确定信号的频谱分析.ppt

第二章、确定信号的频谱分析,本章学习要求：,1.了解信号分类方法 2.掌握信号频域分析方法,机械工程测试技术与信号分析,信号传递某个实际系统状态或行为信息的一种物理现象或过程。其基本表现形式是变化着的电压或电流。,信息人类社会、自然界一切事物运动与状态的特征，是提供判断或决策的一种资料。,关系：信号是信息的实际载体；信息则是信号经过处理之后的有用部分。即：脱离信息的信号是毫无实际意义的。,机械工程测试技术与信号分析的基本内容:,在噪声背景下提取有用信息。,第二章、信号分析基础,2.1 信号的分类,信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。,信号波形：被测信号的信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。,2.1 信号的分类,信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。,为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为：,2.1 信号的分类,5 从可实现性-物理可实现信号与物理不可实现信号。,2.1 信号的分类,2.1 信号的分类,1 确定性信号与非确定性信号,可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。,2.1 信号的分类,周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号x(t)=x(t+nT),简单周期信号,复杂周期信号,例：单自由度振动系统作无阻尼自有振动位移：,x0,0 初始条件常数m 质量K 弹簧刚度,1、最简单最常用的周期信号是正弦信号。2、复杂的周期信号是由频率比为有理数的不同频率的正弦信号迭加而成.,其频率的比为有理数，所以，是周期函数，周期的确定根据各周期值的最小公倍数来确定。,2.1 信号的分类,b)非周期信号：不会重复出现的信号。,瞬态信号:持续时间有限的信号，如 x(t)=e-Bt.Asin(2ft),例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sint,解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其周期为：T1=2/2=cos3t是周期信号，其周期为：T2=2/3 由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2。（2）cos2t 和sint的周期分别为T1=，T2=2，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。,2.1 信号的分类,2.1 信号的分类,c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。,噪声信号(平稳),2.1 信号的分类,2 能量信号与功率信号,a)能量信号 在所分析的区间（-，），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：,一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。,2.1 信号的分类,b)功率信号 在所分析的区间（-，），能量不是有限值此时，研究信号的平均功率更为合适。,一般持续时间无限的信号都属于功率信号:,2.1 信号的分类,3 时限与频限信号,a)时域有限信号在时间段(t1，t2)内有定义，其外恒等于零,b)频域有限信号在频率区间(f1，f2)内有定义，其外恒等于零,2.1 信号的分类,a)连续时间信号:在所有时间点上有定义,b)离散时间信号:在若干时间点上有定义,4 模拟信号与数字信号,模拟信号:时间和幅值均为连续的信号,数字信号:幅值可以是连续的，也可以是离散的。,采样信号:时间为离散的而幅值取连续值,2.1 信号的分类,5 物理可实现信号与物理不可实现信号,物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件：t0时，x(t)=0，即在时刻小于零的一侧全为零。,2.1 信号的分类,b)物理不可实现信号：在事件发生前(t0)就预制知信号。,2.2 周期信号的频域分析,第2章、信号分析基础,信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。,一、信号的时域描述和频域描述,时域描述 测量中以时间为独立变量，一般能反映信号的幅值随时间变化的状态，不能明确揭示信号的频率组成成分。t 横坐标；An 纵坐标；,2.2 周期信号的频域分析,频域描述测量中以频率为独立变量，可表述信号的频率结构、各频率成分的幅值和相位关系。幅频谱 横坐标；An 纵坐标相位谱 横坐标；n 纵坐标,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,2.2 周期信号的频域分析,时域描述,频域描述,2.2 周期信号的频域分析,信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,时域分析与频域分析的关系,2.2 周期信号的频域分析,频谱分析的应用,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。,案例：在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。