第三章线性系统的时域分析法.ppt

第三章 线性系统的时域分析法,4 高阶系统的时域分析,1 线性系统时间响应的性能指标,2 一阶系统的时域分析,3 二阶系统的时域分析,5 线性系统的稳定性分析,6 线性系统的稳态误差计算,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,什么是时域分析?指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函数得到。在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,1、典型输入作用（1）阶跃函数,A=1时称为单位阶跃函数,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,（2）斜坡函数,A=1时称为单位斜坡函数,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,（3）抛物线函数,当A=1/2时，称为单位抛物线函数,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,（4）脉冲函数,当A=1时，称为单位脉冲函数（t）,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,（5）正弦函数 用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。,A为正弦函数的振幅；,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,2.动态过程和稳态过程,动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从开始状态到最终状态的响应过程。,稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t处于无穷时，系统输出量的表现方式。,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,3.动态性能与稳态性能（1）动态性能,通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数等于零。,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,延迟时间：,输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。,上升时间：,输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,最大超调量(简称超调量)：,输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。,峰值时间：,瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。,线性系统的时域分析法系统时间响应的性能指标,调节时间或过渡过程时间：,当 和 之间的误差达到规定的范围之内一般取 的5%或2%，称允许误差范围，用D表示且以后不再超出此范围的最小时间。即当，有：,（2）稳态性能,稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下测定或计算。,线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析,1.一阶系统的数学模型,由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数的特征方程是 s的一次方程。一阶系统的微分方程为：,其闭环传递函数为：,式中，称为时间常数。,典型的一阶系统的结构图如图所示,线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析,2.一阶系统的单位阶跃响应,这是一条指数曲线，处斜率最大，其值为1/T，若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。而实际系统只能达到稳态值的0.632,经过3T或4T的时间系统输出响应分加别达到稳态值的0.95或0.98。,线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析,一阶系统响应的特点：（1）t=T时，输出达到稳态值的0.632 t=0时，输出为0 t=时，输出达到稳态值1 t=T时，输出达到稳态值的0.632 t=3T时，输出达到稳态值的0.95 t=4T时，输出达到稳态值的0.98（2）t0时，响应曲线的切线斜率为1/T,切线与稳态值的交 点处的t=T。t增加,c(t)斜率下降。,线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析,（3）过渡过程时间 ts=3T（95），ts=4T（98）（4）延迟时间 td0.69T（5）上升时间 tr0.22T tr=2.3T-0.1T=2.2T（6）特征根S=1/T，T越小，动特性越好，稳态特性也越好。,线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析,2.一阶系统的单位脉冲响应,单位脉冲响应曲线也是一条指数曲线，在 时为；不难看出：单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分。,线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析,3.单位速度响应,系统输出：,响应曲线由两部分组成：稳态分量为（t-T），它也是单位斜坡函数，但有时间T的延迟，即稳态误差。瞬态分量为Te-t/T,以1/T的系数衰减到零。T越小，稳态误差也越小。,线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析,4.一阶系统的单位加速度响应,系统输出：,因系统的跟踪误差为：,上式表明：跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,1.二阶系统的数学模型,下图所示为标准形式的二阶系统的典型结构图。,开环传递函数为:,闭环传递函数为:,称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,特征方程为：,当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。,当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。,当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。,2.二阶系统的单位阶跃响应,1.闭环极点的分布,二阶系统的特征方程为,的取值不同,特征根不同。,0,2,s,2,2,=,+,+,n,n,s,w,xw,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,位于平面的左半部,（1）（欠阻尼）有一对共轭复根,（2）（临界阻尼），两相等实根,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,（3）（过阻尼），两不等实根,（4）（无阻尼），一对纯虚根,（5），位于右半平面,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,（一）衰减振荡瞬态过程：,上升时间：根据定义，当 时，。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,称为阻尼角，这是由于。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,峰值时间：当 时，,整理得：,其中,由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,最大超调量：,故：,将峰值时间 代入,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,调节时间：,可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为,根据调节时间的定义，当tts时|c(t)-c()|c()%。,当t=ts时，有：,由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,当 较小时，近似取：，且,所以,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,振荡次数N：,由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。,总结,为了限制超调量，并使 较小，一般取0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,三、改善二阶系统响应特性的措施,二阶系统超调产生过程0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用，大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,二阶系统超调产生原因0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近t1 点。