结果简化了部分电路而不影响其外电路的工作状态。,从以上例子可以看出，一个电压源并联若干元件（如电阻、电流源），对外等效仍为该电压源，如图2.11中的（a）和（c）；一个电流源串联若干元件（如电阻、电压源），对外等效仍为该电流源，如图2.11中的（b）和（d）。这是电压源和电流源的特点所决定的。但将电压不相等的电压源并联或电流不相等的电流源串联是不允许的，这将违背KVL和KCL。,2.3.2 两种实际电源模型的等效变换 第1.4节中介绍过实际电源的两种电路模型，即电压源与电阻的串联组合和电流源与电阻的并联组合。在电路分析中常常要求两种电源模型之间进行等效变换，以简化电路，从而便于分析和计算。图2.12给出了实际电源的两种模型。所谓等效仍然是指外部等效。要求等效变换前后，两种模型的外特性即端钮处电压电流关系不变。也就是与相同外电路联接的端钮a、b之间电压相同时，两模型端钮上的电流也必须相同（大小相等，参考方向相同）。图2.12（a）是电压源与电阻串联的模型，输出电压u=uS i R i，也可表示为,图2.12（b）是电流源与电阻并联的模型，输出电流为,根据等效的含义，上面两个式子中对应项应该相等，即,(2.15),应用式（2.15）进行等效变换时，应该注意变换前后电流源与电压源参考方向的对应关系：电流源的参考方向应与电压源的参考“-”极到参考“+”极的方向一致，反过来也是一样，如图2.12所示。例2.6 求图2.13（a）所示电路的等效电流源模型和图2.13（b）所示电路的等效电压源模型。,解：图2.13（a）中 Is=，R i/=R i=4 根据等效前US的极性，可知等效后电流源IS的参考方向应向下。图2.13（b）中 Us=R i/Is=63=18 V，R i=R i/=3 原电流源模型中IS参考方向向上，等效后的电压源模型中US的参考极性应是上正下负。例2.7 化简图2.14（a）所示的有源二端网络为等效的电压源模型。解：此题在分析时要注意，IS1与R1/、IS2与R2/这两个电流源模型中间有电阻R3相隔，不是并联关系。首先将IS1与R1/的电流源模型等效为US1与R1串联的电压源模型，如图2.14（b）所示。Us1=R1/Is1=46=24 V，R1=R1/=4 再将US1、R1、R3的串联支路等效为=电流源IS3与电阻R3/的并联，如图2.14（c）所示。,最后可得等效的电压源模型如图2.14（e）所示，电压源电压参考极性上正下负。，,例2.8 在图2.15（a）所示电路中，计算电阻R2中的电流I2。解：首先将图2.15（a）中IS与R1的并联组合电路，等效变换成US1与R1的串联组合电路，如图2.15（b）所示。其中 US1=R1 IS=68=48 V 再将图2.15（b）中US1、US2的串联电路等效变换为US，如图2.15（c）所示，注意US1与US2的参考方向是相反的，所以 US=US1-US2=4818=30 V 最后由图2.15（c）计算出电流I2,由以上例题可以看出，利用两种电源模型的等效变换可以简化含源电路，从而使电路的分析变的简便。这种分析电路的方法称为等效变换法。利用等效变换法分析电路时需要注意，等效变换只能等效待求支路以外的部分，否则，待求物理量就会因此而消失。例2.9 含受控源的二端网络如图2.16（a）所示，求二端网络的等效电阻R。,解：受控源元件虽是有源元件，但含有受控源的电路若没有独立源的激励便不能产生响应，所以由受控源和电阻组成的二端网络，其等效电路是一个电阻。求该等效电阻时，一般不能利用电阻的串并联等效方法来求，而是利用“外施电源法”，写出端口电压、电流的关系式，即U-I关系式，从而求出等效电阻。,图2.16（a）中受控源是电压控制电流源。受控源与独立源一样，也可进行电源的等效变换，图2.16（a）中的受控电流源与电阻的并联等效变换为受控电压源与电阻的串联。如图2.16（b）所示。假想在端口外加电流源I，在图2.16（b）中分析端口U-I关系。