,二、周期信号,周期为T的周期函数可以用一系列以T为周期的正弦函数所组成的级数来表示：,物理意义：用不同频率的简谐振动的叠加表示一个较复杂的周期运动。,2.2 周期信号的频域分析,方波信号的合成与分解,2.2 周期信号的频域分析,手机和弦铃声的合成:,2.2 周期信号的频域分析,三、傅里叶级数,满足狄里克雷条件的周期信号，可在一个周期T内用正弦函数和余弦函数表示成傅里叶级数形式：,2.2 周期信号的频域分析,傅里叶级数也可表示为以下三角表示式：,可见：周期信号是一个或几个，乃至无穷多个不同频率的谐波迭加而成。,2.2 周期信号的频域分析,频谱图的概念,工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn(0)为横坐标，bn、an为纵坐标画图，称为实频虚频谱图；以fn为横坐标，An、为纵坐标画图，则称为幅值相位谱；以fn为横坐标，为纵坐标画图，则称为功率谱。,图例,2.2 周期信号的频域分析,例：求周期性三角波信号的Fourier级数,2.2 周期信号的频域分析,三角波信号在一个周期中可表示为：,2.2 周期信号的频域分析,三角波信号的傅里叶级数展开式表示为：,2.2 周期信号的频域分析,例子：方波信号的频谱展开,2.2 周期信号的频域分析,求Fourier级数的一般步骤：1）写出波形在一个周期内的表达式；2）求常值分量a0；3）判断函数的奇偶性，求an,bn；4）求x(t)，作频谱图。,2.2 周期信号的频域分析,例子：求下图波形的频谱,2.2 周期信号的频域分析,四、周期信号的复指数函数表示,欧拉公式,2.2 周期信号的频域分析,一般情况，cn 是个复数。即,负频率的说明:,n可取正、负值。当n为负值时，谐波频率nw0为“负频率”，即相应的角速度按反方向旋转。而一个向量的实部可以看成是两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，虚部则为其在虚轴上投影之差。,2.2 周期信号的频域分析,周期性信号的Fourier级数表示形式：,三角函数展开式：,复指数函数展开式：,例：正弦、余弦函数的频谱图表示,2.2 周期信号的频域分析,三角函数表示形式的频谱,复指数函数表示形式的频谱,傅里叶级数两种表示形式的频谱图的比较,三角函数表示形式的频谱,复指数函数表示形式的频谱,单边谱（0，）,双边谱（，）,离散谱，分布规律一致,双边幅频谱为偶函数双边相频谱为奇函数,2.2 周期信号的频域分析,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；Cn 是实函数，Fn 一般是复函数，当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正负表示0和相位，幅度谱和相位谱合一；,周期复指数信号的频谱图的特点,五、周期信号的频谱特点,离散性：谱线是离散的而非连续的；谐波性：谱线只发生在基频0的整数倍频上；收敛性：高次谐波的幅值具有随n的增加而衰减的趋势；,2.2 周期信号的频域分析,2.3 非周期信号的频域分析,瞬态信号:持续时间有限的信号，如 x(t)=e-Bt sin(2ft),1、傅里叶变换,设周期为T0的函数x(t),使其在 区间内等于x(t),而在 区间外，按周期T0延拓。当，周期信号趋近于原非周期信号。,2.3 非周期信号的频域分析,一、傅里叶变换及非周期信号的频谱,傅里叶变换,傅里叶反变换,简记：X(f)=F x(t)称频谱函数；,或记为：,x(t)=X(f)称为原函数。,2、非周期信号的频谱,2.3 非周期信号的频域分析,解：,幅值谱：,相位谱：,2.3 非周期信号的频域分析,定义：为采样函数。,2.3 非周期信号的频域分析,0,1,矩形窗函数,f,t,非周期信号的频谱特点：,非周期信号是由无数正弦波叠加而成，其频谱是连续的；非周期信号幅值谱的幅值量纲是单位频率宽度上的幅值；,频谱密度函数,基本信号的傅里叶变换,二十一个常用信号的傅里叶变换,所有信号的傅里叶变换,利用傅里叶变换的性质,利用已知信号推广,求信号的傅里叶变换是一个难点,是进入变换域分析的第一个积分变换!,二、傅里叶变换的性质,1、线性叠加性,2.3 非周期信号的频域分析,线性叠加性质说明相加信号的频谱等于各个单独信号频谱之和。,求 的频谱,2、对称性质,2.3 非周期信号的频域分析,当x(t)为偶函数时，X(-f)=X(f)；x(t)的频谱为X(f)时，形状为X(t)的波形，其频谱必为x(f),3、时移性质,2.3 非周期信号的频域分析,相移,时移性质表明：信号时移后，幅值谱不变，相位谱中的相角改变量与频率成正比。,4、频移性质,2.3 非周期信号的频域分析,频移性质表明：原信号乘以指数因子 后，波形发生改变，频域中谱线沿频率轴移动一个f0，即频谱“搬移”了。,2.3 非周期信号的频域分析,2.3 非周期信号的频域分析,5、卷积定理,2.3 非周期信号的频域分析,卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域频域的一个桥梁。,卷积定理：,2.3 非周期信号的频域分析,2.3 非周期信号的频域分析,时域卷积运算,频域相乘运算,2.3 非周期信号的频域分析,时域相乘运算,频域卷积运算,四、典型信号的傅里叶变换,（1）函数定义 在时间内激发一个矩形脉冲（或三角形、双边指数脉冲），其面积为1。当0，的极限称为函数。,1、单位脉冲函数,2.3 非周期信号的频域分析,（2）函数的抽样性质,函数与某一连续函数x(t)相乘，其乘积仅在t=0处为x(0),其余各点的乘积为0。