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可靠性分析,刘志祥,可靠性理论课程：32学时9-16周2.0学分必修课程成绩：平时成绩30%：作业和到课 考试成绩70%：闭卷,教学计划与管理,第一章 绪论,1.1 可靠性基本概念(1)可靠性定义,系统或设备在规定的条件下，在规定的时间内，完成规定功能的能力。,三个规定,规定条件,是指系统或产品所处的使用环境与维护条件，包括：机械条件、气候条件、生物条件、物理条件和使用维护条件等。,规定时间,规定功能,是指系统或设备(产品)执行任务的时间。,一般指由用户提出的指标和要求。,1.1 可靠性基本概念,可靠性就是系统在时间t内不失效的概率P(t)。如果T为系统从开始工作到首次发生故障的时间，系统无故障工作的概率有下式：P(t)=P(Tt)P(t)具有下面三条性质：(1)P(t)为时间的递减函数；(2)0 P(t)1；(3)P(t=0)=1；P(t=)=0 系统或设备的可靠性是一个与时间有密切关系的量，使用时间越长，系统越不可靠。,(2)可靠性的定量定义,1.2 可靠性研究的意义,(1)提高系统或产品的可靠性，防止故障和事故发生。随着科技进步，系统或产品的规模越来越大，产品的复杂性增加。,一台600MW的发电机由于故障停运一天，使电厂的收入减少432万元；最为惨痛的教训是乌克兰的切尔诺贝利核电站，1986年4号反应堆因核泄漏导致爆炸，直到2000年12月完全关闭，14年里乌克兰共有336万人遭到核辐射侵害。,波音747喷气客机有4百5拾万个部件，当单个元件可靠性为99.999%时，若系统由10个、100个、，元件组成串联系统，可靠性为：系统个数(个)产品可靠性 1 99.999 10 99.99 100 99.90 1000 99.01 1万 90.48%10万 36.79%100万 0.1%,1.2 可靠性研究的意义,(2)提高系统或产品的可靠性，能使产品的总费用降低。(3)提高系统或产品的可靠性，能提高设备的使用率。(4)提高系统或产品的可靠性，能提高企业信誉，提高经济效益。,1.3 可靠性内函,(1)可靠性按学科分类：一般可分为：可靠性数学；可靠性工程；可靠性管理；可靠性物理等。(2)可靠性的技术基础：概率论和数理统计；材料、结构、物理学；故障物理学；基础试验技术；环境技术等。(3)可靠性学科特点：可靠性学科特点是：管理与技术高度结合；众多学科的综合；反馈和循环(通过反馈与循环不断提高产品的可靠性)。,1.4 可靠性研究的数理特征,可靠性研究的是随机事件或随机现象。世界上有些事件是确定的，只要满足了一定条件，这些事件的结果是不变的，如水由两个氢原子和一个氧原子组成;地球是自西向东旋转的等等。但世界上有些事是不确定的，每次观测的结果是不同的，是有差异的。如测量同一批规格零件尺寸，会出现不同的结果。,事件或现象,确定性,不确定性即随机性,介于确定性与不确定性之间是混沌现象,1.5 该课程要掌握的内容,基础是概率论,1、可靠性的概率统计知识,2、系统可靠性分析：包括串联系统、并联系统、表决系统、旁联系统、混联系统和复杂系统可靠性分析与计算方法。3、故障模式影响和故障树分析。,重点内容,第二章 可靠性的概率统计知识,可靠性是“产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力”。我们把表示和衡量产品的可靠性的各种数量指标统称为可靠性特征量。,产品的可靠性特征量主要有：(1)可靠度；(2)失效概率密度；(3)累积失效概率；(4)失效率；(5)平均寿命；(6)可靠寿命；(7)中位寿命；(8)特征寿命等。,2.1 可靠性特征量,1、可靠度,可靠度是“产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率”。,显然，规定的时间越短，产品完成规定的功能的可能性越大；规定的时间越长，产品完成规定功能的可能性就越小。,可靠度是时间t的函数，故也称为可靠度函数，记作R(t),R(t)是一递减函数,可靠度函数可写成：R(t)=P(Tt)式中：t为规定时间，T为产品寿命。有：,假如在t=0时有N件产品开始工作，而到t时刻有，n(t)个产品失效，仍有N-n(t)个产品继续工作，则可靠度R(t)的估计值为:,2、累积失效概率和失效概率密度,(1)累积失效概率也称为不可靠度，记作F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概率，通常表示为：,注意：累积失效概率F(t)与可靠度R(t)是相反关系：R(t)+F(t)=1,或者：F(t)=1-R(t),有：,(2)失效概率密度是产品在包含t的单位时间内发生失效的概率，是累积失效概率对时间t的导数，记作f(t)。可用下式表示：,假设n(t)表示t时刻失效的产品数，n(t)表示在(t,t+t)时间内失效的产品数。