恒成立与存在性问题的基本解题策略.docx

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：a> f G)恒成立a> f G) ； a< f (x)恒成立>a< /G)2、能成立问题的转化：a> f(x)能成立n a； a< f G)fh成立a< /G)minmaxz xz x(a>f(x)在M上恒成立3、恰成立问题的转化：a> fx)在M上恰成立的解集为Mo(.一八、a<f (2在C 上恒成立另一转化方法:若xeDJ(x)>A在D上恰成立,等价于在D上的最小值f (x) = A , e D,/(x) < Bmin在D上恰成立，则等价于f 3)在D上的最大值f M = B.max4、设函数fG)、gG）,对任意的气A,认存在投t, d,使得 f（x ） g（x ）,则 / G） g G）12minmin5、设函数 fG)、gG),对任意的工 G L , Z?,存在G C , tf,使得 f(x )< g(x ),则 f G)< g (x)1212maxmax6、设函数 fG)、gG),存在气 e Cz ,Z?,存在 xec,d 使得/G)> g(JC ),贝 ijf Q)>g (x)7、设函数 yG)、gG),存在气 "，认 耳在 X2 e t ,6?,使得 f(x)< 则 fminQ)<gmaxG)8、设函数fG)、gG),对任意的尤g L,Z?,存在尤eC,d?,使得f(jc )=g(x ),设f(x)专服间a,b上1212的值域为A, g (x)在区间c, d上的值域为B,则AuB.9、若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，贝IJ等价于在区间D上函数y = f(x)和图象在函数y = g(x )图象 上方；10、若不等式f G)<gG)在区间D上恒成立，则等价于在区间d上函数y = f(x)和图象在函数y = g(x)图象 下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的金题函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全 体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方 法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年 高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图 象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项 式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。(一) 两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、m > f 3)在g。上恒成立=mN f (x)max思路 2. m< f 3)在g 上恒成立 <> m < f(x)min如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理有效的方法进行求 解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f(X)的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题 类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二) 、赋值型一一利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得兀例1.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 一$ 对称，那么a=().8A.1B.-1C .、2D. -2.兀兀略解：取 x=0 及 x=-，则 f(0)=f(-)，即 a=-1,故选 B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例(备用).由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射 f： (a1,a2,a3,a4) -b1+b2+b3+b4，则 f： (4,3,2,1) 一 ()A.10B.7C.-1D.0略解：取 x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4，又 a4=1，所以 b1+b2+b3+b4=0，4123441234故选D(三) 分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a手(若y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0，则根据函数的图象(直线)可得上述结论等 价于r f (m) > 0厂 f (m) < 0f ()> 0同理，若在m'n内恒有f(x)<0，则有 f (n) < 0例2.对于满足|a|<2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数显然可 将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2, 2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a| < 2时恒成立，设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1，则 f(a)在-2,2上恒大于 0，故有：f f (-2) > 0X2 - 4x + 3 > 0x > 3或x < 1< °C、八即1解得：If (2) > 0x2 -1 > 0X > 1或X < -1.x<-1 或 x>3.即 xE(8, 1)u(3,+8)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或 下方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。(1) 若二次函数y=axbx+c(a手0大于0恒成立，则有a > 0且 V 0(2) 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1：设f(x)= ax2 + bx + c(a。