数学物理方法第5章傅里叶变换.ppt
第5章 傅里(立）叶(Fourier)变换,让巴普蒂斯约瑟夫傅立叶（1768 1830）（Jean Baptiste Joseph Fourier）法国著名数学家、物理学家，1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席，主要贡献：1.在研究热的传播时创立了一套数学理论 2.最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根 个数的判别法等，3.傅立叶变换的基本思想首先由傅里叶提出；,傅里叶(Fourier)生平简介,傅立叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。1780:读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798:随拿破仑军队远征埃及，任军中文书和埃及研究院秘书，受到拿破仑器重，1801:伊泽尔省格伦诺布尔地方长官，1807:热传导的论文热的传播，呈交巴黎科学院，但经拉格 朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被拒绝，1811:提交经修 改的论文，该文获科学院大奖，却未发表,推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数1817:当选为巴黎科学院院士,1822:专著热的解析理论,1822:科学院终身秘书,傅里叶(Fourier),傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。,1.傅里叶级数，2.傅里叶积分与变换3.Delta函数,（一）周期函数的傅里叶展开,这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景,三角函数族：,周期2l 0,5.1 傅里叶级数,偶函数,奇函数,？,最小正周期：2l l,.,2l/k,.,最小正周期：2l,三角函数族：,正交性,三角函数族：正交性,1：利用三角恒等式 cos(x+y)=cosx coy sin x sin y,cos(x-y)=cosx coy+sin x sin y,2.转化为复数证明3.微分方程的解,7,其中,三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。,8,三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。,9,10,狄里希利(狄里克雷Dirichlet)定理：若函数 f(z)满足条件：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且,级数和,第一类间断点:函数在间断点处左右极限存在，但不相等。,11,（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开,是奇函数,是偶函数,奇函数 f(z)有,偶函数 f(z)有,12,（三）有限区间中的函数的傅里叶展开,f(x)定义于(0,l),可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x),在半周期(0,l)中 g(x)=f(x)这种做法叫延拓。,例,偶延拓,奇延拓,13,（四）复数形式的傅里叶展开,其中,14,例1：,例2：,X=pi,15,傅里叶展开与洛朗展开的关系,若f(z)在环域,内解析，其洛朗展开,若()在区间0,2连续，且为2的周期函数，其傅里叶级数为,16,令：,则,若 有限，则,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,（一）实函数的傅里叶变换,17,余弦部分,正弦部分,故,其中,18,傅里叶积分定理：若函数 f(x)在区间(-，+)上满足条件(1)在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)在区间(-，+)上绝对可积（即 收敛），则f(x)可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值=,19,为振幅谱为相位谱,奇、偶函数,偶函数,奇函数,cos(x-y)=cos x cos y+sin x sin y,20,例,定义矩形函数为,(1),矩形函数（rectangle function),x 时间：光学中描述照相机快门，x 空间：无限大不透明屏上的单缝的透过率,21,例,(1),矩形函数（rectangle function),22,例,定义矩形函数为,将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。,偶函数,(1),23,24,25,26,（二）复数形式的傅里叶积分,|w|=-w,27,像函数,原函数,注意：变换和反变换的不同形式,28,例 2,例1,29,(1)导数定理,（三）傅里叶变换的基本性质,31,(2)积分定理,(3)相似性定理,(4)延迟定理,(5)位移定理,(6)卷积定理,若,和,则,卷积,（三）傅里叶变换的基本性质,多重 傅里叶变换,（2）高斯函数傅里叶变换,令,则,问题来源？,问,解析延拓，取,34,-R,R,直接计算,35,$5.3 函数,36,数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限,一维,考虑线质量密度l,总质量,的极限下总质量不变,密度,广义函数函数定义（2条）:,37,性质,(1)偶函数,从图形可以看出,(2)阶跃函数或亥维赛单位函数,(3)挑选函数：,对连续函数：,38,(3)挑选函数：,对连续函数：,39,(4)复合函数,若 的实根 全部是单根，则,40,证明：按定义,在第n个根附近积分,例,41,函数是一种广义函数,42,函数：狄拉克,保罗狄拉克Paul Adrien Maurice Dirac，（1902年8月8日1984年10月20日），英国理论物理学家，量子力学的奠基者之一，并对量子电动力学早期的发展作出重要贡献。曾经主持剑桥大学的卢卡斯数学教授席位。他1926给出的狄拉克方程可以描述费米子的物理行为，并且预测了反物质的存在。1933年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式”（即量子力学的基本方程-薛定谔方程和狄拉克方程），狄拉克和埃尔温薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。,43,函数是一种广义函数-1：,44,函数是一种广义函数2,实轴上留数,45,函数是一种广义函数3,46,函数的傅里叶变换,47,从极限过程理解-1：,48,从极限过程理解-2：,例：将函数,表示成傅里叶积分，并证明,多维函数,49,阶跃函数的傅里叶变换,不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用极限处理,事实上自变量为0时的函数值在应用上并不重要，可任意取有限值。,50,阶跃函数的傅里叶变换,51,多重傅里叶积分：,函数的物理应用：格林公式（点电荷的场分布）,证明,函数应从积分意义理解,53,