,失效概率密度为:,3、失效率,(1)失效率定义,失效率(瞬时失效率)是：“工作到t时刻尚未失效的产品，在该时刻t后的单位时间内发生失效的概率”，也称为失效率函数，记为(t)。由失效率的定义可知，在t时刻完好的产品，在(t，t+t)时间内失效的概率为：,上式表示B事件(Tt)发生的条件下，A事件(tT t+t)发生的概率，表示为P(A|B)。,有下列关系：,其推导过程：,推导过程中：P(A|B)=P(AB)/P(B),可靠度函数-R(t)=P(Tt),累积失效概率(不可靠度)与失效概率密度关系：,系列关系式：,其推导过程,设t=0时有N个产品正常工作，到t时刻有N-n(t)个产品正常工作，至t+t时刻，有N-n(t+t)个产品正常工作,注意：失效率(t)与失效概率密度f(t)的区别,(2)失效率的单位,失效率(t)是一个非常重要的特征量，它的单位通常用时间的倒数表示。但对目前具有高可靠性的产品来说，就需要采用更小的单位来作为失效率的基本单位，因此失效率的基本单位用菲特(Fit)来定义，1菲特=10-9/h=10-6/1000h，它的意义是每1000个产品工作106 h，只有一个失效。,产品的可靠性取决于产品的失效率，根据长期以来的理论研究和数据统计，发现由许多零件构成的机器或系统，其失效率曲线的典型形态如图2.4所示，由于它的形状与浴盆的剖面相似，所以又称为浴盆曲线(Bathtubcurve)，它明显地分为三段，分别对应元件的三个不同阶段或时期。,(2)失效率曲线(浴盆曲线),第一段曲线是元件的早期失效期，表明元件开始使用时，它的失效率高，但迅速降低。第二段曲线是元件的偶然失效期，其特点是失效率低且稳定，往往可近似看成是一常数。第三段曲线是元件的耗损失效期，失效率随时间延长而急剧增大。,重要规律：偶然失效期设(t)=，系统的可靠度为：,不可修产品的平均寿命是指产品失效前的平均工作时间，记为MTTF(Mean Time To Failure)；可修产品的平均寿命是指相邻两次故障间的平均工作时间，称为平均无故障工作时间或平均故障间隔时间，记作MTBF(Mean Time Between Failures)。,4、平均寿命,如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，记作。若产品失效密度函数f(t)已知，由概率论中数学期望的定义，有：,平均寿命的意义是可靠度函数R(t)与t轴所形成的面积,不可修产品平均寿命MTTF估计值为：,式中：n为测试产品的总数；ti为第i个产品失效前的工作时间。,可修产品平均寿命MTBF估计值为：,式中：N为测试产品所有的故障数；ni为第i个测试产品的故障数；tij为第i个产品第j-1次故障到第j次故障的工作时间，单位为h。,如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，两者平均寿命估计值为：,平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产品寿命的离散程度。产品寿命方差的定义为：,5、寿命方差与标准差,如果n个产品抽样测试的寿命分别为t1，t2，tn，产品寿命平均值与方差分别为：,寿命的标准差为寿命方差的平方，即：,5、可靠寿命、中位寿命和特征寿命,可靠寿命是指可靠度等于给定值r时产品的寿命，表达式为：,式中：R-1(r)是R(t)的反函数,当R=0.5时产品的寿命为中位寿命，表达式为：,当R=e-1=0.368时产品的寿命为特征寿命，即：,可靠性特征的数学表达式及其关系,可靠性特征的数学表达式及其关系,习题1：一组元件的故障密度函数为：,式中：t为年。求：累积失效概率F(t)，可靠度函数R(t)，失效率(t)，平均寿命MTTF，中位寿命T(0.5)和特征寿命T(e-1)。,习题2：已知某产品的失效率为常数，(t)=0.2510-4/h。,求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均寿命MTTF，中位寿命T(0.5)和特征寿命T(e-1)。,习题3：50个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：,求：(1)零件在100h和400h的可靠度；(2)100h和400h的累积失效概率；(3)求10h和25h时的失效概率密度；(4)求t=25h和t=100h的失效率。,习题1：一组元件的故障密度函数为：,式中：t为年。求：累积失效概率F(t)，可靠度函数R(t)，失效率(t)，平均寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿命T(e-1)。