离散线性系统的分析与校正.ppt

,A,B,C,D,沈阳工业大学,连续线性系统的分析与校正方法,离散系统离散化方法与采样定理,离散时间系统的解,离散线性系统的分析与校正方法,沈阳工业大学,采样采样定理,差分方程Z变换,最少拍系统,数字控制系统,概 念,01,02,03,04,05,采样过程,香农采样定理,采样过程的数学描述,采样周期的选取,沈阳工业大学,7.2 信号的采样与保持,信号保持,4,脉冲响应,1 采样过程,理想单位脉冲序列(载波）幅值调制过程,前提条件：脉冲序列从0开始,2 采样过程的数学描述,（1）采样信号的拉式变换,7,（2）采样信号的频谱,s=2/T为采样角频率,Cn是傅氏系数,其值为：,连续信号的频谱为,采样信号的频谱为,h,-h,0,h,-h,0,s,2s,3s,-3s,-2s,-s,s=2h,滤波器的宽度满足什么,条件时能从,得到,?!,s 2h,或：,T/h,3 香农采样定理,最低采样频率，最大采样周期,4 采样周期的选取,5 信号保持,11,（2）零阶保持器,T=0.4,T=0.8,T=0.2,T=3,零阶保持器特性1）低通特性2）相角滞后特性3）时间滞后特性,7-3 Z变换理论,1.Z变换定义2.Z变换方法 1）级数求和法 2）部分分式法3.Z变换的性质4.Z反变换 1）部分分式法 2）幂级数法 3）反演积分法,1、z变换定义及符号表示,双边z变换,z反变换,物理意义：将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合,C为F(z)的收敛域(ROC)中的一闭合曲线,正变换：X(z)=Zxk,反变换：xk=Z-1X(z),或,符号表示,单边z变换及其收敛域,单边z变换,收敛域(ROC),使上式级数收敛的所有z的范围称为X(z)的收敛域,一般右边序列的收敛域为z平面中的一圆外区域,z平面,|z|=1单位圆,例：求以下序列的Z变换及收敛域。,解：,(1),(2),有限长序列z变换的收敛域为|z|0,常用单边序列的z变换,3、单边z变换的主要性质,1.线性特性,3、单边z变换的主要性质,2.位移特性,因果序列的位移,非因果序列的位移,xk-n uk-n z-nX(z)|z|Rx,|z|Rx,|z|Rx,3、单边z变换的主要性质,2.位移特性,证明,依此类推 可证上式成立,例：求RNk=uk-uk-N的z变换及收敛域,解：,利用因果序列的位移特性和线性特性，可得,由于RNk为有限长序列，故其收敛域为,|z|0,ROC扩大,线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大,例：求以下周期序列的单边z变换。,(1),(2),若计算出x1k的z变换X1(z)，利用因果序列的位移特性和线性特性，则可求得其单边周期序列的z变换为,分析：周期为N的单边周期序列xNkuk可以表示为第一个周期序列x1k及其位移x1k-lN的线性组合，即,解：,例：求以下周期序列的单边z变换。,(1),(2),(1)xk可表示为,利用k的Z变换及因果序列的位移特性，可得,(2)将yk改写为,由(1)题的结果及卷积特性，可得,3、单边z变换的主要性质,3.指数加权特性,例：求aksin(W0k)uk 的z变换及收敛域,解：,利用z变换的指数加权特性，可得,3、单边z变换的主要性质,4.z域微分特性,例：求xk=(k+1)akuk的z变换及收敛域,解：,利用z域微分特性，可得,利用z变换的线性特性，可得,3、单边z变换的主要性质,5.序列卷积,ROC 包含Rx1Rx2,例：求,解：,利用z变换的卷积特性，以及,可得,设,3、单边z变换的主要性质,6.初值与终值定理,若(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，则,例：已知X(z)=1/(1-a z-1)|z|a|求x0，x1和 x。,解：,根据位移特性有,对上式应用初值定理，即得,当|a|1时，(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终值定理，有,4、单边z反变换,C为X(z)的ROC中的一闭合曲线。,计算方法：幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法,4、单边z反变换,部分分式法,1.mn，分母多项式无重根,各部分分式的系数为,4、单边z反变换,部分分式法,2.mn，分母多项式在z=u处有l阶重极点,4、单边z反变换,部分分式法,3.mn,按(1)(2)情况展开,多项式,解：,将X(z)化为z的负幂，可得,将X(z)进行z反变换，可得,解：,m=n，由多项式除法可得,G(z),解：,所以,进行z反变换，得,解：,X(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开,可以直接利用,解：,由指数加权性质,解：,A=4/3,B=-2/3,C=-1/3;,例：求xk。