空间曲线的切线与弧长(IV).ppt

复习:平面曲线的切线与法线,切线方程,法线方程,5-5 空间曲线的切线与弧长,空间曲线是指区间 到空间 的一个连续映射的像.,曲线的参数方程,曲线的向量表示,若 在 有连续的导函数,则称曲线是光滑曲线.,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.,曲线方程为参数方程的情况,切线方程,即 在 处的切线方程是,是参数,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的切向量.,如个别为0,则理解为分子为 0.,不全为0,因此得法平面方程,例.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解:由于,对应的切向量为,在,故,平面曲线弧长的计算(复习),曲线的参数方程,空间曲线的弧长,则弧微分,弧长,例,任一空间曲线可以看作是二个曲面的交线,因为通过一空间曲线的曲面可以有无穷多个,例如 及 都表示同一空间直线 轴.,故我们可用不同的方法选择其中二个曲面,使其交线是给定的曲线.,空间曲线的一般方程,*投影曲线与投影拄面,设空间曲线C:,消去变量 后得到方程,这是一个母线平行于 轴的拄面,称之为投影拄面,它显然通过空间曲线C,称 为C在 面上的投影(曲线),同理,消去(1)中的 或,可得曲线C在 或 平面 上的投影,或,例 求 在 面上的投影曲线.,解:,先求C投影到 面的投影拄面,即只要从二方程消去,二式相减,得,将它代入原方程组的第一式(或第二式),即得投影拄面方程,于是,所求C在 面上的投影曲线的方程是,在 面上的投影曲线分别是.,