【数学】111《变化率问题》课件（人教A版选修2-2）.ppt

微积分简介 微积分的诞生是继Euclid（欧几里德）几何学建立之后，数学发展的又一个里程碑式的事件。微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。解析几何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学作了总结，使代数与几何融为一体，并引发出变量的概念。变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础 推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的思想，产生像牛顿、莱布尼茨、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法，指出方向的领袖，但也必须等待创立一个必不可少的工具微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的。在17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这一领域是最丰富的，微积分为创立许多新的学科提供了源泉。重要意义微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。,1.1.1 变化率问题,问题1 气球膨胀率,在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是,若将半径 r 表示为体积V的函数,那么,当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,当空气容量V从1L增加到2 L,气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态,那么:,在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,探 究:,现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.,观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度,变化，用曲线图表示为：,（注：3月18日为第一天）,问题3：,问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）,问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？,（1）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。,（2）由点B上升到C点，必须考察yCyB的大小，但仅仅注意yCyB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？,在考察yCyB的同时必须考察xCxB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。,(3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率,(4)分别计算气温在区间【1，32】【32，34】的平均变化率,现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）,定义:,平均变化率:,式子 称为函数 f(x)从x1到 x2的平均变化率.,令x=x2 x1,y=f(x2)f(x1),则,理解：1，式子中x、y 的值可正、可负，但 的x值不能为0，y 的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，y=0 3,变式,思考:,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1,f(x2)-f(x1),直线AB的斜率,练习:,1.甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?,2.已知函数 f(x)=2 x+1,g(x)=2 x,分别计算在下列区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率.,(1)3,1;(2)0,5.,做两个题吧!,1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A、3 B、3x-(x)2C、3-(x)2 D、3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2x0+x,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,