,同理:(t-t0)函数与x(t)相乘，其乘积仅在t=t0处为x(t0),其余各点的乘积为0。,2.3 非周期信号的频域分析,函数的抽样性质应用a)如果只关心x(t)中某一点，则利用(t)乘x(t)，把该点取出来。b)如果想将某一连续模拟量数字量化，则可乘以一系 列(t)，即一系列单位脉冲，使连续信号离散化。,2.3 非周期信号的频域分析,（3）函数的卷积特性,2.3 非周期信号的频域分析,（4）函数的频谱,幅值谱,2.3 非周期信号的频域分析,白噪声,上述表明：时域内一个作用时间极短，幅值无穷大的脉冲信号，在频域中包含了从0+的等频率成分。,例：求直流信号的频谱：,根据傅里叶变换的对称性：,2 正、余弦函数,2.3 非周期信号的频域分析,3 周期单位脉冲序列,设周期单位脉冲序列为：,2.3 非周期信号的频域分析,1,周期脉冲序列,周期：T,脉冲强度：1,周期：1/T,脉冲强度：1/T,2.4 离散傅里叶变换,第二章、周期信号的频域分析,离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。,周期信号xT(t)的傅里叶变换：,对周期信号xT(t)采样，将离散序列xT(n),将积分转为集合：,按傅里傅立叶公式，用计算机编程很容易计算出指定频率点的值。,2.4 离散傅里叶变换,采样信号频谱是一个连续频谱，不可能计算出所有频率点值，X(f)只能离散取值，频率取样间隔定义为：,f=fs/N,频率取样点为0,f,2f,3f,.，有：,2.4 离散傅里叶变换,对连续时间信号进行离散傅里叶变换（DFT），一般可以概括为三个步骤：,时域采样时域截断频域采样,2.4 离散傅里叶变换,一、离散傅里叶变换的图解推演,1、时域采样,2.4 离散傅里叶变换,采样定义：,采样是将采样脉冲序列g(t)与信号x(t)相乘，取离散点x(nt)的值的过程。,X(0),X(1),X(2),X(n),2.4 离散傅里叶变换,时域信号,采样信号,2.4 离散傅里叶变换,当运用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个信号截取过程成为时域信号的截断。,2、时域截断,2.4 离散傅里叶变换,为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。,0,采样后信号,0,截断信号（窗函数）,截断后的的信号,0,W(f),矩形窗函数及其频谱表示为：,0,0,2.4 离散傅里叶变换,3、频域采样,计算机对连续频谱函数进行频域采样处理,0,其理论上是对连续频谱乘上频域序列脉冲函数d(f)的过程。,设采样信号及其频谱表示为：,0,0,0,0,设DTF后的频谱表示为：,2.4 离散傅里叶变换,二、离散傅里叶变换中的几个问题,问题：采样间隔要多大才合理？,2.4 离散傅里叶变换,每周期应该有多少采样点？,2.4 离散傅里叶变换,当 时,=,*,=,当 时,1、频率混叠,频域解释,2.4 离散傅里叶变换,2.4 离散傅里叶变换,时域解释,2、采样定理,为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率（fs）必须至少为原信号中最高频率（fmax）成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。,fs2fmax,需要注意的是，在对信号进行采样时，满足了采样定理，只能保证不发生频率混叠，只能保证对信号的频谱作逆傅立叶变换时，可以完全变换为原时域采样信号xs(t)，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到5倍。,即:fs(35)fmax,2.4 离散傅里叶变换,避免频率混叠的措施：（1）采样抗混叠滤波技术 采样前采用低通滤波器，人为降低信号中的最高频率fmax;（2）选择使用转换速度高的A/D转换器 提高采样频率fs;,2.4 离散傅里叶变换,fs2fmax,3、截断、泄漏和窗函数,计算机可处理的数据长度是有限的，而信号的长度可能是无限的，因此只能从信号中提取出其中一段来考察分析，并以此来考察整个信号历程，这叫时域截断或加“窗”。,2.4 离散傅里叶变换,周期延拓信号与真实信号是不同的：,能量泄漏误差,设有余弦信号x(t),用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截断信号:xT(t)=x(t)w(t),将截断信号谱 XT()与原始信号谱X()相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱.原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。,对于无限长的随机信号，泄漏是作傅里叶变换时不可避免的。,2.4 离散傅里叶变换,泄露降低了谱分辨率。,能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。,2.4 离散傅里叶变换,避免泄漏的措施：（1）增加窗函数的宽度；（2）采用适当的窗函数；,2.4 离散傅里叶变换,常用的窗函数,1）矩形窗,2）三角窗,2.4 离散傅里叶变换,3）汉宁窗,2.4 离散傅里叶变换,4、量化误差,量化误差的产生原因：模拟信号的幅值 连续 数字信号的幅值 离散模拟信号在数字化过程中，幅值落在两相邻的量化值之间，需四舍五入到相近的一个量化值上，造成量化误差；,2.4 离散傅里叶变换,减少量化误差的措施：采用高位数的A/D转换器；,2.4 离散傅里叶变换,5、栅栏效应,采样信号的频谱，为提高计算效率,通常采用FFT算法进行计算，设数据点数为：,则计算得到的离散频率点为:,N=T/dt=T.fs(T时域信号长度）,Xs(fi)，fi=kfs/N,k=0，1，2，.