带电粒子在有界磁场中运动的临界(极限)问题.docx

带电子在有界磁场中运动的临界问题当某种物现象变化为另一种物现象或物体以 一种状态变化为另一种状态时，发生这 种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。与进入有边界的磁场，由于边界条件的同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带 电子恰好能从某个边界射出磁场， 可以根据边界条件确定子的轨迹、半径、在磁场中 的运动时间等。如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。一、带电子在有界磁场中运动的分析方法1 .圆心的盛定方法一：伦兹 F指向圆心，根据F±v，画出与运动轨迹中任意两点（一般是射入 和射出磁场两，点），先作出线找出 v的方向，单确定F的方向，沿两个伦兹 F的方向 画其延长线，两延长线的交点即为圆心，方洼二：或用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图 1所示。2.半径的确定和计算用平面几何关系!，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几 何特点：子速的 偏转角少等于转过的与轨迹 圆心角a ,并等于AB弦与线的夹角（弦 堇）。的2倍，如图2所示，如少=a =2。圈2相对的弦角 。相等，与相邻的弦角 。互补，如。+。 =180。3子在磁场中运动时间的确定要计算转过 任一段圆弧所用 的时间，则必须确定与转过的圆弧所对的 圆心角，用 圆心角a与弦角的关系，或者用四边形内角和等于360计算出圆心角a的大小，并由t = T 1 .-1 -?T 表达事，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该与做圆周逐动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与逐动轨迹的长短无关。4 带电子在两种典型有界磁场中运动情况的分析穿过矩形磁场区：如图3所示，-定要先画好辅助线（半径、速及延长线）。a、 带电子在穿过磁场时的偏向角由sinO=L/R求出；（。、L和R见图标）b、 带电子的侧彩由R2=L2- （R-y） 2解出；（y见所图标）* m8c、带电子在磁场中经历的时间由 ''得出。穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速、 轨迹圆的圆心、连心线）。a、带电子在穿过磁场时的偏向角可由2 只求出；（。、r和R见图标）b、带电子在磁场中经历的时间由 的得出。二、带电子在有界磁场中运动类型的分析1 给定有界磁场B（1）给定入射速的大小和方向， 判断带电子出射点或其它【1】（2001江苏高考试题）如图 5所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场 方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强为 B。一带正电的子以速v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为6。子射出磁场时的位置与 O点的 距离为l，求该子的电和质之比 q/m。解析：带正电子射入磁场后，由于受到仑装的作用， 子将沿图 6所示的轨迹逐 动，从A点射出磁场，O、A间的距离为l，射出时速的大小仍为 v0，射出方向与x轴的夹 角仍为6。由仑装公式和牛顿定可得，（我的点评确定与初射方向的方法：抗抗磁原，即子转动对应电的磁场方向，与已存在的空间磁场方向相反）I：戒I上i = m 丘，（式中R为圆轨道的半径）群得R=mv0/qB圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得l/2=Rsin6联、两式，解得q 2v0 sin 8洗 IB 。原文点评：大题给定带电子在有界磁场中运动的入射点和出射点，求该子的电和 质之比，也可以倒过来分析，求出射点的位置。在处这类问题时重点是画出轨迹图，根 据几何关系确定轨迹半径。p 箫qvnEi = m我的点评：磁场中子圆周运动计算题的核心是运用公式H ,由题目给出的已知求未知 .原则上，高考题中关于磁场中子圆周运动的计算是根据此公式或此公式的变形式展 开的.q V大题中所求的荷质比，也同样通过上面公式的变形式进计算，。