平行四边形的性质复习.docx

平行四边形的性质复习（2）例1 （2012-阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分ZABC, CF平分ZBCD,BE、CF交于点G.若使EF=14AD,那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A.ZABC=60° B. AB： BC=1： 4 C. AB： BC=5： 2 D. AB： BC=5： 8思路分析：根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等， 然后根据两直线平 行内错角相等，得到ZAEB=ZEBC，再由BE平分匕ABC得到 ZABE=ZEBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC 得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当 EF=AD时，4设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的 式子表示出AB即可得到AB与BC的比值.解答：解：四边形ABCD是平行四边形，.ADBC，AB=CD，AD=BC，AZAEB=ZEBC，又BE平分ZABC，AZABE=ZEBC，.ZABE=ZAEB，.AB=AE，同理可得：DC=DF，.AE=DF，.AE-EF=DE-EF，即 AF=DE，1当 EF=AD 时，设 EF=x，贝AD=BC=4x，41.AF=DE= （AD-EF） =1.5x，2. AE=AB=AF+EF=2.5x，.AB： BC=2.5： 4=5： 8.故选D.点评：此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本 性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用.例2 （2012-广安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD， 点 F 在 AD 上，AF=AB，求证：AEFDFC.思路分析：由四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得 AB=CD, ABCD,又由平行线的性质，即可得ZD=ZEAF,然后由BE=AD, AF=AB,求得AF=CD, DF=AE，继而利用 SAS 证得：AEFDFC.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD, ABCD,AZD=ZEAF,AF=AB, BE=AD,.AF=CD, AD-AF=BE-AB,即 DF=AE,在AEF和 DFC中，严=DFIZEAF = ZD，AF = DC.AEF*DFC (SAS).点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定.此题难度不大，注意数形结合思想 的应用.对应训练3. (2012-永州)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB手AD，过O作OELBD 交BC于点E-若八CDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长为.ADQ3. 20考点：平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质.分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即 可得OB=OD, AB=CD, AD=BC，又由OELBD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根 据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由 CDE的周长为10,即可求得平行四边形 ABCD的周长.解：.四边形ABCD是平行四边形，.OB=OD, AB=CD, AD=BC,VOEXBD,.BE=DE,CDE的周长为10,即 CD+DE+EC=10,.平行四边形 ABCD 的周长为： AB+BC+CD+AD=2 （BC+CD） =2 （BE+EC+CD） =2 （DE+EC+CD） =2x10=20.故答案为：20.点评：此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质.此题难度适中，注意掌握数 形结合思想与转化思想的应用.4. （2012-大连）如图，ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF, EF与AC相 交于点O,求证：OA=OC.4. 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据 ED=BF，可得出 AE=CF，结合平行线的性质，可得出 ZAEO=ZCFO， ZFCO=ZEAO，继而可判定 AEOCFO，即可得出结论.证明：四边形ABCD是平行四边形，AAD=CB，ZAEO=ZCFO，ZFCO=ZEAO，又 VED=BF，.AD-ED=BC-BF，即 AE=CF，严=CF在AEO 和 ACFO 中，ZAEO = ZCFO，ZFCO= ZEAO.AEO*CFO，.OA=OC.点评:此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出ED=BF及ZAEO=ZCFO, ZFCO=ZEAO是解答本题的关键.考点四：平行四边形的判定例3 （2012-资阳）如图，AABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个 点，ZADE=ZDAC, DE=AC.运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假 命题？（A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一组对边平行的四边形是梯形C. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D. 对角线相等的四边形是矩形E DC思路分析：已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等 三角形判定方法得出匕B=ZE, AB=DE，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形 不是平行四边形，得出答案即可.解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求， 得出故此选项错误；B. 有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故 此选项错误；C. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，ABC是等腰三角形，AAB=AC，ZB=ZC，DE=AC，AD=AD，ZADE=ZDAC，| DE = AC即 lAADE = ADAC，、AD = AD.ADE*DAC，AZB=ZE，AB=DE，但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，故此选项正确；D. 对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；故选：C.点评：此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得出 已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键.