t1,t2 反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。,a.输出量的速度反馈控制,将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内反馈回路。简称速度反馈。,b.误差的比例+微分控制,以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e(t)的和产生控制作用。简称PI控制。又称微分顺馈,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。速度反馈和速度顺馈是较常用的校正方法。,线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析,线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析,一、典型三阶系统的瞬态响应,传递函数：，当 时，极点分布如下：,式中：与（实极点与共轭极点的位置关系）有关。,式中：,线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析,分析：三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项，共轭复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。,影响瞬态特性的有两个因素：第一是，它表示 的相对位置。当 时，表示 离虚轴远，离虚轴近，系统的瞬态特性主要由 决定，呈二阶系统的特性。反之，当 时，表示 离虚轴近，离虚轴远，系统的瞬态特性主要由 决定，呈一阶系统的特性。第二个因素是阻尼系数，同前。如下图所示：,图中，表示无 极点，由图可见，加入极点 后，当 不变时，超调量下降了，但调节时间增加了。,线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析,线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析,二、高阶系统分析,高阶系统的传递函数为：,写成零极点形式：,其单位阶跃响应函数为：,线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析,可见，c(t)不仅与（闭环极点）有关，而且与系数 有关（这些系数都与闭环零、极点有关）。所以，高阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。,线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析,若极点远离原点，则系数小；极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小；极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。,衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。,系数 取决于零、极点分布。有以下几种情况：,线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析,例如：为某高阶系统的主导极点，则单位阶跃响应近似为：,利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。,在近似前后，确保输出稳态值不变；在近似前后，瞬态过程基本相差不大。,主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶系统。,高阶系统近似简化原则：,线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析,例如：,如果：,则：,说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下,线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件,稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。,线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。,如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,对于一阶系统，只要 都大于零，系统是稳定的。,对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。,注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。,二、劳思判据,设线性系统的特征方程为则该系统稳定的充要条件为：特征方程的全部系数为正值；由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。,劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，项系数组成，第二行为2，4，6，项系数组成。,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,以下各项的计算式为：,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,依次类推。可求得,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,例：特征方程为：，试判断稳定性。,解：劳斯阵为：,稳定的充要条件为：,均大于零,且,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：,用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面。,例：系统的特征方程为：,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。处理办法：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。,例：,令 则 故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。,例如:,处理办法：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,例：,从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得：,辅助方程为：，求导得：，或，用1，3，0代替全零行即可。,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。,线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析,线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算,系统误差：输出量的希望值 和实际值 之差。即,系统偏差：系统的输入 和主反馈信号 之差。即,系统稳态误差：当t时的系统误差，用 表示。即,系统稳态偏差：当t时的系统偏差，用 表示。即,一、误差及稳态误差的定义,线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算,偏差和误差之间存在一定的关系：,我们将偏差 代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。,这里 是基于控制系统在理想工作情况下 得到的。,线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算,二、稳态误差的计算,给定作用下的偏差传递函数,线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算,扰动作用下的偏差传递函数,线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算,给定和扰动同时作用下的偏差表达式,对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差,终值定理要求 和 可拉氏变换；存在；并且除在原点处可以有极点外，的所有极点都在s平面的左半开平面。,即只有稳定的系统，才可计算稳态误差。,线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算,例 系统结构图如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？,系统特征方程为,线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算,三、给定输入作用下系统的误差分析,这时，不考虑扰动的影响。可以写出随动系统的误差：,显然，与输入和开环传递函数有关。,线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算,式中：开环放大系数；积分环节的个数；开环传递函数去掉积分和比例环节；,可见给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的开环增益有关；与积分环节的个数有关。,