m rB大题中已知V、B，需要求r，而确定r需要画出子的轨 迹圆。轨迹圆确定有几种方法 （与具体的已知条件有关，见另一文档），确定轨迹圆后，要注意结合平面几何、三角知识， 计算r。（2）给定入村速的 方向，而大小变化，判定子的 由村范围【2】如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强为 B，质为m，电荷为 e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场， 求：电子速 v的取值芦引？r解析：（1）带电子射入磁场后，由于速大小的变化，导致子轨迹半径的改变， 如图所示。当速最小、时，子恰好以 d点射出，由图可如其半径RjL/4，再由RmV/eB， 得eBL当速最大时，子恰好从R2=5L/4，再由 R2=mv2/eB，得居=计+ （句-c, d、射出，由图可如其半径R2满足，如5eBL峋=有电子速 v的取值范围为eBL <v < 5eBL . 4 m 4jti点评:大题给定带电子在有界磁场中运动的入射速的方向，由于入射速的大小发生改变，从而改变该子运动轨迹半径， 导致子的出射点、位置变化。在处这类问题时重点、是画出临界状态子运动的轨迹图，再根据几何关系确Q对应的轨迹半径，最后求解临 界状态的速。（3）给定入村速的大小，而方向变化，判定子的出射茨围【3】（2004广东高考试题）如图 8所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂 直于纸面向，磁感应强的大小B=0 , 60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平，在距 ab的距离l=16cm处，有一个点、状的a放射源S，它向各个方向发射a子， a子的速是v=3 0x106m/s，已知a子的电荷与质之比q/m=5 0x107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的a子，求 ab上被a子打中的区域的长。解析：a子带 正电（我的点、评一需要知道的原子物基础知识），故在磁场中沿逆时 针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有qvB=mv/R，由此得 R=mv/qB，代入数值得R=10cm。（我的点评为么必须先算出半径，然后再在此基础上分析？ ？ 如果比 计算出r，就无以知道轨迹圆与ab板的碰撞情况。）可见，2R>l>R，如图9所示，因朝同方向发射的a子的圆轨迹过 S，由此可知，某-圆轨迹在图中N左侧与ab相 ，则此点 P1 就是a 子能 打中的 左侧最远点。为定出 P1点的位置（我的，点评根#子在磁场中做圆周运动的特点，做辅助线！ ！待求线段长转换！ ！构成三角形！ ！），可作平于 ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。再考虑N的右侧。任何a子在运动中离S的距离可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2，点，此即右侧能打到的最远，点。由图中几何关系得所求长为P1P广NP1+NP2，代入数值得P1P2=20cm。点评：大题给定带电子在有界磁场中运动的入射速的大小，其对应的轨迹半径也就确定。 但由于入射速的方向发生改变， 从而改变该子运动轨迹图， 导致子的出射 点位置变化。在处这类问题时重点是画出临界状态子运动的轨迹图(对应的临界状态的速的方向)，再用轨迹半径与几何关系确定X对应的出射范围。2给定动态，畀磁场(1) 笫定入村速的大小和方向，判定子出村点的位置【41(2006天津市综试题)在以坐标原点 O为圆心、半径为r的圆形区域内， 存在磁感应强大小为 B、方向垂直于纸面向的匀强磁场，如图 10所示。一个计重 的带电子以磁场边界与 x轴的交点A处以速v沿-x方向射入磁场，恰好以磁场边界与ycx轴的交点C处沿+y方向飞出。60角，求磁感(1)由子的飞轨迹，用左手定则可知，该子带负电荷陶10(1) 请判断该子带何种电荷，并求出其比荷 q/m ；(2) 磁场的方向和所在空间范围变，而磁感应强的大小变为 B '，该子仍以 A处以相同的速射入磁场，但飞出磁场时的速方向相对于入射方向改变 应强 B'多大？此次子在磁场中运动所用时间 t是多少？解析：(1)由子的飞轨迹，用左手定则可知，该子带负电荷。