，N/2,这就相当于透过栅栏观赏风景，只能看到频谱的一部分，而其它频率点看不见，此种现象被称为栅栏效应。,如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。,2.4 离散傅里叶变换,能量泄漏与栅栏效应的关系：,频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。,2.4 离散傅里叶变换,例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。,实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。,从这个意义上来说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号时域截断产生的能量泄漏误差，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。,减少栅栏效应的措施：提高频率分辨率；频率细化；对周期信号，整周期截取；,2.4 离散傅里叶变换,信号整周期截断,2.4 离散傅里叶变换,在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题：谱分析范围频率分辨率。,谱分析范围为0,Fs/2，直接受采样频率Fs的限制。为了不产生频率混叠失真，通常要求信号的最高频率fmFs/2。,频率分辨率用频率采样间隔f描述，f 表示谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔。显然，f越小，谱分析就越接近Xa(jf)，所以f较小时，我们称频率分辨率较高。,Ts时域采样间隔fs-时域采样频率t信号记录时间间隔f-频域采样间隔(频率分辨率）N采样点数,信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾：,同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。,思考题,时域对一段有限长模拟信号以4kHz采样，对得到的N个采样信号做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100Hz。如果想使得频谱看得更清楚，每50Hz就有一根谱线，采用8kHz采样，对得到的2N个抽样信号做2N点DFT，能达到目的吗？为什么？,不能达到目的,因为Nf=fs，采样频率提高一倍，采样点数N也提高一倍，那么频率分辨率f应该保持不变。,若电视信号占有的频带为z，电视台每秒发送25幅图像，每幅图象又分为625条水平扫描线，则每条水平线至少要有_个抽样点。()625()768()1250()15625,B,思考题,()有限个周期信号之和，必形成新的周期信号()瞬态信号的频谱具有谐波性、离散性、收敛性。()信号在时域上平移后，其幅值频谱和相位频谱都会发生变化()一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱可能具有无限个频率成分()提高采样频率，就可以提高谱分析的分辨力()信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。,思考题：判断下列概念是否正确，并简述其理由：,快速傅立叶变换(FFT)是实施离散傅立叶变换的一种有效的算法，通过仔细选择和重新排列中间结果，在速度上较之离散傅立叶变换有明显的优点。,展开各点的DFT计算公式：,XR(1)=x(0)cos(2pi*0*1/N)+x(1)cos(2pi*1*1/N)+x(2)cos(2pi*2*1/N).XR(2)=x(0)cos(2pi*0*2/N)+x(1)cos(2pi*1*2/N)+x(2)cos(2pi*2*2/N).,其中有大量重复的cos、sin项的计算，FFT的作用就是用技巧减少cos、sin项的重复计算。,当采样点数为1024点,DFT要求一百万次以上计算量，而FFT则只要求10240次。,四、快速离散傅里叶变换,2.4 离散傅里叶变换,t=0:0.001:1.3;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);f=x+3.5*randn(1,length(t);subplot(211);plot(f);ylabel(幅值);xlabel(时间);title(原始信号);y=fft(f,1024);p=y.*conj(y)/1024;ff=1000*(0:511)/1024;subplot(212);plot(ff,p(1:512);ylabel(幅值谱);xlabel(频率);title(信号幅值谱图);,作业：P30,2.32.42.5,t,t,x(t),x(t),延拓,Back,2.4 离散傅里叶变换,狄里克雷条件,设f(x)是周期为2的周期函数，如果它满足：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（2）在一个周期内至多只有有限个极值点则f(x)的傅里叶级数收敛，并且当x时f(x)的连续点时，级数收敛于f(x);当x是f(x)的间断点时，级数收敛于,Back,2.4 离散傅里叶变换,2.3 非周期信号的频域分析,