0)在r上恒成立，(1) f (x) > 0在x e R 上恒成立=a > 0且 <0；(2) f (x) < 0在工e R上恒成立o a < 0且A < 0。类型2：设f (x) = ax2 + bx + c(a。0)在区间以，P上恒成立(1)当 a > 0 时，f (x) > 0在x eb / ba b Rv a a < < P> P以,p上恒成立o< 2a叫2a叫 2af (a) v 0f (P) v 0、f (a) > 0 < 0 f (p) > 0f (x) V 0在x e a, p 上恒成立 o(2)当 a V 0时，f (x) > 0在x e a,p上恒成立off (a)>0I f (P) > 0b/ b亦b Rf (x) V 0在x e a, P 上恒成立 o <一 <以命2a或5a %- P-p-2a或<-厂> P 2a、f (a) > 0Av 0f (P) v 0类型3：设f (xN ax2 + bx + c(a。0)在区间(* , a上恒成立。f(x)>0oa>0 且A<0 或-b/2a>a且 f(a)>0f(x)<0oa<0 且A<0 或-b/2a>a且 f(a)<0类型4：设f (xN ax2 + bx + c(a。0)在区间a，+8)上恒成立。f(x)>0oa>0,A<0 或-b/2a<a且 f(a)>0f(x)<0oa<0,A<0 或-b/2a<a且 f(a)<02例3.若函数f (x) = ;(a21)x2+ (a 1) x + 一-的定义域为R，求实数a的取值范围.a +1 2分析：该题就转化为被开方数(a2 1)x2 + (a 1)x + > 0在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数 a +1的讨论.解：依题意，当x e R时， 2(a2 1)x2 + (a 一 1)x +> 0 恒成立，a +1所以，当a2-1=0,即当4":时，a=1,此时(a2 1)x2 + (a 一 1)x + 2 = 1 > 0,.a = 1.a +1a 2 -1 > 0,当a 2-言0时，即当侦=(a -1)2 - 4(a 2一1)二<0时， a +1r a 2 > 1有n 1 < a < 9,a 2 - 10a + 9 < 0,综上所述，f(x)的定义域为R时，a e 1,9例4.已知函数f (x) = x2 + ax + 3-a，在R上f (x) > 0恒成立，求a的取值范围.分析：V = f (x)的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：略解： = a2 - 4(3 - a)= a2 + 4a -12 < 0 /.-6 < a < 2变式1：若x e -2,2时，f (x) > 0恒成立，求a的取值范围.解析一.(零点分布策略)本题可以考虑fx)的零点分布情况进行分类讨论，分> 0> 0-2 <-2 或 J f (-2) > 0 f > 0无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即A<或J2 - 2 ，即a的取值范围为 f (-2) > 0f > 0 -7, 2.解法二分析：(运用二次函数极值点的分布分类讨论)要使x e-2,2时，f (x) > 0恒成立，只需f (x)的最小值g(a) > 0即可.略解：(分类讨论)f (x) = x + a -号-a + 3，令f (x)在2,2上的最小值为g(a). k2 74a7当一< -2，即 a > 4 时，g (a) = f (-2) = 7 3a > 0 a < 又Q a > 423a不存在.当-2<-2<2，即-4<a<4 时，g(a) f =-专-a + 3>0 "6<a<2 又Q -4<a<4当 一 > 2，即 a <4 时，g (a) = f (2) = 7 + a > 0 /. a > -7 又。a <4 :.7 < a <42综上所述，7 < a < 2.变式2：若工e 2,2时，f (x) > 2恒成立，求a的取值范围.解法一：分析：题目中要证明f (x) > 2在2,2上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-2,2时恒大于等于0的问题.例2已知f (x) = x2 + ax + 3 a，若x e 2,2, f (x) > 0恒成立，求a的取值范围.略解：f (x) = x2 + ax + 3 a 2 > 0，即 f (x) = x2 + ax +1 a > 0 在2,2 上成立. A = a2-4(1 -a)< 0-2-2、；2 < a < -2 + 2侦2A = a2 4(1 a) > 0f > 0 < f (2) > 0-5 < a <-22 - 2a> 2或a<222综上所述，- 5 < a < 2、：2 - 2.解法二：(运用二次函数极值点的分布)当 一 a < 2，即 a > 4 时，g (a) = f (2) = 7 3a > 2 二 a <9 任(4,+8)a 不存在.23aaa 2当一2 < 2 < 2，即4 < a < 4 时，g (a) = f(* =习a + 3 > 2，2 克2 < a < 22 2 .4 < a < 2 克2当> 2，即a <4时，g(a) = f (2) = 7 + a > 2，a > 5 二5 < a < 4综上所述5 < a < 2 ： 2 2.此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其 相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法(如例4、例5)，而对于二次函数在某一区间上恒成立 问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等 变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)f(x)min；若对于x取 值范围内的任何一个数，都有f(x)vg(a)恒成立，则90)>心扁.(其中Hx"和从扁分别为购爵*大值和最小 值)例5.已知三个不等式X2 - 4x + 3 < 0 , X2 -6x + 8 < 0, 2x2 - 9x +m < 0.要使同时满足的所 有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2<x<3,要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x2 -9x + m<0xe (2,3)上恒成立，即m < -2x2 + 9人在X e (2,3)上恒成立，又 - 22 + 9x在X c (2,3)上大于9,所以m<9例6.