棱柱、棱锥的概念和性质.ppt

棱柱、棱锥的概念和性质要点梳理1.棱柱、棱锥的定义,平行,平行,多边形,有一个公共顶,点,两个侧面的公共边,互相平行的面,侧面与底面的公共顶点,各侧面的公共顶点,两个底面所在平面的公垂线段,顶点到底面所在平面的垂线段,多边形,2.棱柱、棱锥的性质,平行四边形,三角形,与底面全等的多边形,与底面相似的多边形,3.四棱柱的一些常用性质（1）平行六面体的四条对角线 且在；（2）直棱柱的 与高相等，直棱柱的 及 过 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 垂直；（3）正四棱柱与正方体的底面都是，正方 体的侧面和底面都是；（4）长方体的 等于同一个顶 点上三条棱长的.,交于一点,该点,互相平分,侧棱长,侧面,不相邻两条侧棱,底面,正方形,正方形,一条对角线长的平方,平方和,若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所成角分别为、，则cos2+cos2+cos2=；若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所成角分别为、，则cos2+cos2+cos2=.,1,2,4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象(1)定义：底面是，并且顶点在底面上的射影是底 面的，这样的棱锥叫做.(2)性质：侧面是，与底面所成二面角 均；侧棱均，侧棱与底面所成的角均；平行于底面的截面也是；纵截面是；正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径.,正多边形,中心,正棱锥,全等的等腰三角形,相等,相等,相等,正多边形,等,腰三角形,5.体积公式（1）柱体体积公式为V=，其中 为底面面 积，为高;（2）锥体体积公式为V=，其中 为底面面 积，为高.6.侧面积与全面积（1）棱柱的侧面积是各侧面，直棱柱的 侧面积是底面周长与；棱锥的侧面积是各 侧面，正棱锥的侧面积是底面周长与.（2）全面积等于 与 之和，即S全=+.,Sh,h,S,S,h,面积之和,高之积,面积之和,斜,高积的一半,侧面积,S侧,S底,底面积,基础自测1.以下命题中正确的是（）A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面 都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面 体是棱锥 C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.长方体一定是正四棱柱,C,2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（）A.棱柱有一条侧棱与底面垂直 B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直 D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直,B,3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为（）,C,4.（2009陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以 该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积 为（）解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个 正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个 正四棱锥的高为，所以,B,5.若一个正三棱柱的高为1，体积为2，则一条侧 棱到与它相对的面之间的距离为（）解析 由体积公式V=Sh可得底面积为 若设底面三角形的边长为a，则有 所 以a=2，故侧棱到相对面的距离为,D,题型一 棱柱、棱锥的概念和性质【例1】如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它 为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5 个命题中：等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等 或互补；底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上.其中真命题为（写出所有真命题的序号）.,思维启迪 结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行判断.解析 真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面所成的角都相等；假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不都相等或互补.故是假命题；假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；,假.理由同；真.因为由知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上.答案 本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结论.,探究提高,知能迁移1 设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥.其中真命题的序号是.解析 命题符合平行六面体的定义,故命题是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题是错误的.,题型二 棱柱、棱锥中的平行与垂直【例2】如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，ACB=90,AB=2,BC=1,AA1=.（1）证明：A1C平面AB1C1；（2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点 E，使DE平面AB1C1？证明你的结论.（1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理；（2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质 定理.,思维启迪,证明（1）ACB=90，BCAC.三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，BCCC1.ACCC1=C，BC平面ACC1A1.A1C平面ACC1A1，BCA1C.BCB1C1，B1C1A1C.在RtABC中，AB=2，BC=1，AC=.AA1=，四边形ACC1A1为正方形，A1CAC1.B1C1AC1=C1，A1C平面AB1C1.（2）当E为棱AB的中点时，DE平面AB1C1.证明如下：,如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点,EFAB1.AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，EF平面AB1C1.