拉普拉斯变换及其应用.ppt

复习、提问,1、系统的三大性能是什么？2、系统动态性能的三大指标是什么?3、对一个系统的基本要求可归纳为三个字：稳、快、准。谈谈你对这三个字的理解。4、系统分析的一般步骤分三步走，哪三步？5、对于单输入单输出系统，经典的分析方法有三种，哪三种？,曹冲称象,利用拉氏变换求解微分方程的思路是：,第二章拉普拉斯变换及其应用,拉普拉斯(1749-1827),法国著名数学家和天文学家。他是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。,拉氏变换的定义公式为：,第一节拉氏变换的概念,【例2-1】求单位阶跃函数1(t)的拉氏变换式。,解：,【例2-2】求单位脉冲函数(t)的拉氏变换式。,解：,【例2-3】求(t)与1(t)间的关系。,结论：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。,解：,【例2-4】求正弦函数f(t)=sint的拉氏变换式。,解法一：利用手算。,解法二：利用MATLAB软件。,实例求下面这个函数f(t)的拉氏变换式。,解法一：利用手算。,解法二：利用MATLAB软件。,教材表2-1是常用函数的拉氏变换表，要求会查表。,有九个定理（或者说九个性质），教材介绍了5个。要熟悉这5个定理的结论与用途。,1、线性定理（包括叠加定理、比例定理）2、位移定理（也叫延迟定理）3、相似定理4、微分定理5、积分定理6、周期函数的拉氏变换7、初值定理8、终值定理9、卷积定理,第二节拉氏变换的运算定理,两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即,1.叠加定理,K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即,2.比例定理,思考（1）阶跃函数 K1(t)的拉氏变换式为多少？（2）脉冲函数 K(t)的拉氏变换式为多少？,在零初始条件下，即,3.微分定理,则,上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的拉氏式等于其象函数乘以sn。,在零初始条件下，即,4.积分定理,则,上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的拉氏式等于其象函数除以sn。,当原函数f(t)延迟时间，成为f(t-)时，它的拉氏式为,5.延迟定理（也叫位移定理）,上式表明，当原函数f(t)延迟，即成为f(t-)时，相应的象函数F(s)应乘以因子e-s。,6.终值定理,上式表明原函数在t时的数值(稳态值)，可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求s0的极限值来求得。条件是当t和s0时，等式两边各有极限存在。,终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。,实例1,记，设求下面这个函数的拉氏变换。函数式中m、B、K都是常数。,实例2,记，设,求下面这个函数的拉氏变换。函数式中an、an-1、a1、a0都是常数。,拉氏反变换的定义公式为：,第三节拉氏反变换,公式右端的积分是一个复变函数的积分,计算很麻烦。求拉氏反变换的方法主要有部分分式法、查表法、留数法等。,实例求下面这个函数F(s)的拉氏反变换式。,解法一：利用手算。,解法二：利用MATLAB软件。,应用拉氏变换求解微分方程的思路是：,第四节应用拉氏变换求解微分方程,【例2-5】已知某系统的微分方程为：,方程式中，r(t)是输入信号；c(t)是输出信号；T是常数。方程的初始条件为零。若系统的输入量是单位阶跃函数，则系统输出量的变化曲线是怎样的？,解法一：利用手算。,解法二：利用MATLAB软件。,图2-3典型一阶系统的单位阶跃响应曲线,本次课小结：,了解并理解拉氏变换和拉氏反变换的定义、性质。会查拉氏变换表。能够利用MATLAB软件求解已知函数的拉氏变换式、拉氏反变换式。能够利用拉氏变换和拉氏反变换求解简单的微分方程。,第三次作业：,教材习题2-1、2-2。,下次课展望：,系统的微分方程 系统的传递函数,休息一下,