,答案,解：,上式中不知道是多少，但有R()=0，即：,解得t1=t2=8年，表明8年后元件将全部失效,解得r1=2.243年(r2=13.66年8年舍去)。,解得r1=3.147年(r2=12.85年8舍去)。,习题2：已知某产品的失效率为常数，(t)=0.2510-4/h。,求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿命T(e-1)。,解：,习题3：50个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：,求：(1)零件在100h和400h的可靠度；(2)100h和400h的累积失效概率；(3)求10h和25h时的失效概率密度；(4)求t=25h和t=100h的失效率。,解：,要点：f(t)、(t)是研究t时间后单位时间的失效产品数，f(t)是除以试验产品总数，(t)是除以t时仍正常工作的产品数。注意单位。,2.2 维修性特征量,维修性定义：维修性是指在规定的条件下使用的可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能的能力。-对应产品应可靠性,维修性特征量有三个：维修度M(t)；修复率(t)；平均修复时间MTTR。,把产品维修时间Y所服从的分布称为维修分布，记为G(t)。维修度是指在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的时间(0，t)内完成修复的概率，记为M(t)。,2.2.1 维修度,维修度(Maintainability)定义,维修度是时间(维修时间t)的函数，故又称为维修度函数M(t)，它表示当t=0时，处于失效或完全故障状态的全部产品在t时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率。所以维修度M(t)对应产品的累积失效概率F(t),修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，可表示为(t)。-对应于产品的失效率(t)。,2.2.2 修复率,修复率定义,维修度M(t)对应产品的累积失效概率F(t)，m(t)为维修时间的概率密度函数。-对应于产品的失效概率密度f(t)。,平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计值为修复时间总和与修复次数之比，记作MTTR(Mean Time To Repair)。-对应于可修产品的平均工作时间(平均寿命)MTBF。,2.2.3 平均修复时间,平均修复时间(MTTR)定义,两个重要规律,可靠度与维修度之间的关系,可靠度或不可靠度,维修度,平均修复时间,例题：,2.3 有效性特征量,有效性定义：有效性也称可用性，表示可维修产品在规定的条件下使用时具有维持规定功能的能力。规定条件包括产品的工作条件和维修条件。有效性是一个反映可维修产品使用效率的广义可靠性尺度。,2.2.3 有效度和可用度,有效度定义：有效度(也叫可用度)是指可维修的产品在规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率。对于不可维修的产品，有效度等于可靠度。,有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为A(t)。它又分为瞬时有效度、平均有效度、稳态有效度和固有有效度四形式。,1、瞬态有效度,瞬态有效度定义：瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为A(t)。瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践。,平均有效度定义：平均有效度是指可维修产品在一时间区间的平均值。又称任务有效度。,2、平均有效度,3、稳态有效度,稳态有效度定义：稳态有效度是时间t趋近于的瞬时有效度。记为A()或A，又称为时间有效度或可工作时间比。,U可维修产品平均能正常工作的时间，单位为h；D产品平均不能工作的时间，h；MTBF可修产品平均无故障工作时间；MTTR可修产品的平均修理时间，即平均修复时间。,4、固有有效度,固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的时间。,MADT(mean active down time)平均实际不能工作的时间。,其与稳态有效度的区别：稳态有效度是时间t趋近于的瞬时有效度。,瞬时有效度、平均有效度(即任务有效度)和稳态有效度之间的关系。,习题4：一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为20天，如果出了故障需2天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。