矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆.ppt
矩阵的转置、乘法（初等变换）、逆,欧阳顺湘北京师范大学珠海分校,内容提要,矩阵的下列运算的性质与应用乘法转置初等变换逆,定义,由定义，一个行矩阵与一个 列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数：,乘法,定义中矩阵(=AB)的元素cij是矩阵A 的 第i 行元素与矩阵B的第j 列对应元素乘积之和.,注意 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等 于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才 能相乘.,矩阵的乘法满足下述运算规律,矩阵的幂 A 是一个n 阶矩阵,k 是一个正整数,规定,矩阵的幂满足规律,其中 k,l 为正整数.,对于两个 n 阶矩阵 A与 B，一般说,例 8,矩阵的转置定义 把矩阵A的行列（按原顺序互换）互换所得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵，以AT表示。即 A(aij)mn，AT(aji)nm,矩阵的转置满足下述运算规律,(ABC)TCTBTAT,对于多个矩阵相乘，有,证明：设,记,由矩阵的乘法定义，有,而BT的第i行为,AT的第j列为,因此,所以,即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.,方阵的行列式运算满足下述规律:,定义 由 n 阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）,称为方阵 A 的行列式,构成的行列式，,方阵的行列式,那么,于是,2.设 A 为 3 阶矩阵,那么,于是,初等矩阵&初等变换,Recall 练习,三种初等变换,1 设,A=,计算并总结规律。,(),A,(),A,A,A,A,A,(3),(5),(4),(6),A,A,A,A,A,A,定义 由单位 矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,初等矩阵的概念,第i列,第j列,i列,j列,第i 列,Inverse Matrix,按照矩阵的乘法，线性方程组,可表示为矩阵的乘积 Ax=b 的形式，其中,如果 m=n,可考虑 x=b/A,一、概念的引入,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1。,因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩阵的概念。,二、逆矩阵的概念和性质,例 设,说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,事实上若设 和 是 的逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的。,A的逆记为，即 AA-1=A-1A=E。,例 设,解,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,矩阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法,先就 3 阶矩阵给出证明.,证 设,于是有,因此,同理可证，,=0,=0,=0,证 设 A=(a i j)nn,也就是,于是有,因此,同理可证，,定理1 矩阵 可逆的充要条件是，且,证明,若 可逆，,按逆矩阵的定义得,证毕,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,推论,证明,逆矩阵的运算性质,证明,证明,例1 求方阵 的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,同理可得,故,解,例2,另一种常用的求矩阵逆的方法,伴随矩阵的方法理论上完善，但计算量大下面用矩阵的初等（行）变换来求先讲方法，后介绍其中的道理（也可课后思考）,逆矩阵的求法,若矩阵A可逆，则矩阵A总可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵。如果把同样的变换施加在单位矩阵上，得到的就是A的逆矩阵。因此，我们通常把矩阵A与单位矩阵I并列，构成一个n2n矩阵，记作A E，再经过初等行变换化为E A-1，这样就得到了A-1。,解,例,利用矩阵求解方程,按照矩阵的乘法，线性方程组,可表示为矩阵的乘积 Ax=b 的形式，其中,如果 m=n,可考虑 x=b/A,例:求解线性方程组,反 思,理论分析,定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,二、初等矩阵的应用,定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,证,即,利用初等变换求逆阵的方法：,即,初等行变换,例,解,解,例3,例1.3-1 设A，求A-1 2-1 解：3-1 1 0+(-1)1 0 1-1+(-2)2-1 0 1 2-1 0 1 1 0 1-1(-1)1 0 1-1 0-1-2 3 0 1 2-3 1-1 则A-1 2-3 这表明A不是满秩矩阵，则A不可逆，A-1不存在，因为AI的左边不能化为单位矩阵。所以，如果在阶梯化的过程中出现了0行，则表示矩阵不可逆。,二、解矩阵方程 解矩阵方程AXB，即求矩阵X满足此等式。如果矩阵A可逆,把等式两边左乘A-1，即得A-1AXA-1B，于是XA-1B 因此，先求出A-1，再做矩阵的乘法即可。例4.解矩阵方程AXB，其中-2 1 0 5-1 A 1-2 1，B-2 3 0 1-2 1 4,解：-2 1 0 1 0 0 1-2 1 0 1 0 0 1-2 0 0 1 1-2 1 0 1 0 0 1-2 0 0 1 0 0-4 1 2 3 1 0 0-3/4-1/2-1/4 0 1 0-1/2-1-1/2 0 0 1-1/4-1/2-3/4 3 2 1 A-1-1/4 2 4 2 1 2 3,3 2 1 5-1 XA-1B-1/4 2 4 2-2 3 1 2 3 1 4 12 71/4 4 18 4 17,练习 2 个,Page 174.5 请用三种方法先求系数矩阵的逆矩阵,用伴随矩阵的方法求逆矩阵也先求系数矩阵的逆矩阵,但用矩阵的初等变换的方法求逆矩阵用Gauss消元法，请用矩阵的方式表示肖元过程,2 求下列初等矩阵的逆矩阵,(),(),(3),(4),
