离散系统Z域分析.ppt
1,第8章 离散系统的Z域分析,学习重点：,学习方法：,与连续系统的变换域分析对照着学习,Z变换的定义及其重要性质；逆Z变换的求解；系统函数H(z)及Z域模拟；线性离散系统的Z域分析法。,8.1 Z变换,8.1.1 Z变换的定义,1、离散信号的Z变换定义,序列f(n)的双边Z变换：,序列f(n)的单边Z变换：,8.1.1 Z变换的定义,1、离散信号的Z变换定义,序列f(n)的单边Z变换：,F(z):称为f(n)的单边Z变换(象函数)f(n):称为F(z)的逆Z变换(原函数)复变量,Z变换对可表示为F(z)=Zf(n)f(n)=Z-1F(z)或简记为 f(n)F(z),8.1.1 Z变换的定义,2、Z变换的由来从拉式变换推演出Z变换,设有连续信号f(t),若以冲激序列对其进行取样,则取样信号,8.1.1 Z变换的定义,2、Z变换的由来从拉式变换推演出Z变换,对fs(t)取拉式变换可得,令复变量，T=1，则有,8.1.1 Z变换的定义,2、Z变换的由来从拉式变换推演出Z变换,*F(z)的逆变换,围线C在F(z)的收敛域内，且包围着坐标原点。,8.1.1 Z变换的定义,3、收敛域对于给定的任意有界序列f(n)，使得级数F(z)收敛的所有z值的集合称为z变换的收敛域。,仅当该幂级数收敛，即,时，序列f(n)的z变换才有意义。该式称为绝对可和条件，为z变换存在的充要条件。,8.1.1 Z变换的定义,解：,例 求因果序列 的z变换（式中a为常数）。,收敛域,8.1.2 典型序列的Z变换,1、单位序列,2、阶跃序列,3、指数序列,8.2 Z反变换,8.2.1 幂级数展开法（长除法）,原理：是z-1的幂级数 当已知F(z)时，可直接把F(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列f(n)。,例8-1 已知象函数，求原序列f(n)。,8.2 Z反变换,8.2.2 部分分式展开法,式中通常mn,的分母多项式D(z)=0的根称为F(z)的极点。,8.2 Z反变换,8.2.2 部分分式展开法 已知F(z)后，应先对 展开部分分式。（1）F(z)仅有n个一阶单极点，则可展开为,系数,故,反变换,例8-3,则,则可展开为,各系数,（2）F(z)仅含重极点,(n=1，2，m),注意：除了对 展开分式外，方法与拉氏变换一样。,8.3 Z变换的主要性质,8.3.1 线性性质,a1、a2为任意常数,8.3 Z变换的主要性质,8.3.1 线性性质,例8-5 求序列f(n)=cosn的Z变换，式中，为数字角频率。,解：由欧拉公式,根据线性性质有,8.3.2 移位性质（延迟特性）,1、若f(n)为双边序列，则,举例,2、若f(n)为单边序列（因果序列），则,举例,右移序列,8.3.2 移位性质（延迟特性）,例8-6 已知因果序列之，求 的Z变换。,解：由延迟特性有,2、若f(n)为单边序列（因果序列），则,左移序列,证明:,8.3.3 序列乘an(Z域尺度变换),例8-7 已知，则,8.3.4 卷和定理,证明：,8.3.4 卷和定理,应用于系统分析：,举例,思想：,8.4.1 差分方程的Z变换解,8.4 离散系统的Z域分析,图1,运用Z变换方法可对LTI离散系统的时域模型简便地进行变换。,经求解再还原为时间函数。,解：,第一步：对差分方程两边取单边Z变换,例8-9 设有二阶离散系统的差分方程为,若系统的起始状态：，求y(n)。,移位特性,将初始条件y(-1)=-1，y(-2)=1代入上式可得,第二步：解Z域方程,由,整理得,整理得,将YZI(z)和YZS(z)分别进行部分分式展开,第二步：解Z域方程,同理可得 YZS(z),第二步：解Z域方程,第三步：反变换得时域响应,由象函数,反变换得,完全响应为,例8-10 设一数字处理系统的差分方程为,试求 时的阶跃响应s(n)和单位响应h(n)。,解：阶跃响应系统在零状态条件下，由单位阶跃序列 产生的响应。,对于 有,起始状态,第一步：对差分方程两边取单边Z变换,例8-10 设一数字处理系统的差分方程为,试求 时的阶跃响应s(n)和单位响应h(n)。,解：,整理得,第二步：解Z域方程,将 代入上式整理得,例8-10 设一数字处理系统的差分方程为,试求 时的阶跃响应s(n)和单位响应h(n)。,解：,由,第三步：反变换得时域响应,反变换得,又由,故,单入单出LTI离散系统的数学模型N阶常系数线性差分方程,对差分方程两边取Z变换，可得,8.4.2 系统函数H(z),系统函数H(z)定义为零状态响应的象函数与激励的象函数之比，即,1、系统函数的定义,8.4.2 系统函数H(z),即有如下关系：,2、时域分析与Z域分析对应关系,H(z)是Z域分析的纽带，反映系统本身的属性，与系统的起始状态无关。,求解系统函数H(z)的方法：（1）由零状态下的系统模型求得；（2）由系统的冲激响应h(n)取Z变换求得。,8.4.2 系统函数H(z),例8-11 如图所示一阶离散系统，试用Z域分析法求单位响应h(n)和阶跃响应s(n)。并画出它们的波形图。,解：由左图可列差分方程,对差分方程两边取Z变换，得,系统函数,例8-11 如图所示一阶离散系统，试用Z域分析法求单位响应h(n)和阶跃响应s(n)。