,求：(1)该设备5天和15天的可靠度各为多少?；(2)该设备的稳态有效度为多少?,提示：,习题4答案：一设备从以往的经验知道，平均无故障时间为20天，如果出了故障需2天方能修复，假定该设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。,求：(1)该设备5天和15天的可靠度各为多少?；(2)该设备的稳态有效度为多少?,解：,(1)该设备平均无故障时间时间为20天，即MTBF=20因MTBF=1/，=1/20；同理平均修复时间为2天，MTTR=1/，=1/2R(5)=exp(-t)=exp(-5/20)=0.779R(15)=exp(-t)=exp(-15/20)=0.472(2)A=/(+)=0.909或A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22=0.909,稳态有效度定义,2.4 概率的基本运算,2.4.1 随机事件,随机事件的定义：凡是事先不能确定结果的现象称随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生的事件称为随机事件。随机事件的一个基本结果称为基本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这种事件称为复合事件(如从扑克牌中抽一张，抽出1、2、.、或13等都是基本事件，抽出偶数牌是复合事件)。,在一定的条件下，必然会发生的事件是必然事件，记为；一定不可能发生的事件为不可能事件，记为。,2.4.2 随机事件的概率,概率的统计定义：假定在相同条件下进行n次重复试验，事件A发生了k次，当试验次数n趋向无穷时，发生频率的极限定义为事件A发生的概率，记为P(A)。,随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只要同样的试验在同一条件下重复多次，各种结果出现的次数占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，这是平稳随机过程及随机现象的一个重要特征。,2.4.3 事件间的关系与运算,1、事件间的关系,如果事件A包含事件B，且事件B包含事件A，则称事件A与B相等。记为A=B。,(1)包含与相等关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，即：,(2)事件的和：“n个事件A1，A2，An中至少有一个发生”这一事件，称为Al，A2，An的和事件。记为：,(3)事件的积：“n个事件A1，A2，An同时发生”，称为Al，A2，An的积事件。记为：,(4)事件的差：“事件A发生，但事件B不发生”，称为事件A与B的差。记为：A-B,(5)对立事件或逆事件：“事件A不发生”，称为事件A的对立事件或逆事件。记为：,(6)互斥事件或互不相容事件：“如果事件A和事件B不能同时发生”，称事件A与B是互不相容事件(互斥事件)，有AB=。,事件间的运算规律,2.4.4 概率运算的基本公式,1、概率的加法公式,设A与B是任意两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地：,(2)当A与B为互不相容事件：P(AB)=P()=0，P(A+B)=P(A)+P(B)推广到n维，若A1、A2、A3、An为互不相容事件，有：,例题：,2、条件概率公式,设A与B是任意两个事件，如果P(B)0，P(A|B)(在事件B发生的条件下，A事件发生的概率)为,特别地：,3、概率的乘法公式,设A与B是任意两个事件，如果P(B)0，由条件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)，,对于A，B，C三个事件：,特别地：(1)如果A与B相互独立(事件A的发生不受事件B的影响，事件B的发生也不受事件A的影响)，,(2)当事件A1,A2,An相互独立，概率的乘法公式可推广到n维,概率乘法公式,例题：,例题：,4、全概率公式,如果事件A1,A2,An满足：(1)A1,A2,An两两互不相容，且P(Ai)0(i=1,2,n)(2)A1+A2+An=即A的全事件对于任一事件B都有：,全概率公式的常用形式：,重要公式,在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或者说该事件的发生受到几种因素的影响，并且这几种原因或因素构成了一个完备事件组，那么可考虑使用全概率公式。只要知道了各种原因Ai发生条件下事件B发生的概率，该事件B的概率就可通过全概率公式求得。