选定I1、I2参考方向如图所示 U=2I+（10+10）I1 4U（10+10）I1 4U 20I2=0 I2=I I1联立解之得,例2.10 试将图2.17（a）所示的含受控源的二端网络进行化简。解：图2.15（a）中既含有受控源，也含独立源，其等效电路应为一个独立电压源与一个电阻的串联。同样利用“外施电源法”，写出端口U-I关系式。图2.17（a）中的受控电流源与电阻的并联等效变换为受控电压源与电阻的串联。如图2.17（b）所示。写出端口的U-I关系式为 U=-500 I+1000 I+1000 I+20=1500 I+20,根据这一电压电流关系式，可得到相应的等效含源支路如图2.17（c）所示。从本例可以看到，电流控制电压源在这里好比一个“-500”的电阻。受控源相当于负电阻是由受控电压参考方向与控制电流参考方向之间的关系决定的。,2.4 结点电压法2.4.1 结点电压及结点电压方程 上一章介绍的支路电流分析法实际上是应用基尔霍夫定律，以各支路电流为未知量列方程进行求解的方法。显然，这种分析方法只适于求解支路数比较少的电路，当电路中支路数较多时，再以各支路电流为未知量列方程就非常麻烦。为此，本节介绍一种新的分析方法，叫做结点电压分析法，简称结点法。结点法是这样的：首先选电路中某一结点作为参考点（其电位为零），其它各结点到参考点的电压称为该结点的结点电压（实际上就是该结点的电位），一般用V表示。然后以结点电压为未知量，应用KCL列出各结点的KCL方程，解方程得到结点电压，继而以结点电压为依据，求出各支路电流。结点法的理论根据是基尔霍夫电流定律。在结点电压分析法中电阻元件的参数值用电导表示，即,电导的单位是西门子，符号为S。图2.18所示电路共有4个结点，选结点4为参考结点，则V4=0，其它各结点到参考结点的电压（即各结点的电位）分别是V1、V2、V3。则各支路电流可用结点电压表示为,I2=G2（V1 V2），I3=G3V2 I4=G4V3，I5=G5（V1 V3）对各结点列KCL方程：结点1 G2（V1V2）+G5（V1V3）=Is1 结点2 G3V2-G2（V1 V2）=Is6 结点3 G4V3-G5（V1 V3）=-Is6 整理得（G2+G5）V1-G2V2 G5V3=Is1-G3V1+（G2+G3）V2=Is6-G5V1+（G4+G5）V3=-Is6,这样就把以支路电流为变量的电流方程转变为以结点电压为变量的方程，解方程求得V1、V2、V3，就可以进一步分析各支路电流，而方程数目却大为减少。电路有n个结点，必须要列（n-1）个以结点电压为变量的结点方程。显然对多支路、少结点的电路来说，这种方法是比较适宜的。,上式中，令G11=G2+G5，G22=G2+G3，G33=G4+G5，G11、G22、G33分别为结点1、结点2、结点3的自导，是分别连接到结点1、2、3的所有支路电导之和。用G12 和G21、G13 和G31、G23 和G32分别表示结点1和2、结点1和3、结点2和3之间的互导，分别等于相应两结点间公共电导并取负值。本例中，G12=G21=-G2，G13=G31=-G5，G23=G32=0。由于规定各结点电压的参考方向都是由非参考结点指向参考结点，所以各结点电压在自导中所引起的电流总是流出该结点的，在该结点的电流方程中，这些电流前取“+”号，因而自导总是正的。结点1、2或3中任一结点电压在其公共电导中所引起的电流则是流入另一个结点的，所以在另一个结点的电流方程中，这些电流前取“-”号。为使结点电压方程的形式整齐而有规律，我们把这类电流前的负号包含在和它们有关的互导中，因而互导总是负的。此外，用IS11、IS22、IS33分别表示电流源或电压源流入结点1、2、3的电流。本例中，Is11=Is1，Is22=Is6，Is33=-Is6。其中，电流源电流参考方向指向结点时，该电流前取正号，反之取负号；电压源与电阻串联的支路，电压源的参考“+”极指向结点时，等效电流源前取正号，反之取负号。