矩阵相似对角化.ppt

1,第5.2节 矩阵相似对角化,线性代数,2,主要内容,一、矩阵相似的概念,二、矩阵相似对角形,三、小结,四、思考与练习,3,一.相似矩阵的概念,定义:,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,或称矩阵 与矩阵 相似，记作,注：1 矩阵相似是一种等价关系,（1）反身性：,（2）对称性：若 则,（3）传递性：若 则,4,分析:,则存在可逆矩阵,使,2.若 与 相似,则 与 相似(为正整数).,3.若,则,其中 是任意常数.,分析:,5,定理1:阶方阵 相似,则有,和 的特征多项式相同,即,从而 和 的特征值相同,注:满足(1),(2),(3)时A和B不一定相似,6,推论：若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,7,例1:设矩阵 与 相似,求,.,解:利用,得到方程,再利用,得到,8,利用对角矩阵计算矩阵的方幂,若,则,的多项式,9,特别地,若可逆矩阵,使,为对角矩阵,则,对于对角矩阵,有,10,二.矩阵相似对角形,定义:,11,推论2:阶方阵相似于对角阵的充要条件是的,每一个,重特征值对应个线性无关的特征向量,说明：如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性,无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化,12,例1:判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解:,得,13,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,14,得基础解系,线性无关,即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。,15,得基础解系,所以 不能化为对角矩阵.,当 时，齐次线性方程组为,16,三小结,相似矩阵,相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：,(1),与相似，则,(2),若与相似，且可逆，则也可逆，且与相似,(3),与相似，则 与 相似.为常数,(4),与相似，而是一多项式，则与,相似,17,相似变换与相似变换矩阵,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成,而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算,18,解：,四思考与练习,19,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,20,得基础解系,线性无关，,可以对角化。,令,则有,21,注意：若令,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,则有,22,把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。,可对角化的矩阵主要有以下几种应用：,1.由特征值、特征向量反求矩阵,例3：已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,23,解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。,因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。,即存在可逆矩阵,使得,其中,求得,24,25,2.求方阵的幂,例4：设 求,解：,可以对角化。,系数矩阵,令 得基础解系:,26,系数矩阵,令 得基础解系:,令,求得,即存在可逆矩阵,使得,27,28,3.求行列式,解：,方法1 求 的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。,设,的特征值是,29,方法2：已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，,即存在可逆矩阵,使得,30,4.判断矩阵是否相似,的特征值为,令,3阶矩阵 有3个不同的特征值，所以 可以对角化。,31,即存在可逆矩阵,使得,方法2：因为矩阵 有3个不同的特征值，所以可以对角化，,所以矩阵 能与对角阵相似。,32,例7：设 阶方阵 有 个互异的特征值，,阶方阵 与 有相同的特征值。,证：设 的n个互异的特征值为,则存在可逆矩阵,使得,33,所以存在可逆矩阵,使得,即,即存在可逆矩阵,使得,即 与 相似。,