,5、贝叶斯公式(逆概率公式),设事件 A1,A2,An为一完备事件，B为任一事件，且P(B)0，则：,证明：,贝叶斯公式所解决的技术问题,贝叶斯公式解决：如果已知各种原因的概率(Aj)，设在随机试验中该事件B已发生，问在这个条件下，各种原因Aj发生的概率是多少?,如在可靠性工程中，已知某产品有n种故障模式A1，A2，An，知道各故障模式发生的概率P(Aj)，现在该产品发生了故障(事件B)，那么是故障模式Ai引起的概率是多少?在这n种故障模式中，最大可能的是哪种故障模式引起的?,例题：,贝叶斯公式,概率运算公式汇总表,2.5 随机变量的概率分布及其数字特征,2.5.1 随机变量的概念,在实际问题中，常用的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种类型：(1)如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的取值是有限个或无限个但可列出来，则称X为离散型随机变量。如掷骰子，出现的点数X是能够一一列出来的(X=1，X=2，X=6)，X是一个离散型随机变量。(2)如果随机变量X的所有可能取值充满某个区间(a,b）。a可以是-，b可以是+，则称X为连续型随机变量。如一批零件的测量直径，规定其偏差不超过1mm，则偏差是一个连续型随机变量。,2.5.2 离散型随机变量的概率分布,1、分布律,对于离散型随机变量X，其概率分布就是指它的概率分布律，简称分布律。离散型随机变量X的一个可能取值，它取该值的概率为pi，则X的分布律可用下式表示：,离散型随机变量X的分布律满足以下两条性质：(1)X的每个取值的概率A非负；(2)X的所有可能取值对应的概率之和为1，即pi=1。,判断离散型随机变量的条件,例题,解：必须满足两个条件:(1)pk 0；(2),2、累积分布函数或分布函数,累积分布函数定义：X取值不大于x的概率为累积分布函数或分布函数，离散型随机变量X的分布函数可表示为：,离散型随机变量的分布函数F(x)具有以下三条性质：(1)F(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数；(2)F(-)=0，F(+)=1;(3)0F(x)1。,例如：,2.5.3 连续型随机变量的概率分布,1、分布密度函数,连续型随机变量的取值充满某个区间(a，b)，可以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为0，即P(X=c)=0，c(a,b)。因此连续型随机变量的概率分布就不能用分布律来描述。实际上，所以我们只有知道X在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规律，所以必须引入分布密度函数的概念。,例题：如何根据试验得出系统分布密度函数,移0.5避免落在边界上,例题：如何根据试验得出系统分布密度函数(续),连续型分布密度函数的性质(判断密度函数的条件),分布密度函数f(x)在任一点xo处的函数值f(xo)不是概率而是分布密度。随机变量X落在一个区间a,b上的概率等于分布密度函数f(x)在该区间上的定积分，即,2、连续型随机变量分布函数,由右图不难得出：,如果x较小,2.5.4 随机变量的数字特征-均值与方差,在可靠性工程中，常用的数字特征为数学期望(平均值)与方差。如平均寿命MTBF就是产品寿命的平均值，寿命方差是产品寿命与平均寿命之间的离差。数学期望反映了随机变量取值的平均值，而方差则反映了随机变量的各个取值与平均值的离散程度。,2、数学期望(均值),设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi(i=1，2，)，如果和xipi存在，则称xipi为X的数学期望，记为E(X)。即:,设X是连续型随机变量，其分布密度为f(x)，(f(x)0)，如果：,离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,2、方差与标准差,设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi(i=1，2，)，则X的方差D(X)为:,设X是连续型随机变量，其分布密度为f(x)，(f(x)0)，则X的方差为：,离散型随机变量的方差与标准差,连续型随机变量的方差与标准差,D(x)的平方为X的标准差或均方差。无论是离散型随机变量或连续型随机变量，计算方差有一个较为简便的公式。,例题,方差计算简易公式,2.6 可靠性中常见的概率分布,2.6.1 二项分布(离散型),二项分布所解决的问题：二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种结果的事件分别用A与 表示，设它们发生的概率分别为P(A)=p，P()=1-p，现在独立地重复做n次试验，那么在n次试验中事件A恰好发生k次的概率是多少?,可靠性中常见的概率分布有：二项分布，泊松分布，指数分布，正态分布，截尾正态分布，对数正态分布和威布尔分布七种，其中二项分布和泊松分布是离散型概率分布，后面五种是连续型概率分布。