应用数理统计.docx
第六章正交试验设计在生产实践中，试制新产品，改革工艺，寻求好的生产条件，提高产 品的质量和产量，都需要作试验，如何使做实验的次数尽量少，而得到的 结果尽可能的好，则应对试验做合理的安排.正交试验设计时利用正交表安排多因素影响指标的试验，每个因素又 有2到3个水平，用最少的组合次数安排试验，并分析出因素的主次，最 优的组合方式，较优的生产工艺条件，并指出下一步试验的方向.一、正交表正交表是一种特制的表格，一般用Ln (冰)表示，L代表是正交表，n 代表试验次数或正交表的行数，k表最多可安排影响指标因素的个数或正交 表的列数，m表示每个因素水平数.如L9 (34)表4个因素，每个因素3个水平，安排9次试验，若全面 组合搭配试验则需81次.又如L8 (27)表7个因素，每个因素2个水平，安排8次试验，若全 面组合搭配试验则需128次.再如L27 (313)表13个因素，每个因素3个水平，安排27次试验，若 全面组合搭配试验则需1594323次.一般常用表有32张，包括交互作用表、表头设计表等，且有n1=k(m 1 )，9 1 = 4X( 3 1 )，8 1 = 7 X( 2 1 )，27 1 = 13 X( 3 1). L 16(4x212)16次试验，1个因素4个水平，12个因素2个水平，161 =1x (41)+12x(21) = 15. L (43x26)16 次试验，3 个因素 4 个水平，6 个因素 2 个水平，161 = 3x (41)+6x(21) = 15.对L9(34), 1, 2, 3三个数中可能的数对为(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)九种.表中任意两列九对数皆出现一次，称之为搭配均匀，分配合理，组最 佳，前三列A1(1,1,1),A2 (1,2,2),A3 (1, 3, 3), A4 (2,1, 2),A5 (2,2,3),A6(2, 3, 1),A7(3, 1, 3),A8(3,2,1),A9(3, 3,2)前中后，左中右，上中下9个平面各三个点.可在空间直角坐标系下设原点为A(1, 1, 1)表出.二、应用1、单指数正交实验设计例1 为了提高某种产品的转化率，决定进行试验寻找较好的生产 工艺条件，据以前生产经验影响指标的4个因素及每因素3个水平见表， 其中转化率越大越好，A表反应温度(c ), B表反应时间(秒)，C表用碱 量(kg), D表反应压力(大气压).（1）排正交表L9（34）作9次试验，其试验结果如表，称之为极差分析 表.（2）极限分析管一管' 列号试验号A234产品转化率 叫111113121222543133338421235352231496231242731325783213629332164123141135144总和450K1441651711532jK3j1831441441533j 极差R;6024369%, i表水平数，j表因素，K表示A因素第一个水平下试验值之和； K23表示C因素第二个水平下试验值之和；K32表示B因素第三个水平下试 验值之和.K =31+54+38 = 123,11K =54+53 + 64=171，23K =38+42+64=144.322°比一比极差R 二 max K - min K，R1= 183-123=60, R2=24, %=36,件9.由于各因素在不同水平下的差异大，表明该因素对指标影响大，则可按极差大小顺序排出因素主次，本例为A TC TB TD.最优水平组合AC BD或AC BD 32223 2 2 3由于试验号没有该水平组合，可补充该组合试验，考察该试验的该产品的转化率是否更好.（3）方差分析（可判定对指标的影响程度）1。总离差平方和ST=y (y. - y )2 =yi=1y2ii=1ny 2= yy ii=11右y )2且 ni=1白 X 2( n-1)文 2(8).2°各因素组间平方和S，）2 in V m 7 _kn即各j列组间平方和，j=1，2，3，m < n iji=1且_1_Sj X2 (m- 1)=X2 (2)n -1 = k (m 一1).本例中，、2仔y"i=" 7S1 = SA = 3(232 +1442 +1832)- 9 x 4502 = 618，y 1S ="y 2 -_T i 9 i=11-=23484-_x450z = 984，9S 2 = SB= 3 <412 + 1652 + 1442 )一 1 X 4502 = 114，S 3 = " 3，52 + 1712 + 1442)一 9 X 4502 = 234，+1532 +1532)-1 x 4502 = 18 = S9F=些=34.33， a 18/2F =114 = 6.33, b 18，234F = = 13.0 c 18A作用显著，B、C不够显著，仅有影响.口 二0.05, F0.05（2,2）T9.00，2、多指标分析法 若考察的指标是多个，一般可用二种方法.（1）综合平衡法，如考察产品的质量为3个指标，抗压强度、落下强 度和裂纹度，前两项大好，后一项小好.三个因素A（水分）、B（粒度）、。（碱 度）各三个水平仍按L G）安排试验，极差分析，分别得最优组合.抗压强度9A2 B3C1B t C T A落下强度A 3 BC 2B C A因素主次裂纹度综合后A B3C1A2 B3C1.B C A（2）综合评分法，按指标的重要性给一定的权系数，如生产一种化工 产品，两个指标：核酸纯度和回收率，纯度重要性是回收的4倍，则权系 数分别为4和1，仍按正交试验设计分析最优组合和因素主次.3、对因素取不同水平的混合水平的正交试验设计，可选用混合水平正 交表如L （41 x24）. 1个因素4水平，4个因素2水平，8次试验.