数列极限存在的条件.ppt

数列极限存在的条件,教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。,教学要求：（）掌握并会证明单调有界定理，并会运用 它求某些收敛数列的极限；（）初步理解Cauchy准则在极限理论中的 主要意义，并逐步会应用Cauchy准则 判断某些数列的敛散性。,数列极限的两大问题,数列极限的存在性；（此问题为最关键的问题）数列极限值的大小；（存在性成立后，才想办法计算极限）,复习引入,几种证明极限存在的方法：,按照数列极限的定义证明。按照奇、偶子列的收敛性证明。依据任意子列的收敛性证明。利用夹逼准则证明。,复习引入,最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性,定义若数列,的各项满足不等式,则称,递增和递减数列统称为单调数列,为递减数列；,为递增数列；,不是单调数列。,，,为递增（递减）数列。,例如：,单调有界定理,1 单调数列,几个简单的单调数列：,单调增加,单调减少,单调数列,正文,2 单调有界准则,几何解释:,定理,在实数系中，有界且单调数列必有极限。,证明:对递减数列 由确界原理,有下确界,令 下证 由下确界定义:故 时 而 所以 时 即,几点说明：,通常该准则变通为：1）单调递增有上界的数列存在极限。2）单调递减有下界的数列存在极限。本定理只是证明了存在性。本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。此定理的条件为充分非必要条件。,例1 设其中，证明 收敛。,证明：递增显然，下面证明有上界，事实上：,例证明数列,收敛，并求其极限.,证明：记,则,先证,有界:,则,故,从而,故,单调有界，因而收敛。,令,例3 设S为有界集，证明：若,单调递增数列,则存在严格,使得,证明：先建立一个不等式，设,对任一正整数,，有,整理后得不等式：,例4 证明 存在。,联系到该数列的单调性，可知对一切正整数,，都有,即,有上界。,单调递增上界，即收敛。,于是,上式对一切正整数,都成立，即对一切偶数,，有,。,二 Cauchy收敛准则：,定理2.10,收敛的充分必要条件是：,存在正整数，使,数列,时有,。,1 auchy收敛准则,根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。,对任给的,得当,收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。判别 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要引入别的数列作参照。把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。,证明：,2 auchy收敛准则逆否命题 若存在正数,使对任给正整数N,存在正整数,使则数列 发散.,作业 P39 1(2)(4),3(1),5(2),7,