,例如,如果用X表示在n次重复试验中事件A发生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为0,1,2,n，则随机变量X的分布律为：,随机变量X的取值不大于k次的累积分布函数为：,二项分布的随机变量X的均值和方差为：,二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性和质量控制领域。常用于“有放回”地抽取，进行重复试验(无放回地抽取不是重复试验，如果试验品数目大无放回抽取可近似看成是有放回试验)，如检验一批产品是否合格常用二项分布来计算。,例题,2.6.2 泊松分布(离散型),随机变量X的取值不大于k次的累积分布函数为：,泊松分布随机变量X的均值和方差是：,在可靠性分析中，常用下式,将泊松分布引入与时间的关系，且单位时间产品失效次数为常数。,例题,05次的累积分布函数,习题6,习题7,习题6,解：必须满足两个条件:(1)pk 0；(2),习题7,解：,习题8,习题9,一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，飞机能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮胎爆破。用二项分布求飞机安全着陆的概率。,习题10,某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统故障服从泊松分布，求一年发生5次以上故障的概率。,习题8,解：X的可能取值为F(x)分段点，由分布函数F(x)的表达式可知，X的可能取值为1,2,3；而F(x)是一跳跃函数，X的分布律为：P(X=1)=F(1)-F(0)=0.2-0=0.2P(X=2)=F(2)-F(1)=0.5-0.2=0.3P(X=3)=F(3)-F(2)=1-0.5=0.5,习题9,一架飞机有三个着陆轮胎，如果不多于一个轮胎爆破，飞机能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一个轮胎爆破。用二项分布求飞机安全着陆的概率。,解：,习题10,某一大型网络系统的平均故障是每三个月一次，设系统故障服从泊松分布，求一年发生5次以上故障的概率。,解：=4/年，有：一年发生5次故障的概率是：1-F(5)=1-P(X5)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)=1-e-4-4e-4-42e-4/2-43e-4/3!-44e-4/4!-45e-4/5!=1-0.01832-0.07326-0.14653-0.19537-=1-0.78514=0.21486,2.6.3 指数分布(连续型),(7)特征寿命,指数分布平均寿命与特征寿命相同,双参数分布,特征寿命 t(e-1)=+1/(与平均寿命相同),指数分布曲线与双参数指数分布曲线对比,提出双参数指数分布曲线的目的是考察产品在保证寿命后的可靠性。,平均寿命或特征寿命,例题,2.6.4 正态分布(连续型),实际上就是试验数据的均值，为方差。如果我们对一个系统进行寿命可靠性试验，得出了该系统寿命的和，用上式即可得出系统寿命的分布密度函数。由式：可得出系统寿命的分布函数。,分布密度函数：,分布函数：,根据右图标准正态分布的对称特征，计算中经常用到下列公式：,根据试验结果查表可方便地得出系统可靠度函数,由正态分布变成标准正态分布,在正态分布公式中令z=(t-)/，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量z服从标准正态分布。则：t=+z,必须清楚正态分布的图形及图形位置与的关系。,标准正态分布的图形是一定的。,例题,由标准正态表(z)=0.95反查得z=1.64485Z=(x-)/x=+z,2.6.5 截尾正态分布(连续型,该分布的意义是很多工程实际中t0，不能为负，正态分布t为(-,+)，所以截尾正态分布存在调节参数a。,正态分布,截尾正态分布特征量,例题,工作时间非负采用截尾正态分布,(1)是分布密度函数，是算出来的。,2.6.6 对数正态分布(连续型),注意：、是随机变量的对数的均值和标准差。,注意：、是对数的均值和标准差。,该分布的意义是通过对数变换，可以使较大的数缩小为较小的数，常用于把几个数量级的数据用对数分布去拟合分析。,正态分布,对数正态分布特征量,例题,2.6.7 weibull分布(连续型),指数分布、双参数指数分布和正态分布均可看成是weibull分布的特例。