并画出它们的波形图。,解：当 时，有,反变换得,思考：还有什么方法可以求得阶跃响应？,例8-11 如图所示一阶离散系统，试用Z域分析法求单位响应h(n)和阶跃响应s(n)。并画出它们的波形图。,解：由单位响应及阶跃响应的表达式可画出它们的波形图。,例8-11 如图所示一阶离散系统，试用Z域分析法求单位响应h(n)和阶跃响应s(n)。并画出它们的波形图。,解：由单位响应及阶跃响应的表达式可画出它们的波形图。,例8-12 设有二阶数据控制系统的差分方程为,(a)求系统函数H(z);(b)求单位响应h(n);(c)若激励f(n)=0.4n(n)，求其零状态响应。,解：(a)求H(z),在零状态下对方程取Z变换,例8-12 设有二阶数据控制系统的差分方程为,解：(b)求h(n),例8-12 设有二阶数据控制系统的差分方程为,解：(b)求h(n),反变换得,例8-12 设有二阶数据控制系统的差分方程为,解：(c)若激励f(n)=0.4n(n)，求其零状态响应。,当f(n)=0.4n(n)时，有,由卷和定理得,例8-12 设有二阶数据控制系统的差分方程为,解：(c)若激励f(n)=0.4n(n)，求其零状态响应。,8.4.3 离散系统的Z域模拟,(a)数乘器（标量乘法器）,1、基本运算单元的z域模型：,(b)加法器,8.4.3 离散系统的Z域模拟,(c)延迟单元,1、基本运算单元的z域模型：,(1)直接形式1,2、系统的z域模拟：,8.4.3 离散系统的Z域模拟,由上式可得该系统的z域模拟框图,2、系统的z域模拟：,8.4.3 离散系统的Z域模拟,(2)直接形式2(以二阶离散系统为例),2、系统的z域模拟：,8.4.3 离散系统的Z域模拟,H(z)的分子多项式对应图中的前向支路（指向输出）,H(z)的分母多项式对应图中的反馈支路,(2)直接形式2(以二阶离散系统为例),由(1)、(2)式可得该系统的z域模拟框图,系统的z域模拟框图,信号流图用一些点和线段来描述系统。,3、举例（二阶系统）,在零状态下，有,改写为,4、应用数字处理系统的硬件实现，可由上述思想构成。,一、H(z)的零、极点的概念,8.5 系统的零、极点与稳定性,零点：H(z)分子多项式N(z)=0的根，1，2，m极点：H(z)分母多项式D(z)=0的根，z1，z2，zn,举例：h(n)=1H(z),二、H(z)的零、极点分布与h(n)的关系,8.5 系统的零、极点与稳定性,H(z)的极点决定h(n)的波形特征，零点只影响h(n)的幅度与相位。,例8-13 设有,单位响应具有怎样的变换模式？,解：,H(z)的极点,解得,例8-13 设有,单位响应具有怎样的变换模式？,解：,1、S平面与Z平面的映射关系：,（1）S平面的虚轴映射到Z平面是单位圆；（2）S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内；（3）S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外；（4）z=rej是以2为周期的周期函数，s平面上沿虚轴移动（变化），对应于z平面上沿单位圆旋转。,结论：单位圆上的实极点，h(n)对应为阶跃序列；单位圆内的实极点，h(n)对应为指数衰减序列；单位圆内的共轭极点，h(n)对应为衰减振荡序列；单位圆上的共轭极点，h(n)对应为正弦振荡序列；单位圆外的极点，h(n)对应为增长序列。,2、H(z)的极点分布与时域特性,2、H(z)的极点分布与时域特性,8.5.2 离散系统的稳定性,1、Z变换与拉式变换的关系,令复变量，T=1，则有,8.5.2 离散系统的稳定性,1、Z变换与拉式变换的关系,取样,(1)稳定的概念,稳定系统一个系统如果对任意有界输入序列，其输出序列也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统，简称为稳定系统。因果LTI离散系统是稳定系统的充要条件是：,2、离散系统的稳定性,2、离散系统的稳定性,(2)H(z)的极点与系统稳定性的对应关系稳定：充要条件为，即H(z)的所有极点位于单位圆内。临界稳定：H(z)的一阶极点位于单位圆上，单位圆外无极点。不稳定：H(z)有极点位于单位圆外，或在单位圆上有重极点。,离散系统的频率特性,8.5 数字信号处理（自学）,对于稳定的离散系统，其频率特性,幅频 相频,特点：H(ejT)是周期函数。因ejT是以2为周期的函数。令T=，则频率特性可表示为,则频率特性,例 设,当=0.5时幅频特性：,相频特性：,见图1。,图1=T,则,例 数字系统的选频作用。设,若输入信号频率f=5Hz，采样频率fs=250Hz，,若有干扰信号频率 f=50Hz，则，则对干扰而言,例 设（1）画出零极点图；（2）求系统响应；（3）求系统的幅频特性和相频特性。,图2为MATLAB方法求解的结果。,数字滤波器,原理：由H(z)确定系统。IIR：无限脉冲响应滤波器。FIR：有限脉冲响应滤波器。实现方法：递归实现形式和非递归实现形式。,图3,图4 模拟滤波器的数字滤波实现,数字信号处理（DSP）,(a)数字信号处理框图,(b)多路数字处理系统,应用：数字滤波 离散傅里叶变换快速傅里叶变换,