函数/'3)是奇函数，且在-1,1 ±单调递增，又/(-1) = -1 ,若/<t2at + l对所有的a e -1,1都成立，求r的取值范围.解：据奇函数关于原点对称，=又® f 3)在-1,1上单调递增/=f=1max0 f(x)<t2 -2at + l 对所有的 a e -1,1都成立.因此，只需t2-lat + 大于或等于/在T,l上的最大值1,二 $2 +1 Z 1$2 2 0又®对所有a e -1,1都成立，即关于a的一次函数在-1, 1上大于或等于0恒成立，£2 2r Z 0$2 + 2t 2 0m t > 2或 l = 0或 z < -2即：r e(-a),-2Y0Y2,+oo)利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例.B/(x) = xlx-al+Z?,xeR .若be。,且对任何xeo,l不等式/(x)<0恒成立，求实数的取值 范围.解：当x = 0时，取任意实数，不等式/(x)<0恒成立，故只需考虑工e(0,1，此时原不等式变为I尤一 a l<-b x即 x + < a< x-xx, b所以(x + )= g(1)=1 + b ；X maxb(x一一)= h(1) = 1 -b，又 1 -b > 1 + b，X min故(x + )< a < (x - ) , x e(0,1又函数g(x) = x + b在(0,1上单调递增， x对于函数h(x) = x- b,x e(0,1x当b <-1时，在(0,1上h(x)单调递减所以，此时a的取值范围是(1+ b,1 -b).当-1 < b < 0，在(0,1上，h( x) = x - b > 2、,'-b， x当x = 4b时，(x - b) = 14b，此时要使a存在，必须有1 + b <2*-b即-1 < b < 2J2-3，此时a的取值范围是(1+ b,2舟)I -1 < b < 0综上，当b <-1时，a的取值范围是(1+ b,1 -b)；当-1 < b < 盘一3时，a的取值范围是(1+ b,2痂)；2分当2*2-3 < b < 0时，a的取值范围是0 .4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过 画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例7.对任意实痴，不等式x +1| - |x- 2| > a恒成立，求实抵的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,对任意实数x，不等Nx +1|-|x-2 > a恒成立即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.一 3x < -1解：令 y = |x + 1|-|x - 2 = <2x -1 -1 < x < 23x > 21在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实麴，不等式乂 + 1|-|x-2 >a恒成立，只需a < -3 ."_' 一一一*一'T"故实数。的取值范围是(-8,-3).注：本题中若将对任意实数:，不等式乂+i|-|x-2>。恒成立，求实数I改为 对任意实麴，不等式+1 -|x-2 < O恒成立，求实麴，同样由图象可得a>3; 对任意实数:，不等式尤+1| + |x - 2 > Q恒成立，求实数加构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数 图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例8.设常数aR，函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a的取值范围 为。解：1) a<=0x<=a/2<=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0 时，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a<=2则与g(x)有交点，即：-2<=a<=0。2)a>0x<=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2 时，f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a<=2时与g(x)有交点，即：0<a<=2综上所述，-2<=a<=2 时 f(x)=3|x|+|2x-a|与 g(x)=2-x 有交点。三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学 会把问题分类、归类，熟练基本方法。(一) 换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x，不等式4(a +1)2a(a +1) 2x2 log2 + 2xlog2 +i + 性 4.2 > 0恒成立，求a的取值范围。2a2a解：因为iog2 a+i的值随着参数a的变化而变化，若设t=iog2 a+i，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式(3-1)x2 + 2tx - 2t > 0恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于3 -1 > 02a求解关于t的不等式组： <。解得t < 0,即有log 一- v 0,易得0 < a < 1。A = (2t) 2 + 8t(3 -1) < 02 a +12、设点P (x，y)是圆x2 + (y -1)2 = 4上任意一点，若不等式x+y+c> 0恒成立，求实数c的取值范围。(二) 分离参数，化归为求值域问题3、若对于任意角0总有sin29 + 2mcos0 + 4m-1 < 0成立，求m的范围。解：此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cos0 + 4) < cos2 0 ,又 cos0 + 2 > 0，则原不等式等价变形为2m vC0S2 0cos0 + 2恒成立。根据边界原理知，2m必须小于f(0)=cos2 0cos 0 + 2的最小值，这样问题化归为怎样求cos2 0cos0 + 2的最小值。因cos2 0为 f(0) = cose(cos0 + 2)2 一 4(cos0 + 2) + 4cos0 + 24=cos0 + 2 + 4cos0 + 2> 4 一 4 = 0即cos0 = 0时，有最小值为0，故m v 0。