圆的内接四边形.ppt
圆内接四边形的性质与判定定理,圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数,推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等,推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，的圆周角所对的弦是直径,例2如图，AB与CD相交于圆内一点P求证：的度数与 的度数和的一半等于APD的度数,分析：由于APD既不是圆心角，也不是圆周角，为此我们需要构造一个与APD相等的圆心角或圆周角，以便利用定理,证明：如图，过点C作CE/AB交圆于E，则有APD C.,定义：如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.,一 定理的探究,思考:,探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于圆你能发现这些四边形的共同特征吗？,特殊到一般的方法!,（1）任意三角形都有外接圆吗？,那么任意四边形有外接圆吗?,（3）任意矩形是否有外接圆?,（2）一般地,任意四边形都有外接圆吗?,C,O,D,B,A,1.如图：圆内接四边形ABCD中，,弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角.,AC 180,同理BD180,2 圆内接四边形的性质定理,圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补,2.圆内接四边形的性质定理,圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补,圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,3 四边形存在外接圆的判定定理,已知：四边形ABCD中，B+D=180,求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）.,分析：不在同一直线上的三点确定一个圆经过A、B、C三点作O，如果能够由条件得到O过点D，那么就证明了命题,显然，O与点D有且只有三种位置关系:(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题,分类讨论思想,反证法,3 四边形存在外接圆的判定定理,E,O,C,A,B,D,E,(1)如果点D在O的外部设E是AD与圆周的交点，连接EC，则有AEC+B=180.由题设B+D=180,可得D=AEC 这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾，故点D不可能在O的外部,（2）如果点D在O的内部显然AD的延长线必定与圆相交，设交点为E，连接EC，则有E+B=180.由题设B+ADC=180,可得E=ADC 这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾，故点D不可能在O的内部,证明：(分类讨论思想及反证法),综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆,圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆,说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和反证法又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法于是,圆内接四边形判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆,应用格式：在四边形ABCD中，A+C=180,四点A,B,C,D共圆,应用格式：在四边形ABCD中，A=DCE,四点A,B,C,D共圆,3 四边形存在外接圆的判定定理,1、如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD=100,则BAD=,BCD=.,练习：,2、圆内接四边形ABCD中,A:B:C=2:3:4,则A=B=C=D=,50,130,60,90,120,90,3、如图，四边形ABCD内接于O，DCE=75，则BOD=,150,设A=2x,则C=4x.A+C=180,x=30.,二 定理的应用,例1：如图O1与O2都经过A、B两点.经过点A的直线CD与O1交于点C,与O2交于点D.经过点B的直线EF与O1交于点E,与O2交于点F.求证：CEDF.,分析：只要证明同旁内角互补即可！并利用圆内接四边形的性质定理,证明：连接AB,四边形ABEC是O1的内接四边形，BADE,又四边形ABFD是O2的内接四边形，BAD+F=180,E+F=180,CE/DF,变式1：如图，O1和O2都经过A、B两点过A点的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D过B点的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F求证：CE/DF.,E,D,C,F,A,B,O1,O2,变式2:如图,O1和O2有两个公共点AB过AB两点的直线分别交O1于C、E,交O2于D、F，且CDEF求证：CE=DF,由例1可知:CE/DF,又CD/EF,DCEF为平行四边形 CE=DF.,例.如图,CF是ABC的AB边上的高,FPBC,FQAC.求证:A、B、P、Q四点共圆,FPBC,FQAC，FQAFPC,证明：连接PQ在四边形QFPC中，,Q、F、P、C四点共圆,QFCQPC,又CFAB，,QFCQFA90,而AQFA90,QFCA,QPCA,A、B、P、Q四点共圆,1、(1)圆内接平行四边形一定是 形.(2)圆内接梯形一定是 形.(3)圆内接菱形一定是 形.,矩,等腰梯,正方,练习2：,2.如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆,已知：如图，四边形ABCD中，ADB=ACB.,求证:A、B、C、D四点共圆,分析:要用圆内接四边形判定定理或推论,无法找到足够的条件,即直接方法不易证明,于是仿照判定定理的证明用反证法.,已知：如图，四边形ABCD中，ADB=ACB.求证:A、B、C、D四点共圆.,证明：由三点A、B、D可以确定一个圆，设该圆为O,(1)如果点C 在O的外部.连接BC,与圆交于点E,则ADB=AEB.ADB=ACB,ACB=AEB,与AEBACB相矛盾故点不可能在圆外,()如果点C 在O的内部.延长BC与圆交于点E连接AE.,则ADB=AEB.ADB=ACB,ACB=AEB,与ACBAEB相矛盾故点不可能在圆内,综合(1),(2)可知，点C只能在圆上即A、B、C、D四点共圆,课堂小结:,1 圆内接四边形的性质,3、解题时应注意两点：（1）注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角的位置，不要受背景的干扰.（2）证题时，常需添辅助线-两圆共有一条弦，构造圆内接四边形.,4、思想和方法:分类讨论思想,反证法.,2 圆内接四边形的判定,