,双参数weibull分布的可靠性特征向量,伽玛函数可以通过查表得出,2.6.7 极值型分布,在结构可靠度分析中，极值随机变量的概率分布及其统计参数特别有用，比如对结构抗力要研究其极小值的概率分布，对于结构荷载则要研究其在设计基准内最大值的概率分布，如结构材料的最小强度值，桥可能承载的最大载荷。,(1)极值型随机变量的确切分布,2.6.7 极值型分布,相互独立,(1)极值型随机变量的确切分布,2.6.7 极值型分布,相互独立,(2)极值型随机变量的渐进分布,2.6.7 极值型分布,a、指数型原始分布极值I型分布 指数型分布的概率密度函数的导数满足条件,(2)极值型随机变量的渐进分布,2.6.7 极值型分布,a、指数型原始分布极值I型分布,极值I型分布的分布函数为：,(2)极值型随机变量的渐进分布,2.6.7 极值型分布,b、哥西型原始分布极值II型分布,(2)极值型随机变量的渐进分布,2.6.7 极值型分布,c、有界型原始分布极值III型分布,(2)极值型随机变量的渐进分布,2.6.7 极值型分布,极值I型、极值II型和极值III型分布的相互转换,设办公楼楼面活载荷的统计参数分别为=38620MPa，=17810MPa。经检验，此活荷载服从极值I型分布，求其分布函数。,例题,常见概率分布的数字特征,习题12,习题11,彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用2小时，5年的可靠度和10年的可靠度各为多少？,习题13,某城市日电能供应服从对数正态分布，=1.2，=0.5，供应量以GWh计算。该城市发电厂最大供电量为9GWh/d。求该城市电力供应不足的概率。,解,习题11,彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用2小时，5年的可靠度和10年的可靠度各为多少？,习题12,解,习题13,某城市日电能供应服从对数正态分布，=1.2，=0.5，供应量以GWh计算。该城市发电厂最大供电量为9GWh/d。求该城市电力供应不足的概率。,随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数 随机变量往往可以用一个或几个数字来描述其分布的性态，这种数字称为随机变量的数字特征(或统计参数)。数字特征虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意义常用的数字特征有期望，方差、标准差、变异系数、偏度系数，峰度系数和矩。,2.7 随机变量的数字特征,1、期望(均值),2.7 随机变量的数字特征,2、方差,2.7 随机变量的数字特征,3、标准差,2.7 随机变量的数字特征,4、变异系数,方差、标准差和变异系数均反应随机变量的离散程度。,5、矩,2.7 随机变量的数字特征,6、偏度系数和峰度系数,2.7 随机变量的数字特征,设随机变量X1、X2、X3相互独立，其中X1在0,6上服从均匀分布，X2服从=0.5的指数分布，X3服从=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)。,例题,设随机变量X服从均值为1，方差为4的正态分布，且Y=1-3X，求E(Y)和D(Y)。,习题14,经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数。,习题15,设随机变量X服从均值为1，方差为4的正态分布，且Y=1-3X，求E(Y)和D(Y)。,习题14,习题15,经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：10.3 15.2 8.4 12.2 18.5 7.8 11.2 13.6 求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数。,第三章 系统可靠性分析,所谓系统，是为了完成某一特定功能，由若干个彼此有联系而且又能相互协调工作的单元所组成的综合体。系统可以是机器、设备、部件和零件；单元也可以是机器、设备、部件和零件。系统和单元的含义是相对而言的，由研究的对象而定。,系统可以分为可修复系统与不可修复系统两类。,3.1 不可修复系统可靠性分析,1、系统可靠性框图,可靠性框图则是表示系统的功能与组成系统的单元之间的可靠性功能关系。建立可靠性框图首先要了解系统中每个单元的功能，各单元之间在可靠性功能上的联系，以及这些单元功能、失效模式对系统的影响。系统的最基本类型为串联系统和并联系统两种类型。如果系统中任何一个单元失效，系统就失效，或者系统中每个单元都正常工作，系统才能完成其规定的功能，那么称这个系统为串联系统。只有当所有的单元都失效，系统才丧失其规定的功能，或者只要有一个单元正常工作，系统就能完成其规定的功能，这种系统称为并联系统。