(三) 变更主元，简化解题过程4、若对于0 < m < 1，方程x2 + mx 一 2m-1 = 0都有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则m(x - 2) = (1 一 x)2，1 x21 x2由原方程知X。2，得m = 又0 < m < 1，即0 < < 1x 一 2x 一 2-1 -而-1 +而解之得一Z < x <-1 或 1 < x <。5、当切| < 1时，若不等式x2 + (a 一 6)x + 9 一 3a > 0恒成立，求x的取值范围。(四) 图象解题，形象直观6、设x e (0,4，若不等式x(4-x) > ax恒成立，求a的取值范围。解：若设 >=Jx(4 - x)，则(x 2)2 + y2 = 4(七 > 0)为上半圆。设y2 = ax，为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有a v 0时成立，即a的取值范围为 a v 0。7、当xe (1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。解：设y1=(x-1)2,y2=logax，则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切xg (1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故 loga2>1, . 1<a v 2.8、已知关于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数a的取值范围。分析:方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4)，从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令 y1=x2+4x=(x+2)2-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线y2的图象是k=2,而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上方有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。(包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点(-4, 0)，此时纵截距为-8-6a-4=0,a= 2 ;2 2、当直线为l2时，直线过点(0，0)，纵截距为-6a-4=0，a= 3.a的范围为2,-)(五) 合理联想，运用平几性质9、不论k为何实数，直线y = kx +1与曲线x2 + y2 一 2ax + a2 一 2a 一 4 = 0恒有交点，求a的范围。分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若 考虑到直线过定点A (0， 1)，而曲线x2 + y2 一 2ax + a2 一 2a 一 4 = 0为圆，圆心C (a，0)，要使直线恒与圆 有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内。解：(x- a)2 + y2 = 4 + 2a，C (a，0)，当a > 2时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A (0，1)必在圆上或圆内，即点A (0，1)到圆心距离不大于半径，则有a2 + 1 < 2a + 4(a > 2)，得1 < a < 3。(六) 分类讨论，避免重复遗漏10、当|ml< 2时，不等式2x 1 > m(x2 1)恒成立，求x的范围。解：使用lml< 2的条件，必须将m分离出来，此时应对x2 1进行讨论。._2x 1_2x 11 + 气3当x2-1 >0时，要使不等式>m恒成立，只要>2，解得1vx。一 -2x 12x 1 一 1 +、7 一当x 2 - 1 v 0时，要使不等式=<m恒成立，只要=V2，解得亍Vx V1。当x2 1 = 0时，要使2 x 1 > 0恒成立，只有x = 1。1+J71 +t-综上得一-v x v AA解法2：可设f (m) = (x2 1)m (2x 1)，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x2 1) (2x 1) v 0，；令f (m) = m(x2 1) (2x 1)，则2 < m < 2一I f (2) v 0时，f (m) v 0恒成立，所以只需 <即I f < 02(x2 1) (2x 1) v 0，所以x的范围是2(x2 1) (2x 1) v 01 + 17 1 +3x e (一-一,一)。此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.11、当1< x < 3时，不等式X2 - 2ax + 6 > 0恒成立，求实数a的取值范围。x 33= x 3当1 < x v 3时，元+ > 2(； = 6，当二=，即x = y 6时等号成立。2 x 122 x故实数a的取值范围:a 点(七)构造函数，体现函数思想1x + 2x + 3x + A + (n 1)x + nxa12、(1990年全国高考题)设f (x) = lg，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且n > 2，如果f (x)当x e(8，1时有意义，求a的取值范围。解：本题即为对于x e(8，1，有1x + 2x+A (n 1)x + nxa > 0恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将，1、2, n 1 a >()x + ()x +A + ()x(n > 2)，对于 x e (8，1恒成立。nnna分离出来，得构造函数g(x) = ()x + ()x +A +()x，则问题转化为求函数g(x)在x e (8,nnn、，k、 _ 一 . 一、 ,由于函数u(x) = ()x(k = 1，2，A，n 1)在x e (8，1上是单调增函数，n1上的值域。则g(x)在(-8，1上为单调增函数。于是有g(x)的最大值为：g=；(n 1)，从而可得、1， na > -(n 1)。