矩阵的正交分解与求矩阵全部特征值的QR方法.ppt

第7章 矩阵特征值问题,计算方法,1.Householder变换与矩阵的正交分解一、初等反射阵(Householder变换阵),H阵的性质：,H阵的作用：,构造初等反射阵,可构造初等反射阵,2、矩阵的正交分解,2、QR分解的实际计算 用Householder变换对A作QR分解,3.求矩阵全部特征值的QR方法,60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。,可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列Ak“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则Ak“基本”收敛于对角矩阵。,平面旋转阵(Givens变换阵),、用 Givens变换对上Hessenberg阵作QR分解,