同理可证FD平面AB1C1.EFFD=F，平面EFD平面AB1C1.DE平面EFD，DE平面AB1C1.探究提高 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等.,知能迁移2 如图所示，四棱锥P ABCD的底面是矩形，侧面PAD是 正三角形，且侧面PAD底面ABCD，E为侧棱PD的中点.（1）求证：PB平面EAC；（2）求证：AE平面PCD.解（1）连结BD与AC交于O，连结OE，O,E分别为BD，PD的中点，OEPB，且OE平面EAC，PB平 面EAC，PB平面EAC.（2）方法一 ABCD是矩形，CDAD.又平面PAD平面ABCD=AD，平面ABCD平面PAD，,CD平面PAD.又AE平面PAD，CDAE.正三角形PAD中，E为PD的中点，AEPD.又PDCD=D,AE平面PCD.方法二 ABCD是矩形，CDAD.又平面PAD平面ABCD=AD，平面ABCD平面PAD，CD平面PAD.又CD平面PDC,平面PDC平面PAD.正三角形PAD中，E为PD的中点，AEPD.又平面PDC平面PAD=PD.AE平面PCD.,题型三 棱柱、棱锥中的角和距离【例3】如图所示，四棱锥PABCD的 底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、PD都和底面成45角.（1）求PC与BD所成的角；（2）求PC与底面ABCD所成角的正切值；（3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.在（3）中，关键是确定O在平面PMN中 的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面 PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.,思维启迪,解（1）侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，且两侧面交于PA，PA底面AC.又BDAC，BDPC，即PC与BD所成的角为90.（2）PA底面AC，PCA是PC与底面AC所成的角，PBA为PB与底面AC所成的角.在RtPAB中，PA=AB=a，AC=a，（3）BDAC,BDPA,BD平面PAC.又MNBD，MN平面PAC.平面PAC平面PMN.,设MNAC=Q，连结PQ，则平面PAC平面PMN=PQ.作OHPQ，垂足为H，则OH平面PMN，OH的长即为O到平面PMN的距离，作AGPQ于G.在RtPAQ中，PA=a,探究提高（1）解决空间角度问题，应特别注意垂直关系.如果空间角为90，就不必转化为平面角来求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到平面的距离等.,知能迁移3 如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角 梯形，且ABCD，BAD=90，PA=AD=DC=2，AB=4.（1）求证：BCPC；（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；（3）求点A到平面PBC的距离.（1）证明 在直角梯形ABCD中，因为ABCD，BAD=90，AD=DC=2，所以ADC=90，且AC=2.取AB的中点E，连结CE，由题意 可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2.,则ABC为等腰直角三角形，所以ACBC.又因为PA平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC平面ABCD，由三垂线定理得BCPC.（2）解 由（1）可知，BCPC，BCAC，PCAC=C，所以BC平面PAC.又因为PC是PB在平面PAC内的射影，所以CPB是PB与平面PAC所成的角.又CB=2，PB2=PA2+AB2=20，,PB=2，sinCPB=即PB与平面PAC所成角的正弦值为（3）解 由（2）可知，BC平面PAC，BC平面PBC,所以平面PBC平面PAC.过A点在平面PAC内作AFPC于F，所以AF平面PBC.则AF的长即为点A到平面PBC的距离.在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2，PC=2，所以，即点A到平面PBC的距离为,题型四 棱柱、棱锥的体积和面积【例4】（12分）如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD=60,BDC=45,ADPBAD.（1）求线段PD的长；（2）若PC=求三棱锥P-ABC的体积.思维启迪 解答本题时求线段PD的长只需利用 ADP与BAD相似即可求出，而求三棱锥P ABC的体积需先证明PD平面ABC，即PD为三棱 锥的高即可求解.,解题示范解(1)BD是圆的直径,BAD=90.又ADPBAD，(2)在RtBCD中，CD=BDcos 45=PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2PDCD,又PDA=90=DABPD底面ABCD 8分,4分,几何体的体积计算是一种常见的题型，除了直接套用公式求体积的方法以外，还有一些常用的方法：,10分,12分,探究提高,（1）体积转换法：当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法特别适合于求三棱锥的体积.（2）割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法.割补法是割法与补法的总称.补法是把不熟悉的（或复杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体.割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面.,知能迁移4（2009海南、宁夏文，18）如图，在 三棱锥PABC中，PAB是等边三 角形，PAC=PBC=90.(1)证明：ABPC；(2)若PC=4，且平面PAC平面 PBC，求三棱锥PABC的体积.(1)证明 因为PAB是等边三角形，所以PB=PA.因为PAC=PBC=90,PC=PC，所以RtPBCRtPAC，所以AC=BC.如图，取AB中点D，连结PD、CD，则PDAB,CDAB,又PDCD=D,所以AB平面PDC,所以ABPC.(2)解 作BEPC,垂足为E，连结AE.因为RtPBCRtPAC，所以AEPC,AE=BE.由已知，平面PAC平面PBC，故AEB=90.因为AEB=90，PEB=90,AE=BE,AB=PB,所以RtAEBRtBEP,所以AEB、PEB、CEB都是等腰直角三角形.由已知PC=4，得AE=BE=2，AEB的面积S=2.因为PC平面AEB.所以三棱锥PABC的体积,思想方法 感悟提高方法与技巧1.要准确地理解棱柱、棱锥的概念和性质，充分利 用直线和平面的位置关系，对这些概念和性质加 以研究.2.棱柱、棱锥问题中经常遇到侧棱、侧面与底面所 成角的问题，解决这些问题时一般从顶点向底面 作垂线，利用前面学过的知识，准确判断垂足的 位置，以此沟通各种关系.3.求棱柱的侧面积，如果有直截面存在，可利用公 式S侧=C直截面侧棱；如果无直截面存在，则需分 别求各侧面的面积，然后相加.,失误与防范1.