矩阵特征值问题.ppt

第六章,矩阵特征值问题,一、方阵特征值与特征向量的概念,定义 设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式,成立，,那么这样的数 称为方阵 的特征值；,非零向量 称为方阵 的对应于特征值 的特征向量.,注意：,关系式 是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知 必须为方阵.,零向量显然满足关系式，但零向量不 是特征向量.,特征向量是非零向量.,方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一.,若 和 都是属于特征值 的特征向量,则,也是属于特征值 的特征向量.,一个特征向量只能属于一个特征值.,二、特征值与特征向量的求法,1.结论的引入,若 是 的特征值，是 的对应于 的特征向量，则有,方程 有非零解，且 是它的一个非零解,是代数方程 的根.,以 为未知数的一元 次方程,称为方阵 的特征方程.,以 为变元的 次多项式，即,称为方阵 的特征多项式.,2.结论,矩阵 的特征方程 的根就是 的特征值.由行列式的定义,(3)设 是方阵 的一个特征值，则齐次方程,的全体非零解就是 的对应于特征值 的全部特征向量；,齐次方程 的基础解系就是对应于特征值 的全体特征向量的极大无关组.,(2)在复数范围内 阶矩阵有 个特征值(重根按重数计算).,练习：,求特征值、特征向量步骤：,求出 即为特征值;,把得到的每一个特征值 代入上式，,即为所求特征向量。,or,或,例 求矩阵 的特征值和特征向量.,解：,的特征多项式,所以 的特征值为,当 时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,当 时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,解：,的特征多项式,所以 的特征值为,当 时，解齐次方程，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,得基础解系,当 时，解齐次方程，,所以对应于 的全部特征向量为,解：,的特征多项式,所以 的特征值为,当 时，解齐次方程，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,得基础解系,当 时，解齐次方程，,所以对应于 的全部特征向量为,(不同时为0).,说明：,例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值 仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值 有两个线性无关特征向量.,可见,对角矩阵和三角矩阵的特征值就是这些矩阵对角线上的元素.,练习:,虽然 与 有相同的特征值,特征向量却不一定相同.,3.特征值和特征向量的性质,例如:,可计算 与 有相同的特征值,但易验证 是 对应于特征值2的特征向量,但却不是 的.,性质1 证,根据特征值满足的条件：是特征方程 的根，所以要证 与 的特征值相同，,只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.,因为,所以 与 的特征多项式相同，从而 与 的特征值相同.,称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）,推论:矩阵 可逆,的特征值都不为0.,定理1 证,因为 是 的 个特征向量，则有,即,令，即得,另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有,这些项中不含,比较两端的 的系数，可得,即,显然有,说明,根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.,练习:,若 可逆，则 的特征值是,的特征值是,且 仍然是矩阵,分别对应于 的特征向量。,为x的多项式，则 的特征值为,实际上这里多项式幂可推广为所有整数,例 设3阶矩阵 的特征值为 求,解,方阵 的行列式=的全部特征值之积.,因为的特征值为，全不为0，,所以 可逆，且,则有,故 的特征值为,因此,练习:求抽象矩阵的特征值,练习:特征值,特征向量的逆问题,则,定理3：设 是方阵 的 个特征值，,依次是与之对应的特征向量。,如果 各不相等，,则 线性无关。,即，方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。,类推之，有,把上列各式合写成矩阵形式，得,等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，,当 各不相同时，该行列式不等于零，所以存在逆矩阵。,等号两边同时右乘它的逆矩阵，有,即,又因为 为特征向量，,所以,线性无关。,进一步可以证明,定理4:若,为矩阵A对应特征值,的线性无关的特征向量,则当,互不相同时,向量组,是线性无关的.,性质:设,是n阶矩阵A的1重特征值,则A中对应,的线性无关的特征向量有1个.,例 设 和 是矩阵 的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为 和，,证,根据题设，有,要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.,用反证法，假设 是 的特征向量，,则存在数，使,证明 不是 的特征向量.,因为，所以 线性无关，故,即有,与题设矛盾.,因此 不是 的特征向量.,练习:,(2)证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,用 左乘上式两端得,这表明 是矩阵 的特征值.,类似地，可以证 是矩阵 的特征值.,因为 是 的特征值，,(3)证,所以存在非零向量 使,又由 知，,可逆，且，所以,这表明 是矩阵 的特征值.,(3)证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,又因为，所以,这表明 是矩阵 的特征值.,例 设,解：（1）,求：（1）的特征值和特征向量。,（2）求可逆矩阵，使得 为对角阵。,得,自由未知量:,得基础解系,取,存在,本题启示:,问题：矩阵 是否唯一？矩阵 是否唯一？,2.提供了一种求 的方法.,由定理知，,若存在可逆矩阵，使,(为对角阵),则有,已知矩阵,求.,我们可以找到一个可逆矩阵，,相似矩阵,使,二.相似(similar)矩阵的定义及性质,定义:,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,或称矩阵 与矩阵 相似，记作,注：矩阵相似是一种等价关系,（1）反身性：,（2）对称性：若 则,（3）传递性：若 则,推论：若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,（3）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。,注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本。,例如 设,则有,其中,所以 与 相似.,又设,显然 与 的特征值相同，但是它们不相似.,其它的有关相似矩阵的性质：（介绍）,练习:,