这样写成一般形式为 G11V1+G12V2+G13V3=Is11 G21V1+G22V2+G23V3=Is22(2.16)G31V1+G32V2+G33V3=Is33,式（2.16）是4个结点的电路结点电压方程的一般形式。由此不难推出n个结点电路结点电压方程的一般形式为,(2.17),2.4.2 结点法应用举例结点电压分析法为我们分析计算电路又提供了一个有利的工具。用此方法可以求解各支路电流。例2.11 图2.19所示电路中，已知Us1=16 V，IS3=2 A，Us6=40 V，R1=4，R1/=1，R2=10，R3=R4=R5=20，R6=10，o为参考结点，求结点电压V1、V2及各支路电流。,解：选定各支路电流参考方向如图所示。由已知可得,按式（2.17）列出结点电压方程为,联立解之得 V1=10 V，V2=28 V根据I1I6的参考方向可求得,例2.12 用结点电压法求图2.20电路的结点电压。解：选定6 V电压源电流I的参考方向如图所示。选接地点作为参考结点，则结点1、2的结点电压分别为V1和V2。计入电流变量I列出两个结点方程为 V1=5 I 0.5V2=-2+I 补充方程 VI V2=6解得 V1=4 V，V2=-2 V,例2.13 图2.21电路中，已知R1=12，R1/=8，R2=10，R3=10，Us1=100 V，Us2=100 V，IS3=5 A，各支路电流参考方向如图所示，求各支路电流。解：以o点为参考结点，则结点1的电位为V1，根据式（2.16）列出结点电压方程为,根据图中各支路电流参考方向可求得,例2.14 电路如图2.22所示。已知g=2 S，求结点电压和受控电流源发出的功率。,解：当电路中存在受控电压源时，应增加电压源电流变量I来建立结点方程。2V1 V2=6 I-V1+3V2 V3=0-V2+2V3=gV2+I,求解可得 V1=4 V，V2=3 V，V3=5 V，受控电流源发出的功率为,2.5 叠加定理 叠加定理是分析线性电路的一个重要定理。其表述为：在线性电路中有几个独立源共同作用时，各支路的电流（或电压）等于各独立源单独作用时在该支路产生的电流（或电压）的代数和（叠加）。使用叠加定理时，应注意以下两点：（1）在计算某一独立电源单独作用所产生的电流（或电压）时，应将电路中其它独立电压源用短路线代替（即令Us=0），其它独立电流源以开路代替（即令Is=0）。（2）功率不是电压或电流的一次函数，故不能用叠加定理来计算功率。图2.28（a）所示电路中共有两个独立电源（以下简称电源）。下面以支路电流I1和R2两端电压U2为例应用叠加定理推导I1和U2的求解过程。首先，让电压源Us单独作用，电流源Is不作用，以开路代替，得到图2.28（b）电路。可求得,其次，让电流源Is单独作用，电压源Us不作用，以短路代替，得到2.28（c）电路。可求得,应用叠加定理得到,例2.19 在图2.29（a）所示电路中，用叠加定理求支路电流I1和I2。解：根据叠加定理画出叠加电路图如图2.29所示。图2.29（b）所示为电压源US1单独作用而电流源IS2不作用，此时IS2以开路代替，则,IS2单独作用时，US1不作用，以短路线代替，如图2.29（c）所示，则,根据各支路电流总量参考方向与分量参考方向之间的关系，可求得支路电流 0.5-2.25=-1.75 A 0.5+0.75=1.25 A,根据叠加定理可以推导出另一个重要定理齐性定理，它表述为：在线性电路中，当所有独立源都增大或缩小k倍（k为实常数）时，支路电流或电压也将同样增大或缩小k倍。例如，将例2.15中各电源的参数做以下调整：US1=40 V，IS2=6 A，再求支路电流I1和I2。很明显，与原电路相比，电源都增大了1倍，因此根据齐性定理，各支路电流也同样增大1倍，于是得到I1=-3.5 A，I2=2.5 A。掌握齐性定理有时可使电路的分析快速、简便。例2.20 路如图2.30（a）所示。已知r=2，试用叠加定理求电流I和电压U。