在解正棱锥的问题时，要注意利 用四个直角三角形，如图所示，O 为底面正多边形的中心，E为AB的 中点，四个直角三角形为RtVOA、RtAEO、RtVEA和RtVOE，它们包含了棱锥 高、斜高、侧棱、底边长的一半、底面正多边形 半径.2.在求空间几何体的体积时，也常用到转化的思 想，将其转化为其他几何体的体积来求.,定时检测一、选择题1.下列命题中，成立的是（）A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B.四面体一定是三棱锥 C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定 是正棱锥 D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相 等的棱锥一定是正棱锥,解析 A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；C是错误的，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥；D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥.答案 B,2.正棱锥的高缩小为原来的，底面外接圆半径扩 大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的（）解析 设原棱锥高为h，底面面积为S，,B,3.如图，已知高为3的直三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1ABC的体积为（）解析 因为ABC是边长为1的正三角形，故面积 为 故三棱锥的体积为,A,4.若长方体的三条棱长之比为123，全面积为 88，则它的对角线长为（）A.12 B.24 C.D.解析 设长方体的三条棱长分别为k，2k，3k，则 由题意可知2（k2k+2k3k+3kk）=88，故k2=4.于是，对角线长为,C,5.（2008四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边 长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 60的菱形,则该棱柱的体积等于（）A.B.C.D.解析 如图所示,由题意可得 AA1C1=AA1B1=60,AA1=A1B1=B1C1=A1C1=2.所以过点A作AO平面A1B1C1,则O在B1A1C1的平分线上.过O作OEA1B1,连结A1O,AE,易证cosAA1E=cosAA1OcosOA1E，答案 B,6.（2009辽宁理，11）正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点,则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC 体积之比为（）A.11 B.12 C.21 D.32 解析 如图，设棱锥的高为h，,C,二、填空题7.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于.解析 如图所示,设底面边长为a,则2a2=(2)2，a=2，OM=.,8.设正三棱锥VABC底面边长为2,高为2,则侧 棱与底面所成角的大小为.解析 如图所示,由已知在正ABC 中,AB=2,O为ABC重心,AO=2,VO=2,且VOAO，VAO=45.,45,9.（2008江西理，16）如图（1）所示，一个正四 棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底 的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒 置，水面也恰好过点P（如图（2）所示）.有下列 四个命题：,A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经 过点P；D.若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满.其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代 号）解析 设正四棱柱底面边长为b，高为h1,正四棱锥高为h2,则原题图（1）中水的体积为：图（2）中水的体积为：b2h1-b2h2=b2（h1-h2），,对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确.对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为矛盾，故C不正确.答案 B.D,三、解答题10.（2009福建文，20）如图，平行四边形ABCD中，DAB=60,AB=2,AD=4.将CBD 沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE.(2)求三棱锥EABD的侧面积.(1)证明 在ABD中，AB=2,AD=4,DAB=60,AB2+BD2=AD2,ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABD=BD，AB平面ABD，AB平面EBD.DE平面EBD，ABDE.(2)解 由（1）知ABBD.CDAB，CDBD.从而DEBD.在RtDBE中，DB=2，DE=DC=AB=2，,又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BE=BC=AD=4，DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD，而AD平面ABD，EDAD,综上，三棱锥EABD的侧面积S=8+2.,11.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1中点，P是BC上 一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M 的最短距离长为，设这条最短路线 与CC1的交点为N，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC与NC的长；（3）此棱柱的表面积.解（1）正三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图是一个 长为9，宽为4的矩形，其对角线长为,（2）如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连结MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.设PC=x，即P1C=x，在RtMAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22=29，求得x=2，PC=P1C=2.,12.如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1 中，AB=AA1，D是BC的中点.（1）求证：A1B平面AC1D；（2）求二面角CAC1D的大小.（1）证明 ABCA1B1C1是正三棱柱，D是BC的中点.连结AC1与A1C相交于E点，在A1BC中，D、E是中点，A1BDE，又DE在平面AC1D内，A1B平面AC1D.,（2）解 作CFC1D于F，则CF平面AC1D，连结EF，CEAC1,EFAC1，CEF就是二面角CAC1D的平面角.令CD=1，则CC1=2，,返回,