分析方法8相同，拟水平法是对缺水平的因素补一个水平使之成同水平数即可.4、有交互作用的正交试验设计（1）交互作用表 按此作表头设计（P278）可号表12.17 匕）的交互作用表1234567(6)1列号（）325476(2)16745765412332从左往右看，带括号之列与从上往下看的不带括号之列交叉处为交叉作用 列.如（1） x2置于第3列，（2） x4置于第6列.若考虑四个因素A、B、C、D及AxB, AxC, BxC,则表头设计列号:123456ABAxBCAxCBxC例2.设某产品的产量y和四个因素A、B、C、D及AxB有关.每个因素2个水平，选择正交表£8(27)试验结果分别为115、160、145、155、140、 155、100、125,作分析选D第7列以避免选5、6列影响AxC、BxC.解 (1)极差分析1°分别计算k口,K . j=1，2,，7,如表2°计算极差r ., j=1, 2,，7.如表，按极差大小排出因子主次C AxB A B D.3°选最优组合B1B2A1 115+160=275145+155=300最大者取 A1B2A2 140+155=295100+125=225故最优组合C AB D .2 12 2（2）方差分析1 °总离差平方和S ="(»)2 = 153125-1 x 10952 = 3246.875T ." i 8 . i8.2° S = 2( K 2 + K 2)-"艺 y )2 j 8 1 j2 j 8 ii=1、 cr 1,、=_(K + K )2 -2K K -_(K + K )241 j2 j1 j 2 j 81 j2 j1、11,c 、=_(K + K )2- K K =-(K2 + K2 -2K K )81 j2 j2 1 j 2 j81 j2 j1 j 2 j11=-(K-K2 .)2 = - R 2各因素离差平方和如下表所示.方差分析表方差来源离差平方和自由度平均离差平方和F值A378.11378.1Fa =7.11B253.11253.1F/4.76C1128.111128.1FC=21.21 *D253.11253.1Fd 耳76AxB1128.111128.1凡妒2L21 *误差E106.375253.1875总和T3246.8757a =0.05 命5（1'2） = 18.51,因素 AXB, C 显著.例3陶粒混凝土的抗压强度试验，考虑A、B、C、D、E、F, 6个因素，每个因素3个水平，以及交互作用AxB, AxC, BxC.A因素水泥标号300(A1)400 (%)500 (A,)B因素水泥的用量（Ag）180190200C因素陶粒的用量（Ag）150180200D因素含砂率（%）384042E因素养护方式空气水烝汽F因素搅拌时间（分）11.52取L27（313）正交表安排试验，每交互作用列占两列，表头设计为（见L27（313） 交互作用表）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13A BA x BCA x C。空EFB x C试验数据> i:103， 98， 97， 95， 96， 99， 94， 99， 101， 85， 82， 98， 85， 90， 85， 91，89, 80，73, 90，77, 84, 80，76, 89, 78, 85,共 27 次试验，史七=2399 .i=1K882803798810799803791787839794793827797K785790807790802792802800799800804785801K.3j732806794799798804806812761805802787801R. j1501613204121525781111424S. j1285.85216.0749.85222.2960.9639.85213.40734.741338.0746.7417.63124.731.185S = !(K 2 + K 2 + K 2)-如芸7 > )2，j 9 1 j2j3j 27 ii=1因素主次：A r D r E r Bx C r B r AxB r Ax C r F r C ,S = S + S + S = 0.963+1.185+ 6.741= 8.889白由度 f =6E 51013，白出度 Je6,f=4，f =4， f =4，f = f = f = f = f =2，BxCAxBAxCA B D E F若a =0.05，F)02,6) =5.14，如4,6) =4.53，又若a =0.01，F)0(2,6) =10.92，F00(4,6) =9.15，,F = 5.42 *, ' = 5.42*,则 F =竺=1285.852/2 =433.82 *a MSe8.889/6FD = 114.08 *, Fe = 42.09 *, FB C = 7.15 *, FA C = 3.92 *A, D高度显著，E明显显著，BxC, B, AxB显著.以下分析最优组合：C1C2C3B1103+85+73=26198+82+90=27097+98+77=272B295+85+84=26496+90+80=26699+85+76=260B394+91+89=27499+89+78=266101+80+85=266最优组合b3c1，较优组合b1c3或b1c2B1B2B3A1103+98+97=29895+96+99=29094+99+101=294A285+82+98=26585+90+85=26091+89+80=260A373+90+77=24084+80+76=24089+78+85=252最优组合A1B1，较优组合A1B3或A1B2.最终最优组合方式：arcdf 或a1b3c1d1e1f2.JL JL O JL JL 乙JL O JL JL JL