如图11所示，子由 A点射入，由C点、飞出，其速方向改变 90，则子轨迹半 径r=R，又qvB = ffi K ,（核心公式！）q v则子的荷质比为 用跻（2）子以 D点飞出磁场速方向改变 60角，故AD弧所对圆心角60，子做圆周运动的半径氏硕件 = &，又（核心公式的变形！ ！ ！），所以子在磁场中飞时间：（我的直观解 速变，转角减小，表明向心减小，磁场强低。另-种直观快速解 速相同时， 磁场减小，转角减小 磁场为时， 直线运动，方向变。点评:大题给定带电子在有界磁场中运动的入射速的大小和方向， 但由于有界磁场 发生改变（包括磁感应强的大小或方向的改变），从而改变该子在有界磁场中运动的轨迹图，导致子的出射点、位置变化。在处这类问题时重点是画出磁场发生改变后子运 动的轨迹图，再用轨迹半径与几何关系确定对应的出射点的位置。（2）给定入射迷和出射迷的大小和方向，判定动态有界磁场的边畀位宣（r-文档由此！）【51（1994全国高考试题）如图 12所示，一带电质点，质为 m，电为 q，以 平于 Ox轴的速 v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为使该质点能以 x 轴上的b点以垂直于Ox轴的速 v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强为 B的匀强磁场。此磁场仅分布在一个 圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。 重忽计。国12解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动，qvB= (Mv2) /R，得 R= (MV) / (qB)。根据题意，质点、在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周(由入射、出射角 得到，而且子经过的空间一定有磁场) ，这段圆弧应与入射方向的速、出射方向的速 相 。如图13所示，过a点作平于x轴的直线，过b点作平于y轴的直线，则与这两直线均相距R的0点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O '为圆心、R 为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧MN，M ,点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。圈13在通过M、N两点的同的圆周中， 最小的一个是以MN连线为直径的圆周。所以大题所 求的圆形磁场区域的最小半径为：r = L疏=L底K7 =吏丘=吏竺22N 林，所求磁场区域如图13所示中实线圆所示。点评：大题给定带电子在有界磁场中运动的入射速和出射速的大小和方向，但由于有界磁场发生改变（磁感应强变，但磁场区域在改变），从而改变该子在有界磁场中运动的轨迹图，导致子的出射点位置变化。 在处这类问题时重点是画出磁场发生改 变后子运动的轨迹图， 确定临界状态的子运动轨迹图，再用轨迹半径与几何关系确定 对应的磁场区域的位置。【巩固练习】1 -（2005综 I）如图14所示，在-水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感 应强的大小为 B，磁场方向垂直于纸面向。 许多质为 m带电为 +q的子，.以相同的 速 v沿位于纸面内的各个方向，由小孔 O射入磁场区域。计重， 计子间的相互影响。下图中阴影部分表示带电子可能经过的区域，其中勺。哪个图是正确的？B -答案：A分析思 （1）已知条件特点，V相同，且垂直平面轨迹圆半径相同；（2） O点左面、右面的轨迹对称（对称为一般结论，前面已做题目，圈口由此判断答案B、D错误，在A、B中B是负电荷轨迹，由此判断A对。）。图形对称的具体分析 由V与MN成开始分析，逐渐增加角；阴影边缘的分析极限角、特殊角，轨迹圆特性（半径均为为R）（a）V与MN夹角为 -子与 O点的垂直距离最大（红色圆）（b）V与MN夹角为90子与 O点的水平距离最大（,色圆）（c）其他阴影部分的获得方法-红色、,色圆通过0，点，其他速对的圆也 通过 0点，O点是这些圆的公共，点，将红色圆向左旋转，保持0点、在圆 上，如得到包络线。另一方法：通过用圆规画一系的半径相同的圆（用硬币一元快捷！ ！），且通过0点，这些圆离开O点的最远距离为2R。 快速分析方法：抓住特点-这些圆过0点、，离O点的最远距离为2R。