,可靠性框图,使水流出系统属串联系统，使水关闭系统属并联系统。,并串联系统框图,串-并联系统框图,2、串联系统,由n个单元组成的串联系统表示当这n个单元都正常工作时，系统才正常工作，换句话说，当系统任一单元失效时，就引起系统失效。,串联系统任一单元失效时，就引起系统失效，其失效是和事件，串联单元每一个可靠时系统才能可靠，是积事件。串联系统可靠度是组成该系统的各独立单元可靠度的乘积。,串联系统可靠度计算如下,串联系统失效率计算如下：i(t)是第i个单元的失效率,当串联系统由两个单元构成时,失效率为：n,(1)串联系统的可靠度低于该系统的每个单元的可靠度，且随着串联单元数量的增大而迅速降低；(2)串联系统的失效率大于该系统的各单元的失效率；(3)串联系统的各单元寿命服从指数分布，该系统寿命也服从指数分布。串联的单元数越多，系统的可靠度越低。因此，要提高系统的可靠度，必须减少系统中的单元数或提高系统中最低的单元可靠度，即提高系统中薄弱单元的可靠度。,串联系统的特征：,提高系统可靠性方法,3、并联系统,由n个单元组成的并联系统表示当这n个单元都失效时，系统才失效，换句话说，当系统的任一单元正常工作时，系统正常工作。,并联系统所有单元均不可靠时，才会引起系统不可靠，其不可靠是积事件。并联系统不可靠度是组成该系统的各独立单元不可靠度的乘积。,并联系统不可靠度(累积失效概率)计算如下,并联系统可靠度计算如下,(1)并联系统的失效概率低于各单元的失效概率；(2)并联系统的可靠度高于各单元的可靠度；(3)并联系统的平均寿命高于各单元的平均寿命。这说明，通过并联可以提高系统的可靠度；(4)并联系统的各单元服从指数寿命分布，该系统不再服从指数寿命分布。,并联系统的特征,并联与串联对比图,R(t),t,习题16:现有n个相同的元件，其寿命为F(t)=1-e-t，组成并联系统，试求该系统的故障率。,习题17:假设一串联系统由n个MTTF=1000h(指数分布)的相同元件组成，试求当n=1,n=2,n=3,n=5,n=10时，系统的MTTF，并画出元件个数与平均寿命的关系图。,习题16:,现有n个相同的单元，其寿命不可靠度函数为F(t)=1-e-t，组成并联系统，试求系统的故障率。,习题17:假设一串联系统由n个MTTF=1000h(指数分布)的相同元件组成，试求当n=1,n=2,n=3,n=5,n=10时，系统的MTTF，并画出元件个数与平均寿命的关系图。,4、m/n(G)表决系统,n中取m系统是指由n个单元组成的系统中，至少有m个单元正常工作系统才正常工作，记为m/n(G)。为n中取m表决系统。,(1)2/3(G)表决系统,2,2/3表决系统MATLAB模拟分析,2/3表决系统与单个元件可靠度相交的点的时间：,t=ln(0.5)/=13.8629,交点为中位寿命,2/3表决系统模拟分析,t=693.15h后2/3表决系统可靠度开始小于单个元件的可靠度。,可靠性数值模拟,2/3表决系统特征,(1)相同条件下，2/3表决系统的可靠度高于两个或三个单元组成的串联系统，低于两个或三个单元组成的并联系统。(2)相同条件下，2/3表决系统的平均寿命为一个单元的平均寿命的5/6倍，低于一个单元的平均寿命。(3)指数分布的相同元件组成的2/3表决系统与一个单元组成的系统相比：(a)两个系统的中位寿命相同；(b)当可靠水平r小于0.5时，一个单元系统的可靠寿命高于2/3(G)表决系统的可靠寿命；(c)当可靠水平r大于0.5时，2/3(G)表决系统的可靠寿命高于一个单元系统的可靠寿命，且r越接近1，采用2/3(G)系统结构对提高可靠寿命的效果越显著。因此，在对系统可靠水平要求很高的情况下，采用2/3(G)表决系统结构可提高系统的可靠寿命。,(1)m/n(G)表决系统,m/n(G)表决系统与串联和并联系统的关系,m/n(G)表决系统中，如果m=n，则系统变为串联系统，如果m=1则变为并联系统。,m/n(G)表决系统定义：n中取m系统是指由n个单元组成的系统中，至少有m个单元正常工作系统才正常工作，,5、混联系统,由串联系统和并联系统混合而成的系统称为混联系统，最典型的是串-并联系统和并-串联系统。,(1)串-并联系统,串-并联系统的可靠性框图如右图所示，是由一部分单元先串联组成一个子系统，再由这些子系统组成一个并联系统。,当=0.001时,(2)并-串联系统,并-串联系统是由一部分单元先并联组成一些子系统，再由这些子系统组成一个串联系统，如右图。,当=0.001时,在相同的条件下，并串联系统的可靠度高于串并联系统。,串-并,并-串,习题18:试比较下列五个系统的可靠度，设备单元的可靠度相同，均为R0=0.99(1)四个单元构成的串联系统；(2)四个单元构成的并联系统；(3)四中取三储备系统；(4)串-并联系统(N=2，n=2)(5)并-串联系统(N=2，n=2),习题19:系统的可靠性框图如下图所示，R1=R2=0.9，R