,解：此题电路中含有受控源，应用叠加定理时应注意两点：一是受控源不能“不作用”，应始终保留在电路中；二是受控源的控制量应分别改为电路中的相应量。根据叠加定理画出叠加电路图如图2.30所示。图（b）电路中，只有独立电压源单独作用，列出KVL方程为,求得 I/=-2 A，U/=-3 I/=6 V图（c）电路中，只有独立电流源单独作用，列出KVL方程为,求得 I/=3 A，U/=3（6-I/）=9 V根据各电压、电流的参考方向，最后叠加得到-2+3=1 A 6+9=15 V 通过以上分析可以看出，叠加定理实际上将多电源作用的电路转化成单电源作用的电路，利用单电源作用的电路进行计算显然非常简单。因此，叠加定理是分析线性电路经常采用的一种方法，望读者务必熟练掌握。,2.6 戴维南定理和诺顿定理 在电路中，有时只要分析某一支路的电流或电压，而不需要求电路其余部分的电流或电压。那么，这个待分析支路以外的部分就可看作一个有源二端网络。如果我们能用一个最简单的电路等效代替这个二端网络，待求支路电流的分析计算就可以大为简化。这个最简单的电路就是有源二端网络的等效电路。根据等效的含义，用等效电路代替有源二端网络后，对外电路（即待求支路）的影响应该完全相同，即外电路中的电流或电压应等于替代前的数值。因此等效电路与相应的有源二端网络必须满足端口电压、电流关系完全相同，也就是端钮间电压相等时，流出（或流入）端钮的电流也必须相等。由2.1节已知，无源二端网络的等效电路可以用一个无源支路表示，支路中的电阻即为该二端网络的等效电阻。那么任意一个有源二端网络的等效电路可表示为什么形式呢？2.7.1 戴维南定理 定理内容：任何一个线性有源二端网络，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和一个电阻相串联的结构 图2.31（a）。电压源的电压等于有源二端网络端口处的开路电压uoc；串联电阻Ro等于二端网络中所有独立源作用为零时的等效电阻图2.31（b）。,图2.31（a）中电压源与电阻的串联支路称为戴维南等效电路，其中串联电阻在电子电路中，当二端网络视为电源时，常称做输出电阻，用Ro表示；当二端网络视为负载时，则称做输入电阻，用Ri表示。应用戴维南定理，可以简化线性有源二端网络，进而使电路分析变得简便。例2.21 求图2.32（a）所示有源二端网络的戴维南等效电路。解：首先求有源二端网络的开路电压Uoc。将2 A电流源和4电阻的并联等效变换为8 V电压源和4电阻的串联，如图2.32（b）所示。由于a、b两点间开路，所以左边回路是一个单回路（串联回路），因此回路电流为,所以 Uoc=Uab=-8+3I=-8+34=4 V再求等效电阻Ro，图2.32（b）中所有电压源用短路线代替，如图2.32（c）所示。则 所求戴维南等效电路如图2.32（d）所示。,例2.22 电桥电路如图2.33（a）所示，当R=2和R=20时，求通过电阻R的电流I。解：这是一个复杂的电路，如果用前面学过的支路电流法和结点电压法列方程联立求解来分析，当电阻R改变时，需要重新列出方程。而用戴维南定理分析，就比较方便。用戴维南定理分析电路中某一支路电流或电压的一般步骤是：（1）把待求支路从电路中断开，电路的其余部分便是一个（或几个）有源二端网络。（2）求有源二端网络的戴维南等效电路，即求Uoc和Ro。（3）用戴维南等效电路代替原电路中的有源二端网络，求出待求支路的电流或电压。,将图2.33（a）电路中待求支路断开，得到图2.33（b）所示有源二端网络。求这个有源二端网络的戴维南等效电路。在图2.33（b）中选定支路电流I1、I2参考方向如图所示。,所以图2.33（b）中ab端的开路电压Uoc为 Uoc=Uab=8 I1-2 I2=83-26=12 V求等效电阻Ro，电压源用短路线代替，如图2.33（c）所示。,图2.33（b）所示的有源二端网络的戴维南等效电路如图2.33（d）所示，接上电阻R即可求出电流I。