2.（-个的高考题会突变 ，增加新型难题）如图4所示，在xOy平面内有许多电子（质 为 m，电为 e），从坐标原点O断的以相同大小的速 气沿同方向射入 I象限，现 加一个垂直于xOy平面的磁感应强为 B的匀强磁场要求这些电子穿过该磁场后能平 于x轴向+x方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积。LUJC图4解析：设磁场B的方向垂直纸面向（评注：必须先假设，否则无法确定电子环绕方向，而且要注意电子入射速速的的角分布:在第一象限.）首先确定电子可以到达的极限位置，这对应沿正y轴入射进入第一象限的电子。当电子 在磁场沿圆周转向，速平正 x轴时，电子轨迹为四分之一圆弧。当电子速平正 x 轴时，电子到达圆的最高点。当电子速偏离正 y方向，速角与负 y轴的夹角为B。对应的轨迹圆半径与前面的相同，轨迹圆整体向下偏转。在此圆上，电子速与正 x轴平时，电子在圆周上的形成小 于电子轨迹为四分之一圆弧。大题要求最小磁场面积，必须先得到磁场形状，而磁场形状由题目条件所限制，关键的 条件是出射点出电子的速平正x轴。在出射点后，磁场可以为，因此速平正x轴的出射点过程磁场的边界，入射角改变，出射位置也改变。欲求该点的轨迹方程，-般 方法是：求出该点坐标满足的制约方程。亥点的坐标可以由速平正 x轴求出，该点坐标 满足的制约方程为半径为R。Be / , 一， ，、的圆在纸面内绕在该问题中，从A点出磁场时其速方向平于 x轴也就是圆弧在y轴正向的最高点，如图5所示，所有满足题意的点、可看作是过定点、O，以半径为O转动90角过程中圆弧最高点的集合，如图5所示。（A为其上一点）。x = OB= R sin y =七何关系如：设A点坐标为（x，y ），对应于圆心为J ，由y - R = ReosQ10圆的知识得，满足题意要求的磁场区域边界是一段'圆弧“对应圆心为5，坐标(O，R)。最小磁场区域的面积即为图中阴影部分面积Smin = 2 X TER2 -皿1边长为R的正方形面积-2* (边长为R的正方形面积-半径为R的四分之一圆面积) m2Vo综上所述，运动的带电子垂直进入有界的匀强磁场，仅受仑兹作用时， 它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出运动轨迹图，并灵洁运用几何 知识和物规，找到已知与轨道半径R、周期T的关系，求出子在磁场中偏转的角或距离以及运动时间太难。此类题的一般性规 :(2) 子在某一定点、射入磁场，通常速为定值，一定角有分布.由此圆的半径一 样，任意轨迹圆为某-圆绕固定点(就是入射点)旋转得到。速相同，圆的半径一样，注意该结果的引深结论-子离开入射点的最大距 离直线距离为直径。(3) 盲目画轨迹圆，而是注意子入射、出射的极限(最大、最小)角、特殊 角分析，注意画该条件的轨迹图，用硬币画图(可以现场演示)。只分析，画图，无法将过程完全分析清楚。(4) 子可以到达区域对称 .ir?Vn±i = m(5) 设计计算的核心公式为R，以及变形.在计算中需要结合几何、三角(6) 确定的圆周运动的关键参数：圆心、半径(周期，部分圆周的运动时间，在后 面)圆周运动的确定圆心、半径的方法：(a)圆心 在角平分线上；(b)圆心 在弦中垂线上， (c)圆牛运动速均垂直于各自可应的向心伦兹，圆心在伦兹。上面两条线的交点就是圆心。这两个伦兹延长劣交点即为圆心 然后在根据半径垂直入射、出射速得到圆心。(7) 用一个一元硬币作图，已亲手试过，效果极好！ ！，比随手画圆好，原因： 半径、位置确定，能保证过固定点，得到准确几何尺寸、位置关系。(8) 圆周运动的半径R=mv/qB:当磁场B相等时，速大的转大圈，小的转小圈；当速-定时，磁场大转小圈，磁场小转大圈，没有磁场，直线运动(半径为 无穷大)。再次提醒:讨论圆周运动时，一定借助核心公式，及其频qBw =m(记忆方法-q、B愈大，伦兹大，根据牛二定，子转向快，所以圆12 冗2 冗 2nm,频与qB成正比，同与m成反比)、周期e =-=而= W = qB)更 qE = m半径公式。R是核心公式，其他"形、衍生公式。(9) 子在磁场中运动时间的确定：关键确定是子在磁场中转过多少分之圆周，对应时间为多少分之圆周期。圆弧的确定-今一 求半径所夹的圆心角今一 求圆上两点之间速的偏向角。穿越磁场矩形磁场的时间：也是求部分圆周运动时间。(10) 注意几何知识应用(11) 在方向同的相邻有界磁场中，由于伦兹做功，速速变，轨迹圆的 半径变。