曲面积分与曲线积分.ppt

,106 高斯公式 通量与散度,一、高斯公式,二、通量与散度,高斯公式的物理意义、,散度,散度的计算、通量、高斯公式的另一形式,一、高斯公式,定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在W上具有一阶连续偏导数，则有,这里S是W的整个边界的外侧，cosa、cosb、cosg是S上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦 这两个公式称为高斯公式,证明,如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的方程分别为zz1(x,y)和 zz2(x,y)，S1 取下侧，S2 取上侧，S3 取外侧设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy,简要证明：,Dxy,根据三重积分的计算法，有,另一方面，有,以上三式相加，得,类似地有,把以上三式两端分别相加，即得高斯公式,解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，,由高斯公式，有,解 设S1为zh(x2y2 h 2)的上侧，则S与S1一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭区域为W,而,因此,由高斯公式得,二、通量与散度,高斯公式,的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量,高斯公式的物理意义：,在流速场 F P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)内一定点M(x,y,z)附近任取一包围M点的闭曲面S，设S所围成的区域为W，W的体积为V，则,散度：,表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量，而,表示在点M处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场F在点M的散度，记为divF，即,设P、Q、R具有一阶连续偏导数，则,散度的计算：,设S是向量场F内的一片有向曲面，n是S上点(x,y,z)处的单位法向量，则,通量：,叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量（或流量）,高斯公式的另一形式：,