R=2时，R=20时，,2.6.2 诺顿定理 诺顿定理研究的对象也是线性有源二端网络。其内容表述为：任何一个线性有源二端网络，就端口特性而言，可以等效为一个电流源和一个电阻相并联的形式 图2.34（a）。电流源的电流等于二端网络端口处的短路电流isc；并联电阻Ro等于二端网络中所有独立源作用为零时的等效电阻图2.34（b）。,图2.34（a）中电流源与电阻的并联模型称为诺顿等效电路。应用诺顿定理，同样可以简化线性有源二端网络。,例2.23 求图2.35（a）所示有源二端网络的诺顿等效电路。解：首先求a、b两点间的短路电流Isc，如图2.35（b）所示，选定电流I1、I2参考方向如图所示。,根据KCL I1=I2+Isc所以短路电流 Isc=I1 I2=4 2=2 A 再求等效电阻Ro，将图2.35（a）中电压源用短路线代替，得无源二端网络ab如图2.35（c）所示。则,求得诺顿等效电路如图2.35（d）所示。,例2.24 求图2.36（a）所示有源二端网络的戴维南等效电路和诺顿等效电路。二端网络内部有电流控制电流源，Ic=0.75 I1。解：先求开路电压Uoc。图2.36（a）中，当端口a、b端开路时，有 I2=I1+Ic=1.75 I1对网孔1列KVL方程，得 5103 I1+20103 I2=40代入I2=1.75 i1，可以求得I1=10 mA。而开路电压 Uoc=20103 I2=35 V当端口a、b端短路时，如图2.36（b）所示，可求得短路电流Isc。此时,Isc=I1+Ic=1.75 I1=14 mA故得,对应戴维南等效电路和诺顿等效电路分别如图2.36（c）和（d）所示。当有源二端网络内部含受控源时，在它内部的独立电源作用为零时，等效电阻Ro有可能为零或为无穷大。当Ro=0时，等效电路成为一个电压源，这种情况下，对应的诺顿等效电路就不存在，因为等效电导Go=。同理，如果Ro=即Go=0，诺顿等效电路就成为一个电流源，这种情况下，对应的戴维南等效电路就不存在。通常情况下，两种等效电路是同时存在的。Ro也有可能是一个线性负电阻。戴维南-诺顿定理是电路中非常重要的定理，它们不仅指出了线性有源二端网络最简等效电路的结构形式，还给出了直接求解等效电路中参数的方法。这样以来，对于任何线性有源二端网络，应用定理可以直接将其化简。此外，定理还有一个突出的特点，即实践性强。其等效电路中的三个参数Uoc、isc和Ro可以直接测得。图2.37便是测量三个参数的电路。图2.37（a）中，将电压表并接在二端网络的输出端，则电压表的测量值近似为端口处的开路电压uoc；图2.37（b）中，将电流表串接在二端网络的输出端，则电流表的测量值近似为端口处的短路电流isc，然后利用公式 即可求出等效电阻Ro。,2.6.3 戴维南-诺顿定理在电路调试中的应用 戴维南-诺顿定理在实际中有着非常重要的应用。实际的电路，其结构和参数往往都是未知的，应用戴维南-诺顿定理可以将这个未知的电路用一个结构、参数都可知的具体的电路去替代，这就给电路的分析、调试带来极大的方便，这是其他电路分析方法难以做到的。,一个新的电子产品往往需要调整电路的某些元件参数来改善其电气性能。其电路模型可以抽象为如图2.38（a）所示的结构形式，图2.38（a）中，RL为需要调整参数的元件，当然，根据需要，调试元件也可以是其他的元件。实际中为了便于调试，需要找出元件参数变动时电压和电流变化的规律。为此，将图（a）中除电阻RL之外的其余部分用戴维南-诺顿等效电路来模拟，得到图2.38（b）和（c）所示电路模型，由此可以写出电压、电流随RL变化的函数关系式分别为,(2.20a),(2.20b),这是工作于线性区的任何电阻电路中任一电阻电压和电流的一般表达式，由此可得出电路参数变化对电压、电流的影响作用。例如，对于R00的情况，可以得出以下结论：1、欲提高电路中任一电阻RL的电压，应增加其电阻值。电压随电阻RL变化的具体规律由式（2.20a）确定，如图2.39（a）曲线所示。