例4 （2012湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF.求证：（1）ABE£CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形.A E Z?思路分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等， 即可证得ZA=ZC，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定ABECDF；（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得ADBC，AD=BC，又由AE=CF,即可证得DE=BF,然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边 形，即可证得四边形BFDE是平行四边形.证明：（I）：四边形ABCD是平行四边形，AZA=ZC, AB=CD,在 ABE和CDF中，AB = CD</A = ACAE = CF.ABE*CDF （SAS）；（2）：四边形ABCD是平行四边形，.ADBC，AD=BC， AE=CF，.AD-AE=BC-CF，即 DE=BF，.四边形BFDE是平行四边形.点评：此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定.此题难度不大，注意数 形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用.对应训练5. （2012泰州）下列四个命题：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱 形；正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有（）A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理；菱形的判定；正方形的判定；命题与定理; 轴对称图形；中心对称图形.分析：根据平行四边形的各种判定方法、正方形的各种判定方法、菱形的各种判定方法以及 正多边形的轴对称性逐项分析即可.解：一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是 平行四边形，故该命题正确；对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如 图所示），故该命题错误；C 因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所 以是菱形，故该命题正确； 正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B.点评：本题考查菱形的判定，平行四边形的判定以及正方形的判定定理以及真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.6.（2012-沈阳）已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF， 连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.（1）求证：AEMCFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：（1）先根据平行四边形的性质可得出AD#BC，ZDAB=ZBCD，再根据平行线的性 质及补角的性质得出ZE=ZF，ZEAM=ZFCN，从而利用ASA可作出证明；（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM£DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明.证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AZDAB=ZBCD，.ZEAM=ZFCN，QADBC，AZE=ZF.在AEM与 CFN中，WEAM = ZFCN< AE = CF ，/E = /F.AEM*CFN；（2）V四边形ABCD是平行四边形，.AB = CD，又由（1）得AM=CN，.BM DN，.四边形BMDN是平行四边形.点评：本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单.【聚焦山东中考】1. （2012烟台）如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则 一个内角为 度（不取近似值）。9001.7考点：多边形内角与外角.分析：根据正多边形的定义可得：正多边形的每一个内角都相等，则每一个外角也都相等， 首先由多边形外角和为360°可以计算出正七边形的每一个外角度数，再用180°-一个外角的 度数=一个内角的度数.360解：正七边形的每一个外角度数为：360°-7=（二厂）°360900、则内角度数是：180°-（二厂）°=（二厂）900故答案为：万一点评：此题主要考查了正多边形的内角与外角，关键是掌握正多边形的每一个内角都相等. 2.（2012-泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CEXAB，垂足为E,若 ZEAD=53°，则ZBCE的度数为（ ）A. 53° B. 37° C. 47°D. 123°2. 考点：平行四边形的性质.分析：设EC于AD相交于F点，利用直角三角形两锐角互余即可求出ZEFA的度数，再利 用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出ZBCE 的度数.解：.在平行四边形ABCD中，过点C的直线CELAB，AZE=90°，VZEAD=53°，AZEFA=90°-53°=37°，.ZDFC=37.四边形ABCD是平行四边形，.ADBC，AZBCE=ZDFC=37°.故选B.点评：此题主要考查了平行四边形的性质和对顶角相等，根据题意得出ZE=90°和的对顶角 相等是解决问题的关键.3.（2012-聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD 上的点，那么 CDF与ABE不一定全等的条件是（）A. DF=BE B. AF=CE C. CF=AE D. CFAE考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定.分析：根据平行四边形的性质和全等三角形 的判定方法逐项分析即可.解：A、当DF=BE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD,ZB=ZD,利用SAS可判定 CDF*ABE；B、当AF=CE时，有平行四边形的性质可得：BE=DF, AB=CD,ZB=ZD,利用SAS可判 定 CDF*ABE；C、当CF=AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD,ZB=ZD,利用SSA不能可判定 CDF*ABE；D、当CFAE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD,ZB=ZD,ZAEB=ZCFD，利用 AAS 可判定 CDFABE.故选C.点评：本题考查了平行四边形的性质和重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形 全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本 题是一道较为简单的题目.4.