,B,C用待定系数法求,4、单边z反变换,留数法,若X(z)z k-1在z=pi处有一阶极点，则该极点的留数为,若X(z)z k-1在z=p处有一阶极点，则该极点的留数为,离散时间信号的z域分析小结,1)z变换与拉普拉斯变换的关系。2)双、单边z变换的定义与适用范围：双边适用于离散系统综合设计 单边大多用于离散系统的分析3)z域分析与其他域分析方法相同，z变换的性质类似于其他变换。,01,02,03,04,05,离散系统的数学定义,脉冲传递函数,线性系统差分方程及其解法,开环系统脉冲传递函数,沈阳工业大学,7.4 离散系统的数学模型,闭环系统传递函数,06,Z变换法的局限性,1.离散系统的数学模型,离散系统的数学定义线性定常离散系统,线性时不变系统的描述及特点,连续时间系统用N阶常系数微分方程描述,ai、bj为常数。,离散时间系统用N阶常系数差分方程描述,ai、bj为常数。,线性时不变系统的描述,线性时不变系统的描述及特点,线性时不变系统的特点,LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有:,1）微分特性与差分特性：,若 T x(t)=y(t),则,若 Txk=yk,则 T xk-xk-1=yk-yk-1,2）积分特性与求和特性：,若 T x(t)=y(t),则,若 Txk=yk,则,离散信号的数学运算1）翻转 xk x-k,将 xk 以纵轴为中心作180度翻转,xk-n表示将xk右移n个单位。,xk+n表示将xk左移n个单位。,2)位移 xk xkn,n0,3)尺度变换,抽取(Decimation)M,在原序列中每隔M-1点抽取一点,xkxMk M为正整数,3)尺度变换,内插(Interpolation)L,在序列2点之间插入L-1个点,3)尺度变换,原信号x,2倍抽取后信号x1,M=2;x,Fs,bits=wavread(myheart);x1=x(1:M:end);%Fs=44,100 Hz,4倍抽取后信号x1,3)尺度变换,原信号x,8倍抽取后信号x1,M=8;x,Fs,bits=wavread(我的祖国);x1=x(1:M:end);%Fs=22,050 Hz,4倍抽取后信号x1,4)序列相加,指将若干离散序列序号相同的数值相加,5)序列相乘,指若干离散序列序号相同的数值相乘,6).求和,单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示,7)差分,一阶后向差分,二阶后向差分,一阶前向差分,二阶前向差分,N阶后向差分,N阶前向差分,单位脉冲序列可用单位阶跃序列的差分表示,2.线性常系数差分方程及其解法,迭代法Z变换法,离散时间LTI系统的响应,迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应卷积法求系统响应 零输入响应求解 零状态响应求解Z变换法,离散时间LTI系统的响应,离散时间LTI系统 的数学模型为,2.经典时域分析方法:,求解差分方程,3.卷积法:,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,求解齐次差分方程得到零输入响应,利用卷积和可求出零状态响应,系统响应求解方法:,1.迭代法:,一、迭代法,已知 n 个初始状态 y-1,y-2,y-2,y-n 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。,例 一阶线性常系数差分方程yk-0.5yk-1=uk,y-1=1，用迭代法求解差分方程。,解：将差分方程写成,代入初始状态，可求得,依此类推,缺点：很难得到闭合形式的解。,二、经典时域分析方法,差分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yhk和特解ypk组成:,齐次解yhk的形式由齐次方程的特征根确定,特解ypk的形式由方程右边激励信号的形式确定,二、经典时域分析方法,(1)特征根是不等实根 r1,r2,rn,(2)特征根是等实根 r1=r2=rn,(3)特征根是成对共轭复根,齐次解的形式,二、经典时域分析方法,常用激励信号对应的特解形式,ak(a不是特征根),ak(a是特征根),例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2=x k 初始条件y0=0，y1=-1，输入信号 xk=2k uk，求系统的完全响应yk。,特征根为,齐次解yhk,解：(1)求齐次方程yk-5yk-1+6yk-2=0的齐次解yhk,特征方程为,解：,(2)求非齐次方程yk-5yk-1+6yk-2=xk的特解ypk,由输入xk的形式，设方程的特解为,将特解带入原差分方程即可求得常数A=-2。,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2=xk 初始条件y0=0，y1=-1，输入信号 xk=2k uk，求系统的完全响应yk。