2(八)利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，m, nu f (a), g (a)若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即: 则f (a)< m且g (a)> n，不等式的解即为实数a的取值范围。/1 一 例13、当x e - ,3时k3 J|log/| v 1恒成立，求实数a的取值范围。1(1 )_r 1 )v xva，则问题转化为，3c 一，aak3 Jk a J(1)当 a > 1 时，解：Q 1 v log / v 1a > 3. < 11. a > 3-<-a3(2)当0 < a < 1时，1(1 _r 1 a v xv ，则问题转化为 ,3Q a,一a3 Ja J综上所得：0 v a < 3或a > 3四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。1、已知函数 f (x) = x2 - 2ax +1, g(x) = a , x对任意x e 1,2,x e 2,4,都有f (x ) > g(x )恒成立，求实数a的取值范围；1212【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数，(x)和g (x)分别求最值，即只需满足f (x) >g (x)即可.mmmax简解：令 n(a)= g (X)=a/2；令 m(a)=f . (x),f(x) = (x-a)2+1-a2, 故对称轴x=a<1,即或0<a< 1时，m(a)= f (x)=f(1)=2-2a，由m(a)>n(a)解得a<4/5,(注意到a的范围) 从而得a的范围：0<a<4/5;嘛(2) 对称轴x=a>2时，m(a)=f . (x)=f(2)=5-4a，由m(a)>n(a)解得a<10/9,(注意到a的范围)从而得a无解：；-1 + 伊. -1 - J7(3) 对称轴 x=aE1,2时，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a，由 m(a)>n(a)解得a >或a V，4(注意到a的范围)从而得a的范围1v a < 2 :；综合(1) (2) (3)知实数a的取值范围是：(0, 4/5)U1,22、已知两函数 f (x) = x2，g (x) = f11 x - m，对任意 x et)?，存在 x e 1,2，使得 f (x ) > g (x)，则实 2J1212数m的取值范围为解析：对任意x e ln,2，存在x e1,2，使得f (x ) > gG)等价于g(x) J1*-m在1,2上的最小值1 -m 12122J4不大于f (x) = x2在10,2上的最小值0，既4 -m < 0，.m > 4【例,】 已知函数=号-：+虫，若存在 &右1 ,7 使木等式) Mm,求实数成 的取值解"1十 (jcaO),，*) = jc 十 + 由*e 1亦：)>0符斯数穴攵)在区间w 1 .白为埴函数、则当*芒口技时右+/、 故要使存在牛e L"使不等式fWm成立只jn M 即可.【例£】 巳知龈教/O)=京：3的定义域为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数) 题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法若在区间D上存在实数使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f G)max > A ；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)< B成立，则等价于在区间D上的f G) < B .min1、存在实数X，使得不等式lx + 3l+lx-ll<a2-3«有解，则实数。的取值范围为。解：设 f (x)= k + 3l + lx-ll ,由 /(x)< 02 -3a 有解'ca -3a > /G), min3 lx + 3I + lx 11 > + 3)- G -1)1 = 4 , . q2 3a N 4，a N 4或q < -1。1、求使关于P的不等式入2 +px + l<p + 2x pG -2, 2有解的x的取值范围。解：即关于 p 的不等式(X 1) + 工2 -2x + l<0有解,设 f (j>)= (x l)j> + %2 2x + l,则f (p)在-2, 2上 的最小值小于Oo(1)当 xl 时,f(p)关于 p 单调增加，故 f (p) =f (-2) =x2-4x+3<0,解得 l<x<3;min 当xl时，f(p)关于p单调减少，故f (p)=f (2)=X2-1<O,解得-1<X<1；当 x=l 时，f (p)=0,故 f (p)=f (p) <0 不成立。 min综合(1) (2) (3)知实数x的取值范围是：(-1, 1) U (1,3)例、设命题P:xl, x2是方程x2-ax-2=0的二个根，不等式|皿-5m-3|，|xx对任意实数a£ -1, 1恒成立； 命题Q：不等式| x-2m| -1 x | >1 (m>0)有解；若命题P和命题Q都是真福题，求m的值范围。解：由P真得：lx -尤1=展2+8,注意到a在区间T,l, & 一工I =3, 1212 max由于|皿-5m-31 N | x -x |对任意实数T, 1恒成立，故有I m2 - 5m - 31>1 x - x I =3 1212 max解得：m<-l 或 m>6 或 0<m<5由 QM，不等 S|x-2m|-|x|>l(m>0)有解，得(|x-2m|-|x|)=2m>l,解得：m>l/2-.max由于(1) (2)都是相公命题，故m的值范围：l/2<m<5或m±6.举例(1)已知不等式4一。2工+2。对于x g -l,+oo )恒成立，求实数。的取值范围.(2)若不等式心12+2>。对于a g (-oo,3恒成立，求实数*的取值范围. 22分析：(1)由 4* 。2，+2>0 得：a < 2x + 对于 x g 1,+oo )恒成立，因 2 x > ,所以 2工 + 2 2>/2 ,2尤22工当2x =握时等号成立.所以有。< 2V2 .(2 )注意到4* 1 2* + 2 > 0对于a g (-co,3恒成立是关于。的一次不等式.不妨设 f (。) 2-a + (4.x + 2),则f (。)在。g (8,3上单调递减，则问题等价于f >。，所以43 2工 + 20 n 2工 > 2 或 2x < 1,贝tj x 取值范围为(8,0) Y (1,+s).小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转