（2012-烟台）口ABCD 中，已知点 A （-1，0），B （2，0），D （0，1）.则点 C 的坐 标为.4.（3， 1）考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质.专题：计算题.分析：画出图形，根据平行四边形性质求出DCAB，DC=AB=3,根据D的纵坐标和CD=3 即可求出答案.解：如图，.平行四边形ABCD中，已知点A （-1，0），B （2，0），D （0，1），.AB=CD=2- （-1） =3，DCAB，.C的横坐标是3,纵坐标和D的纵坐标相等，是1，C的坐标是（3，1 ），故答案为：（3，1）.QC点评：本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，能根据图形进行推理和求值 是解此题的关键，本题主要考查学生的观察能力，用了数形结合思想.5. （2012-济南）（1）如图1，在口ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF.求证：DE=BF.5 .考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.专题：证明 题.分析：（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角 的对应相等，在加上已知的一对边的相等，利用SAS”，证得 ADECBF，最后根据全 等三角形的对应边相等即可得证；（2）首先根据AB=AC，利用等角对等边和已知的NA的度数求出匕ABC和匕C的度数， 再根据已知的BD是匕ABC的平分线，利用角平分线的定义求出ZDBC的度数，最后根据 三角形的内角和定理即可求出ZBDC的度数.解答：（1）证明：.四边形ABCD是平行四边形，AAD=BC，ZA=ZC，在ADE 和CBF 中，AD = CB/A = ZC，AE = CF.ADE*CBF (SAS)，.DE=BF；(2)解：.AB=AC，ZA=40°，180 - 40AZABC=ZC=-=70°，。匕O又BD是匕ABC的平分线，1.ZDBC=匕 ABC=35°,2AZBDC=180°-ZDBC-ZC=75°.点评：此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线 的定义以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解本题的关键.6. （2012-威海）（1）如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别 交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF.(2)如图，将ABCD (纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处， 点B落在点B1处，设FB1交CD于点G, AB分别交CD, DE于点H, I.求证：EI=FG.46. 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换(折叠问题).分析：(1)由四边形ABCD是平行四边形，可得ADBC，OA=OC，又由平行线的性质， 可得Z1=Z2，继而利用ASA，即可证得 AOEACOF，则可证得AE=CF.(2)根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，ZA1=ZA=ZC，ZB1=ZB=ZD， 继而可证得 AJEgACGF，即可证得EI=FG.证明：(1)如图，四边形ABCD是平行四边形，.ADBC，OA=OC，AZ1=Z2，在 AOE和 COF中，Z1 = Z2< OA = OC ，/3 = Z4.AOE*COF (ASA)，.AE=CF；(2)V四边形ABCD是平行四边形，AZA=ZC，ZB=ZD，由(1)得 AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，ZA1=ZA，ZB1=ZB，AA1E=CF，ZA1=ZA=ZC，ZB1=ZB=ZD，又 VZ1=Z2，AZ3=Z4,VZ5=Z3,Z4=Z6,AZ5=Z6,在 A1IE 与 CGF 中，*C</5 = Z6，AE = CFI 1AAA1IEACGF （AAS）,.EI=FG.点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度 适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.7. （2012-潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AMXBC于M，交BD于E，过 C点作CNLAD于N，交BD于F，连接AF、CE.（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB： AE的值.3J,/ C7. 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质; 解直角三角形.专题：几何综合题.分析：（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AECF；然 后由全等三角形的判定定理ASA推知 ADEACBF；最后根据全等三角形的对应边相等 知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）如图，连接AC交BF于点0.由菱形的判定定理推知ABCD是菱形，根据菱形的邻 边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM ± BC”证得 ADECBF（ASA），所以AE=CF （全等三角形的对应边相等），从而证得ABC是正三角形；最后在 RtBCF中，利用锐角三角函数的定义求得 CF： BC=tanZCBF33，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC） AB： AEM».解答：（1）证明.四边形ABCD是平行四边形（已知），BCAD （平行四边形的对边相互平行）；又AM ± BC （已知），AAMXAD；CN ± AD （已知），.AMCN，.AECF；又由平行得ZADE=ZCBD，又AD=BC （平行四边形的对边相等）， 在 AADE 和CBF 中，ZDAE = /BCF = 90< AD = CB，ZADE= ZFBC.ADE*CBF （ASA），.AE=CF （全等三角形的对应边相等），.四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）;（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，则AC与EF互相垂直平分，.BO=OD （平行四边形的对角线相互平分），.AC与BD互相垂直平分，.ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），AB=BC （菱形的邻边相等）； M是BC的中点，AM ± BC （已知），.ABM*CAM，.AB=AC （全等三角形的对应边相等），.ABC为等边三角形，AZABC=60°，ZCBD=30°；<3在 RtBCF 中，CF： BC=tanZCBF=§，XVAE=CF，AB=BC，.AB： AE=*'3 .3* C点评：本题综合考查了解直角三角形、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等 边三角形的判定与性质等知识点.证明（2）题时，证得口ABCD是菱形是解题的难点.