,解：,(3)求方程的全解，即系统的完全响应yk,解得 C1=-1，C2=1,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2=xk 初始条件y0=0，y1=-1，输入信号 xk=2k uk，求系统的完全响应yk。,讨论,1)若初始条件不变，输入信号 xk=sin0 k uk，则系统的完全响应yk=？,2)若输入信号不变，初始条件y0=1,y1=1,则系统的完全响应yk=？,经典法不足之处,若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,三、卷积法,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始状态确定待定系数。,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk+3yk-1+2yk-2=xk 系统的初始状态为y-1=0，y-2=1/2，求系统的零输入响应yzik。,解：系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1=1，C2=-2,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk+4yk-1+4yk-2=xk 系统的初始状态为y-1=0，y-2=1/2，求系统的零输入响应yzik。,解：系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,解得 C1=4,C2=4,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk-0.5yk-1+yk-2-0.5yk-3=xk 系统的初始状态为y-1=2，y-2=-1，y-3=8，求系统的零输入响应yzik。,解：系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1=1，C2=0，C5=5,三、卷积法,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,求解系统的零状态响应yzsk方法：1)直接求解初始状态为零的差分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励xk产生的响应称为系统的零状态响应，用yzsk表示。,2.系统的零状态响应,卷积法求解系统零状态响应yzs k的思路,1)将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合2)求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 单位脉冲响应3)利用线性时不变系统的特性，即可求出任意序列xk激励下系统的零状态响应yzsk。,卷积法求解系统零状态响应yzs k推导,由时不变特性,由均匀特性,由叠加特性,Z变换法：二阶系统响应的z域求解,对差分方程两边做z变换，利用,初始状态为y-1,y-2,二阶系统响应的z域求解,Yzi(z),Yzs(z),解：,例：某离散LTI系统满足 yk-4yk-1+4yk-2=4xk已知y-1=0，y-2=2，xk=(-3)k uk，由z域求yzi k、yzs k、yk。,Y(z)-4z-1Y(z)-y-1+4z-2Y(z)+z-1y-1+y-2=4X(z),Yzi(z),Yzs(z),将差分方程两边进行单边z变换得,求解此代数方程可得系统完全响应的z域表示式,解：,yzsk=Z-1Yzs(z)=1.6(k+1)(2)k+0.96(2)k+1.44(-3)kuk,yk=yzik+yzsk,例：某离散LTI系统满足 yk-4yk-1+4yk-2=4xk已知y-1=0，y-2=2，xk=(-3)k uk，由z域求yzi k、yzs k、yk。,=-6.4k(2)k-5.44(2)k+1.44(-3)k,k0,解：,令k=k-2,例：已知一LTI离散系统满足差分方程,由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响z应,对差分方程两边做z变换,解：,例：已知一LTI离散系统满足差分方程,由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应,零输入响应为,解：,例：已知一LTI离散系统满足差分方程,由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应,零状态响应为,脉冲传递函数或系统函数H(z)与系统特性,系统函数H(z)系统函数的定义 H(z)与hk的关系 z域求零状态响应 求H(z)的方法 零极点与时域特性 离散系统的稳定性,一、系统函数（脉冲传递函数）,1.定义,系统在零状态条件下，输出的z变换式与输入的z变换式之比，记为H(z)。,一、系统函数,2.H(z)与hk的关系,k,yzs k=k*hk,一、系统函数,3.求零状态响应,xk,yzs k=xk*hk,X(z),Yzs(z)=X(z)H(z),一、系统函数,4.