三、简单曲线的极坐标方程.ppt

在平面直角坐标系中，平面曲线 可以用方程f(x,y)=0表示,那么：在极坐标系中，平面曲线是否 可以用方程f(,)=0表示呢,三、简单曲线的极坐标方程,一、定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系：()曲线上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0；()以方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线上。则方程f(,)=0叫做曲线的极坐标方程,1.圆的极坐标方程,探 究,如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？,x,C(a,0),O,A,M(,),可以看出，在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，在通过代数变换进行化简。而且，与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程更加简便，因为在极坐标系下，圆上点的坐标所满足的条件更容易表示，代数变换也更加直接。,例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？,解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线为极轴建立坐标系，那么圆上各点的几何特征就是它们的极径都等于半径r,设M（,）为圆上任意一点，则，即。显然，使极点与圆心重合时的圆的极坐标方程在形式上比 简单。,求曲线的极坐标方程的本质：就是找出曲线上动点M的坐标与之间的关系，然后列出方f(,)=0（与直角坐标系里的情况类似）,1、建系2、设点3、列式4、化简,题组练习1,求下列圆的极坐标方程()圆心在极点，半径为2；()圆心在(a,/2)，半径为a；()圆心在(1,/4)，半径为1；()圆心在(0,)，半径为r,2,2asin,2cos(-/4),2+0 2-2 0 cos(-)=r2,极坐标方程分别是cos和sin的两个圆的圆心距是多少,练习2,练习3:以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（）,C,.小结：（）曲线的极坐标方程概念（）怎样求曲线的极坐标方程（3）圆的极坐标方程,2.直线的极坐标方程,新课引入：,思考：在平面直角坐标系中,1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为;,x=3,x=3,2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_,x=a,特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。,过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为,答：与直角坐标系里的情况一样，求直线的极坐标方程就是找出直线上动点的坐标与之间的关系，然后列出方程(,)=0，再化简并讨论。,怎样求直线的极坐标方程？,例题1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,分析：,如图，所求的射线上任一点的极角都是，其,极径可以取任意的非负数。故所求,直线的极坐标方程为,新课讲授,1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,易得,思考：,2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,或,例2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线L上除点A外的任意一点，连接OM,由 有,即,可以验证，点A(a,0)的坐标也满足上式。因此，这就是所求直线的极坐标方程,求直线的极坐标方程步骤,1、根据题意画出草图；,2、设点 是直线上任意一点；,3、连接MO；,4、根据几何条件建立关于 的方 程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。,练习：设点P的极坐标为A，直线 过点P且与极轴所成的角为,求直线 的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线 上异于的点,连接OM，,在 中有,即,显然A点也满足上方程。,例3设点P的极坐标为，直线 过点P且与极轴所成的角为,求直线 的极坐标方程。,则 由点P的极坐标知,由正弦定理得,显然点P的坐标也是它的解。因此为直线l的极坐标方程,小结：直线的几种极坐标方程,1、过极点,2、过某个定点，且垂直于极轴,3、过某个定点，且与极轴成一定 的角度,极坐标方程与直角坐标方程的互化,