曲面、曲线及其方程.ppt

第五节 空间曲面、曲线及其方程,一.空间曲面及其方程,二.空间 曲线及其方程,第六节 二次曲面的标准方程,一.曲面及其方程,1.曲面及其方程,2.球面及其方程,4.二次柱面,5.旋转曲面及其方程,3.柱面及其方程,第五节 空间曲面、曲线及其方程,1.曲面及其方程,解,2.球面及其方程,解,3.柱面及其方程,柱面的方程,柱面的方程,二次柱面及其方程,二次柱面及其方程,二次柱面及其方程,解,旋转曲面及其方程,旋转曲面的方程,解,二.空间曲线及其方程,1.空间曲线的一般方程2.空间曲线的参数方程3.空间曲线在坐标面上的投影,1.空间曲线的一般方程,解,解,解,2.空间曲线的参数方程,解,解,3.空间曲线在坐标面上的投影,解,解,解,请注意：一条曲线在一个坐标面上的投影是唯一的。坐标面上的一条曲线可以是无穷多条曲线的投影。,半球面与锥面的交线为,由方程消去 z,得 x2+y2=1,于是交线C 在xoy面上的投影曲线为,x2+y2=1z=0,这是xoy面上的一个圆.,解:,1、椭球面2、抛物面3、双曲面,第六节 二次曲面的标准方程,研究方法是采用平面截割法.,二次曲面,几种常见二次曲面.,(1)椭球面,z,2 用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆,当|k|c 时,|k|越大,椭圆越小;,当|k|=c 时,椭圆退缩成点.,1 用平面z=0去截割,得椭圆,3 类似地,依次用平面x=0,平面 y=0截割,得椭圆:,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别,方程可写为,球面,方程可写为,（2）双曲抛物面,(1),(3)椭圆抛物面:,1 平面 z=k,(k 0)截割,截线是平面 z=k上的椭圆.,k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.,2 用平面 y=k去截割,截线是抛物线,3 类似地，用平面 x=k 去截割,截线是抛物线.,（4）单叶双曲面,(a,b,c均大于0),以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为,椭圆,以平行于xz面的平面 y=y0截曲面，所得截线方程为,双曲线,以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,双曲线,（5）双叶双曲面,(a,b,c均大于0),以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为,椭圆,以平行于xz面的平面 y=y0截曲面，所得截线方程为,双曲线,以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,双曲线,椭球面、抛物面、双曲面、截割法.,（熟知这几个常见曲面的特性）,小结,思考题,思考题解答,表示双曲线.,思考题解答,表示双曲线.,练 习 题,练习题答案,二、,三、,1,2,3,4,5,典型例题,例1,解,由题设条件得,解得,例2,解,过已知直线的平面束方程为,由题设知,由此解得,代回平面束方程为,例3,解,即有,例4,解,所求投影直线方程为,例5,解,由于高度不变,故所求旋转曲面方程为,双曲抛物面是直纹面,.,单叶双曲面是直纹面,