求H(z)的方法,由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Zhk,由系统的差分方程写出H(z),由定义式,解：,例：求单位延时器yk=xk-1的系统函数H(z)。,利用z变换的位移特性，有,根据系统憨数的定义，可得,即单位延时器的系统函数H(z)为z-1。,解：,例：一LTI离散系统，其初始状态为y-1=8，y-2=2,当输入xk=(0.5)kuk时，输出响应为 yk=4(0.5)kuk-0.5k(0.5)k-1 uk-1-(-0.5)kuk 求系统函数H(z)。,解：,例：一LTI离散系统，其初始状态为y-1=8，y-2=2,当输入xk=(0.5)kuk时，输出响应为 yk=4(0.5)kuk-0.5k(0.5)k-1 uk-1-(-0.5)kuk 求系统函数H(z)。,对于初始状态为y-1=8,y-2=2的一般二阶系统,H(z),二、系统函数的零极点分布,系统函数可以表达为零极点增益形式，即,D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。,N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。,例如,三、零极点与时域特性,系统的时域特性主要取绝于系统的极点,由系统函数H(z)的零极点分布，可将H(z)展开成部分分式，对每个部分分式取z反变换可得hk。,如H(z)为单极点时，有,三、零极点与时域特性,离散系统H(z)与hk关系,四、离散系统的稳定性,定理：离散LTI系统稳定的充要条件是,H(z)的收敛域包含单位圆则系统稳定。因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定。,由H(z)判断系统的稳定性：,解：,例：试判断下面因果LTI离散系统的稳定性,该因果系统的收敛域为|z|1.5,收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。,从收敛域看,系统的极点为z1=0.5,z2=1.5,极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。,从极点看,解：,例 一因果离散系统如图所示，求 a)H(z)b)系统稳定时k的范围。,系统稳定,五、零极点与系统频率响应,由于系统稳定时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此系统的频率响应H(ejW)可由H(z)求出。,用z平面pi和zj点指向单位圆上ejW点的向量表示,解：,例：已知某因果离散LTI系统的系统函数,试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。,当W=0时,当W=p时,当0Wp时，D随着的增大而增大，N随着的增大而减小，,因此,解：,例：已知某因果离散LTI系统的系统函数,试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。,离散系统的模拟,系统的基本联接 系统的级联 系统的并联 反馈环路离散系统的模拟框图 直接型结构 级联型结构 并联型结构,一、系统的基本联接,1.系统的级联,一、系统的基本联接,2.系统的并联,一、系统的基本联接,3.反馈环路,二、离散系统的模拟框图,1.直接型结构,设差分方程中的 m=n，即,H1(z),H2(z),二、离散系统的模拟框图,1.直接型结构,系统可以看成两个子系统的级联,描述这两个系统的差分方程为,二、离散系统的模拟框图,1.直接型结构,时域框图,二、离散系统的模拟框图,1.直接型结构,z域框图,二、离散系统的模拟框图,2.级联型结构,H(z)=H1(z)H2(z).Hn(z),将系统函数分解为一阶或二阶相乘的形式，即,画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统级联。,二、离散系统的模拟框图,3.并联型结构,H(z)=H1(z)+H2(z)+.+Hn(z),将系统函数分解为一阶或二阶相加的形式，即,画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统并联。,解：,例：,已知 试作其直接形式，并联形式及级联形式的模拟框图。,1）直接型,解：,例：,已知 试作其直接形式，并联形式及级联形式的模拟框图。,2）并联型,解：,例：,已知 试作其直接形式，并联形式及级联形式的模拟框图。,3）级联型,118,4 开环系统的脉冲传递函数：采样拉氏变换的两个重要性质,1）采样函数的拉氏变换具有周期性,G*(s)=G*(s+jns),E*(s)G1(s)G2(s)*=E*(s)G1(s)G2(s)*,2）离散信号可从离散符号中提出来,设G1(s)G2(s)=G(s)，,则有：,E*(s)G(s)*=,E*(s)与无关，,=E*(s)G(s)*,所以有：,