由曲线可见，当电阻RL由零逐渐增加到无穷大时，电压u将从零逐渐增加到最大值uoc，且当RL=R0时，u=0.5 uoc，即电阻电压为开路电压的一半。若要电阻电压大于开路电压，即uuoc，则需要调整电路其他元件的参数来提高uoc。,2、欲减小电路中任一电阻RL的电流，应增加其电阻值。电流随电阻RL变化的具体规律由式（2.20b）确定，如（b）曲线所示。由曲线可见，当电阻RL由零逐渐增加到无穷大时，电流i将从最大值isc逐渐减小到零，且当RL=R0时，i=0.5 isc，即电阻电流为短路电流的一半。若要电阻电流大于短路电流，即iisc，则需要调整电路其他元件的参数来提高isc。读者可用类似的方法分析负载换为电压源、电流源或二极管时电压、电流变化的规律，推导出一些定性和定量的结果，这对电路的设计与调试十分有用。从以上分析可见，戴维南-诺顿定理不仅可以简化电路的分析计算，也是分析和调试电路的有力工具。,2.7 最大功率传输定理 本节介绍戴维南-诺顿定理的另一个重要应用。在测量、电子和信息工程的电子设备设计中，常常遇到电阻负载如何从电路获得最大功率的问题。这类问题可以抽象为图2.40（a）所示的电路模型来分析。,网络N表示供给负载能量的有源线性二端网络，它可用戴维南等效电路来代替，如图2.40（b）所示。RL表示获得能量的负载。这里我们要讨论的问题是负载电阻RL为何值时，可以从二端网络获得最大功率。利用数学知识，先写出RL吸收功率的表达式为,上式是以RL为未知量的一元函数，利用导数中求极值的问题可知，欲求p的最大值，应满足dp/dRL=0，即,由此式求得p为极大值或极小值的条件是 RL=Ro（2.21）由于 RL=Ro=Ro0 0,由此可知，当Ro 0，且RL=Ro时，负载电阻RL从二端网络获得最大功率。最大功率传输定理表述为：当负载电阻RL与有源二端网络的等效电阻Ro相等时，RL能获得最大功率。满足RL=Ro条件时，称为最大功率匹配，此时负载电阻RL获得的最大功率为,(2.22),若用诺顿等效电路，则最大功率表示为,(2.23),满足最大功率匹配条件时，Ro吸收功率与RL吸收功率相等，对电压源uoc而言，功率传输效率=50%。对二端网络中N中的独立源而言，效率可能更低。因此，只有在小功率的电子电路中，由于常常要着眼于从微弱信号中获得最大功率，而不看重效率的高低，这时实现最大传输功率才有现实意义；而在大功率的电力系统中，为了实现最大功率传输，以便更充分地利用能源，如此低的传输效率是不允许的，因此不能采用功率匹配条件。例2.25 电路如图2.41（a）所示。试求：（1）RL为何值时获得最大功率；（2）RL获得的最大功率；（3）10 V电压源的功率传输效率。,解：（1）断开负载RL，求得二端网络N1的戴维南等效电路参数为,如图2.341（b）所示，由此可知当 RL=Ro=1时可获得最大功率。（2）由式（2.22）求得RL的最大功率为,（3）先计算10 V电压源发出的功率。当RL=1时：,UL=RL IL=2.5 V,P=10 3.75=37.5 W 10 V电压源发出37.5 W功率，电阻RL吸收功率6.25 W，则电压源的功率传输效率为%16.7%,本 章 小 结 1、等效变换是电路中非常重要的概念，是化简电路常用的方法。利用两种电源模型的等效变换，可以化简电路，使计算简便。2、以独立结点的电压作为变量根据KCL列写结点电压方程，解方程求出结点电压，进而求出各支路电流及其它物理量，这种方法称结点电压分析法。3、叠加定理适用于有唯一解的任何线性电阻电路。它允许用分别计算每个独立源产生的电压或电流，然后相加的方法，求得含多个独立电源的线性电阻电路的电压或电流。4、戴维南定理和诺顿定理研究的是线性含源单口网络，它们分别指出了线性含源单口网络的等效电路模型。应用该两个定理可以简化复杂的含源电路，从而使电路分析变得简便。5、最大功率传输定理阐明了输出电阻Ro大于零的任何含源线性电阻单口网络向可变电阻传输最大功率的条件是RL=Ro。,