清华微积分(高等数学)课件第三讲(一)无穷小量(续.ppt

2023/6/22,1,作业,P43 习题 2.3 10.12(3)(4)(7)(10).P49 习题 2.4 9(1)(4)(6).,练习,P43 习题 2.3 4.5.8.P49 习题 2.4 1.2.5.,2023/6/22,2,第三讲(一)无穷小量(续)(二)连续函数,一、三个重要关系,二、无穷小量的比较,三、求极限举例,四、函数连续性的定义,2023/6/22,3,1.（无穷小与无穷大）,2.（极限与无穷小）,一、三个重要关系,2023/6/22,4,3.无穷大与无界函数,问题：,两个无穷小量的商是否为无穷小量？,2023/6/22,5,二、无穷小量的比较,定义：,2023/6/22,6,2023/6/22,7,2023/6/22,8,几个常用的等价无穷小量,2023/6/22,9,等价无穷小量的性质,性质1：,2023/6/22,10,性质2：,等价代换,2023/6/22,11,解,例1,三、求极限举例,2023/6/22,12,例2,解,2023/6/22,13,2023/6/22,14,例3,解,2023/6/22,15,是 x 的 3 阶无穷小,讨论：,代数和不能代换！,2023/6/22,16,解,例4,2023/6/22,17,解,例5,2023/6/22,18,解,例6,2023/6/22,19,解,例7,2023/6/22,20,从而,或者,2023/6/22,21,连 续 函 数,2023/6/22,22,函数连续性的定义,函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种描述：,当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；连续函数的图形可以一笔画成,不断开.,2023/6/22,23,例如：,2023/6/22,24,2023/6/22,25,2023/6/22,26,2023/6/22,27,定义1：,以上描述实质上是同意的反复,数学上要确切地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述.,（一）定义,2023/6/22,28,注意1,以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.,注意2,2023/6/22,29,定义2：,（函数在一点的单侧连续性）,2023/6/22,30,定义3：,（函数在区间上的连续性）,2023/6/22,31,（二）间断点的分类,根据间断点的不同情况，可以分为三类：,1.可去型间断点,可去型间断不是本质性的间断,可以重新定义,使其连续.,2023/6/22,32,例如,2023/6/22,33,2.第一类间断点,例 符号函数,2023/6/22,34,3.第二类间断点,例,2023/6/22,35,五、函数连续性的基本性质,（一）连续性定义的等价形式：,2023/6/22,36,（二）连续函数的有界性：,2023/6/22,37,（三）连续函数的保号性：,2023/6/22,38,（四）连续函数的运算性质：,2023/6/22,39,（六）初等函数的连续性,初等函数在其定义区间上是连续的。,（五）关于反函数的连续性,2023/6/22,40,解,非初等函数连续性问题举例,2023/6/22,41,2023/6/22,42,解,2023/6/22,43,